Зачем мне эта математика

Привет! Сегодня у нас по плану был другой пост, но! Мы нашли очень классную задачу и бурно решали её всей командой. Она похожа на судоку, только лучше. Так что теперь несём задачу вам — чтобы вы так же здорово провели время. 😇 Дизайнер городской среды Андрей проектирует новый район города и чертит план. По его задумке: • Район представляет собой квадрат 6 на 6, в каждой клеточке стоит дом. • В каждой горизонтальной и вертикальной линии квадрата все дома разной этажности: от 1 до 6. • Если посмотреть на район со стороны, то более высокие дома загораживают более низкие. Числа по сторонам квадрата показывают, сколько домов видно в этом направлении. Для некоторых «линий» есть требования по количеству видимых домов, а для некоторых — нет. • Каждый этаж — одинаковой высоты и ширины, дома имеют форму параллелепипедов. Помогите Андрею спроектировать современное городское пространство — определите, где должен стоять какой дом. Ваши варианты присылайте в комментарии скрытым текстом или скрытой картинкой.

Успейте использовать промокод Привет! Сегодня последний день действия промокода на курсы «с нуля» направлений программирования и анализа данных. Промокод даёт 10% скидки. Задачка, которую для этого надо решить и условия акции — в посте. 🔜 Курсы по анализу данных, 🔜 Курсы по программированию.

С днём пи (прошедшим, но всё же)! Вчерашняя дата 14 марта на западный манер записывается как 3.14. Это приближённое значение числа π. Поэтому математики и все желающие в этот день празднуют День числа π 🥰 Как празднуют Можно по-разному. Например, популяризатор математики Мэтт Паркер ежегодно вручную вычисляет значение числа π каким-нибудь новым экстравагантным способом. Способов много, так что есть, где развернуться. Начинал он один, потом собралась небольшая команда, а потом… Великое празднование 2024 В этот раз взяли такую формулу: π/4 = 1587⋅arctg(1/2852) + 295⋅arctg(1/4193) + 593⋅arctg(1/4246) + 359⋅arctg(1/39307) + 481⋅arctg(1/55603) + 625⋅arctg(1/211050) - 708⋅arctg(1/390112). Каждый арктангенс тоже считают вручную — с помощью ряда Тейлора. Вычислений много, поэтому мероприятие получилось масштабным: - участвовали 200 человек; - считали 7 дней; - вычислили 140 знаков вручную! Видеоотчёт О том, как это было, можно посмотреть в видео. Там и про процесс, и про распараллеливание, проверку, перепроверку, менеджмент, ну и про детали вычисления. Видео очень гиковское, а ещё — милое, трогательное и эмоциональное. Оно сразу и про науку, про веру в человечество и вот это всё. Зачем люди это делают Потому что могут. И хотят. Ну и чтобы доказать себе, что они всё ещё умеют делать длинные вычисления без калькулятора. И чтобы получить классные эмоции и побыть среди близких по духу людей. В общем, зря математику считают «сухой», она бывает разной. Всех с праздником!

Как пощупать четырёхмерное пространство Представьте, что вы проснулись, а объекты вокруг ведут себя как-то не так. Например, подброшенный мячик улетел вдаль и пропал. От неожиданности вы споткнулись и уронили коробку. Падая, она превратилась в призму, а потом снова стала привычным параллелепипедом. Что приключилось? Возможно, вы просто попали в четырёхмерное пространство, но при этом продолжаете видеть в 3D. Адаптироваться и разобраться, что и почему происходит, поможет видео. В нём объясняется и показывается, как ведут себя четырёхмерные объекты в трёхмерном пространстве. И это действительно наглядно! Это презентация игры, при желании её можно скачать и попробовать свои силы в удивительном 4D-мире.

Польза формальной математики на примере одной теоремы Иногда мы совершаем какие-то математические действия как что-то очевидное. Например, приведём дробь 8/12 к несократимой. Алгоритм такой: 1) Разложим 8 на простые множители: 8 = 2⋅2⋅2. 2) Проделаем то же со знаменателем: 12 = 2⋅2⋅3. 3) Возьмём общую часть: 2⋅2 и сократим на неё: 8/12 = (2⋅2⋅2)/(2⋅2⋅3) = 2/3. Подключаются дотошные математики Казалось бы, всё логично. Но дотошные математики всегда сомневаются: а почему мы решили, что это единственно верный вариант? Может быть, можно разложить 8 и 12 на простые множители по-другому, получится другая общая часть и в результате сокращения выйдет не 2/3, а например, 1/2? Как ни крути, разложить 8 и 12 по-другому нельзя. Но что насчёт чисел побольше? Можно брать их, пробовать и убеждаться, что разложение на простые множители всегда единственно (только порядок множителей может быть разный, это ок). Но проверить все числа мы не можем. Остаётся вопрос: если взять какие-то огромные числа — там точно получится так же? Основная теорема арифметики И пока математики размышляют над такими вещами, они убеждаются, что: любое натуральное число больше 1 можно представить в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до перестановки). Это значит, что разложения 8 = 2⋅2⋅2, 12 = 2⋅2⋅3 — единственные. Никаких других простых множителей в разложении быть не может, но и убрать из записи какой-то множитель нельзя. Теорема называется основной теоремой арифметики. Её сформулировал Евклид ещё в 3 веке до н.э. Она как будто простая и логичная, но, повторимся, математики такое доказывают — чтобы не просто верить, а знать, что всё, что мы делаем в арифметике, правильно всегда, то есть в общем случае. Ну душнилы, чо. Когда появилась Эта теорема занимала умы математиков две тысячи лет: похожие формулировки встречаются ещё в «Началах» Евклида, потом у многих других математиков, но полное строгое доказательство привёл Гаусс лишь в начале 19 века. Зачем это надо Основная теорема арифметики даёт нам право делать разные действия и приходить к единственному результату, например: • сокращать дроби; • выносить множитель за скобки; • находить делители числа; • находить наибольший общий делитель чисел; • находить наименьшее общее кратное. А ещё не ломается криптография Криптография прям держится на основной теореме арифметики! Вся история с шифрованием с открытым ключом построена на поиске простых множителей числа. Если бы это разложение числа на простые множители было не единственным, то закодировать что-то мы бы могли, а вот однозначно расшифровать — нет. Спасибо математикам за их дотошность и наши защищённые данные! ☺️ Подробнее о работе криптографических ключей смотрите в посте.

Скидка 10% на курсы Привет! Напоминаем: с сегодняшнего дня действует промокод со скидкой 10% на все курсы «с нуля» направлений программирования и анализа данных. Чтобы получить промокод, решайте задачу из предыдущего поста. Успехов! - Курсы по анализу данных, - Курсы по программированию.

Привет! Весна пришла, поэтому… Количество подписчиков приближается к 10 тысячам, поэтому… На самом деле у нас просто было хорошее настроение, и мы подготовили для вас промокод со скидкой. Он распространяется на все курсы «с нуля» двух направлений в Практикуме: «Анализ данных» и «Программирование». По традиции этого канала, промокод — математический. Чтобы получить скидку, нужно: 1. Решить задачу ниже и получить ответ в виде числа. 2. Это число нужно записать вместо X в коде “PRAKTICHESKIX” (но без кавычек). Например, если получится 99, то код будет PRAKTICHESKI99. Это не сам промокод, а только пример, как его записать. 😉 3. Ввести промокод на странице оплаты выбранного курса до 31 марта этого года. А вот и сама задача для промокода: В магазине подарков продаются конфеты «Моргунов» в красивой коробке. До 13 февраля в день в среднем продавали 104 коробки таких конфет, потом это число возросло на 75%. После этого продажи упали на 45%, а к 8 марта снова возросли — уже на 120%. Каковы были средние продажи 8-го марта? Ответ округлите до целых. Важно! На этот раз ответ к задаче не нужно писать в комментариях. В комментариях можете задать вопросы по курсам, или оставить отзыв, если вы уже прошли какой-то из них. 😇 • Курсы по анализу данных, • Курсы по программированию. В обоих направлениях промокод действует на курсы «с нуля».

Почему признак работает Любое число можно записать как 10x+y, где y — это последняя цифра, а x — это то самое число, образованное из первых цифр. Домножим это число на 5. Если исходное число делилось на 7, то и домноженное будет делиться. И наоборот — если исходное не делится, то и домноженное не будет. После домножения получим 50x+5y. Перезапишем его как (x+5y)+49x. Последнее слагаемое точно делится на 7. Значит, всё число целиком делится на 7 тогда и только тогда, когда (x+5y) делится на 7. Именно это мы и проверяли в алгоритме! Другой, но похожий признак делимости на 7 Делимость на 7 можно проверить а так: взять первый «кусок» числа и вычесть из него последнюю цифру, умноженную на 2. Например, для 672 получим: 67-2*2=63 — делится на 7. В комментариях предлагаем вам под скрытым текстом доказать, почему такой вариант тоже работает 😉

Признак делимости на 7 (неофициальный) Раньше мы уже рассказывали про несколько известных признаков делимости. Есть менее известные — например, на 7. Их даже несколько! Но «официальный» нам никогда не нравился, поэтому сегодня поговорим про другой. Он несколько экстравагантный. 😁 Обсудим сам признак и почему он работает. Разберём на примере Возьмём число 672. 1. Отделим от него последнюю цифру, получим: 67 и 2. Пригодятся обе части. 2. Домножим последнюю цифру на 5: 2*5=10. 3. Сложим: 67+10=77. Результат делится на 7, значит, и исходное число 672 делится на 7. Проверим: 672=7*96 — работает! Ещё пример Возьмём 583. 1. Отделим последнюю цифру, получаем 58 и 3. 2. Домножаем последнюю цифру на 5: 3*5=15. 3. Складываем: 58+15=73. Результат не делится на 7, значит, и 583 не делится на 7. Что делать в более сложном случае Проверим число 3696. 1. Отделяем последнюю цифру, получаем 369 и 6. 2. Упятеряем последнюю цифру: 6*5=30. 3. Складываем: 369+30=399. Сложно на глаз сказать, делится ли результат на 7. Чтобы узнать, применим к нему тот же трюк! Получим: 39+9*5=39+45=84 — делится на 7, так что 399 тоже, а значит, и исходное число 3696 делится на 7. А если насчёт 84 тоже неочевидно, можно и его так проверить.

Как представить математические абстракции В математике много абстракций. Все эти синусы, логарифмы, векторные пространства, производные второго порядка — всё это очень сложно представить в реальной жизни. Казалось бы, натуральные числа очень применимы в жизни: вот три яблока, а вот — четыре. А если пойти дальше, то опять могут возникнуть сложности. Представить миллион чего-нибудь может не каждый. А что представляют собой числа 10²⁷ и 10⁴²? Ответить на этот вопрос поможет вот такой сайт. Дизайн там странноватый, но факты про большие числа — интересные. Рассказывается, что они описывают в нашем мире. Предлагаем поисследовать вместе! 🔜 Представить большие числа Наш любимый факт: в обозримую вселенную влезает 10¹⁸⁵ планковских объёмов, и это самое большое число, которое что-то значит именно физически.

Задача про четверг, 29 февраля Привет! Сегодня особенная дата — она бывает только раз в 4 года! В этом году 29 февраля выпало на четверг. В каком году в следующий раз эта же дата выпадет на этот же день недели? Свои рассуждения пишите в комментариях.

Привет! Сегодня у нас снова насущная задача, мы такие любим. 😉 Коля приехал в Будапешт, ему нужно поменять евро на форинты. В обменнике около отеля курс 1€ = 380Ft. Есть место с курсом 1€ = 383Ft, но до него далеко идти, надо ехать на автобусе. Билетик на автобус (туда и обратно вместе) стоит 530Ft Выгодно ли ехать ко второму пункту ради обмена 100€? И если нет, то начиная с какой суммы это имеет смысл. Ваши решения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Подборка постов про последовательности Последовательности — они такие разные! Но неизменно прерасные. 😊 Общее 🔵Как задают последовательности 🔵Арифметическая и геометрическая прогрессии 🔵Последовательность Фибоначчи Задачи 🟢Про карамельные латте 🟢Про чиновника и сплетни 🟢Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и решение задачи про сплетни. Весёлая история, в которой фактически вычисляется сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 🔵Про математиков в баре Добрых математических выходных!

Признак делимости на 11 Этот признак не похож на другие, поэтому расскажем сразу на примере! Проверим, делится ли число 47938 на 11. 1) В исходном числе проставим перед цифрами знаки + и — по очереди: + 4 — 7 + 9 — 3 + 8. 2) Получилось выражение — знакопеременная сумма. Вычислим её результат: +4-7+9-3+8=11. 3) Получилось 11 — это число делится на 11, а значит, и исходное 47938 делится на 11. Проверим: 47938 / 11 = 4358, сработало! И так всегда: если знакопеременная сумма цифр числа делится на 11, то и исходное число делится на 11. Сумма, равная нулю тоже подходит — ведь ноль делится на 11. 😊 А вот если в знакопеременной сумме получится число, которое не делится на 11, то и исходное число не делится на 11. Нюансы На этапе проставления знаков важно поставить знак перед всеми цифрами, в том числе перед первой. А вот с какого знака начинать — неважно. Начнём теперь с минуса: -4+7-9+3-8=-11. Знак суммы изменился, но она всё так же делится на 11 — признак работает! Потренируемся С помощью признака делимости определите, делятся ли на 11 числа: 5000006, 454545 и 88888.

Неочевидный лайфхак как учить математику При изучении математики важна не только теория, но и её отработка. Один из способов — решать задачи. А чтобы ещё лучше понять материал, стоит обсуждать его с кем-то. Вот и лайфхак: Учите математику вместе с кем-то. Обсудим подробнее на карточках. За примеры и разрешение на публикацию благодарим студентов курса «Математика для анализа данных».

Альтернатива секстиллионам Помните ли вы, как читается число 1 000 000 000? А 1 000 000 000 000? А одной какой будет 0.00000000000000000000001? Если вы в команде нелюбителей запоминания секстиллионов и им подобных, то этот пост для вас. А если вы обожаете такие названия, то пост поможет вам общаться с теми, кто в первой команде. Стандартный вид числа Чем больше знаков в записи числа, тем неудобнее его записывать. Более того — совершать с ним операции тоже неудобно. Например, от количества нулей в произведении 13 000 000 000 000 000 000 ∙ 0.00000075 немного начинает кружиться голова! Поэтому математики и физики договорились приводить такие числа к единому виду. Стандартный вид числа — это запись вида a∙10ⁿ, где 1≤|a|<10 и n — целое. При этом a называют мантиссой, а n — порядком числа. Условие «1≤|a|<10 и n — целое» означает, что в целой части числа a остаётся одна цифра от 1 до 9, а все остальные переносятся в дробную часть. Примеры 1) Масса Луны 7.3477∙10²² кг. Тут мантисса — это 7.3477, а порядок числа равен 22. Без приведения к стандартному виду это число было бы записано как 73 477 000 000 000 000 000 000. Когда мы это записывали, мы два раза пересчитали нули, чтобы не ошибиться. А уж совершать арифметические действия с таким числом совсем не тянет. 2) Записывать в стандартом виде можно не только очень большие, но и очень маленькие величины. В таком случае степень десятки будет отрицательной. Например, 0.00000075=7.5∙10⁻⁷. 3) А вот запись 12∙10² — нестандартный вид, потому что мантисса больше 10. Стандартно — вот так: 1.2∙10³. Как записать число в стандартном виде Для больших чисел (если число |k|>1): 1. Поставить точку после первой цифры числа. 2. Посчитать количество знаков после точки — его мы запишем как n в показатель к десятке. 3. Приписать к полученному числу ∙10ⁿ. Для большего удобства числа округляют до трёх-четырёх знаков после точки — обычно этой точности достаточно. Например, -134560126=-1.34560126∙10⁸≈-1.346∙10⁸. Для маленьких чисел (если число |k|<1): 1. Сдвинуть точку вправо, чтобы она оказалась после первой цифры, отличной от нуля. 2. Посчитать количество знаков, на которое пришлось сдвинуть точку — это и будет наше n. 3. Приписать к полученному числу ∙10⁻ⁿ. Например, 0.0000045625963=4.5625963∙10⁻⁶≈4.563∙10⁻⁶. Проверим удобство в расчётах Посчитаем пример из начала поста: 13 000 000 000 000 000 000 ∙ 0.00000075 = 1.3∙10¹⁹∙7.5∙10⁻⁷=9.75∙10¹². И никакого головокружения!

Решим пятничную задачу про музеи. 1) Алисе нужно распределить 4 разных музея на 6 дней — это количество размещений из 6 по 4. Вспомнить отличие размещений от сочетаний можно в посте. Итак, выбрать 4 элемента из 6 с учётом порядка можно n! / (n-k)! способами. Подставим числа: 6! / 2! = 6*5*4*3 = 360 способов. 2) Появилось новое ограничение — теперь не подойдут способы, в которых Алиса посещает больше 2 музеев подряд. Обозначим дни с музеем за 1, а дни без — за 0. Тогда шестизначная комбинация единичек и нулей покажет, в какие дни Алиса посещает музеи, а в какие — нет. Например, 111010 соответствует музейным дням: пн, вт, ср и пт. У нас не может быть трёх единичек подряд, а нулей в принципе всего два. Значит, из шестизначных комбинаций подойдут: 011011, 101011, 101101, 110011, 110101, 110110. Всего 6 подходящих наборов. В каждом на место единичек нужно расставить музеи — получится 4! комбинаций для каждого набора. Значит, Алисе подойдут 6*4! = 144 варианта. 3) Тут условия ещё более строгие (а на самом деле реалистичные): 🔵Хочется оставить субботу под прогулки — значит, нужны схемы с 0 на конце, а такая только одна — 110110. 🔵Билеты в музей Ван Гога есть только на пн-ср, нашей комбинации это не противоречит, у Алисы два варианта дней для этого музея — пн или вт. Остальные музеи надо распределить по трём оставшимся дням — это 3! комбинаций. Итого получаем 2*3! = 12 вариантов. Это из исходных 360 штук. 🙃 Так обычно и бывает в жизни: кажется, что вариантов очень много, но если учесть все условия — остаётся наперечёт. Ставьте: ❤️, если вы тоже пытаетесь посетить максимум достопримечательностей в короткий срок, 🌚, если ваши отпуска — с запасом по времени.

Задача про музеи Амстердама 📌 Алиса приехала в Амстердам и проведёт там полных 6 дней: с понедельника по субботу. Она хочет посетить 4 музея. Алиса знает, что одного музея в день ей достаточно, а больше — уже перебор впечатлений. Осталось придумать, что в какой день посетить! 1) Сколько есть способов распределить 4 музея по 6 дням? 2) Возможно, три музейных дня подряд — тоже перебор. Сколько есть способов распределить музеи, если у Алисы не будет более двух музейный дней подряд? 3) Оказалось, что в музей Ван Гога есть билеты только с понедельника по среду. А ещё хочется оставить всю субботу на прогулки по городу. Сколько теперь вариантов у Алисы, если все предыдущие условия тоже сохраняются? _____ Как всегда — ждём ваши решения и ответы в комменариях под скрытым текстом. Разбор опубликуем в понедельник, а в выходные призываем вас тоже сходить в музей! 😊

Признаки делимости на 3 и на 9 Признаки делимости помогают быстро определить, делится одно число на другое или нет. Мы уже обсуждали признаки делимости на 2, 4 и 8 — там мы смотрели на последние цифры числа. Сегодня пришла очередь делимости на 3 и 9, и здесь уже последние цифры не важны. Нужно смотреть на сумму цифр числа: Если сумма цифр числа делится на 3, то и всё число делится на 3. А если сумма цифр числа делится на 9, то и всё число делится на 9. Простой пример Это верно даже для двузначных чисел. Например, сумма цифр числа 36 равна 9. Она делится на 3 — и само число 36 делится на 3. А сумма цифр числа 40 равна 4. Она не делится на 3 — и само число 40 не делится на 3. Пример посложнее Например, проверим число 275. Сумма его цифр: 2+7+5=14 не делится ни на 3, ни на 9 — значит, и само число не делится ни на 3, ни на 9. Число 915246 (9+1+5+2+4+6=27) делится и на 3, и на 9. И действительно: 915246=305082*3, и 915246=101694*9. А число 57012 (5+7+0+1+2=15) делится на 3, но не делится на 9. Интересный факт Если вы знаете, что число делится на 3, то любое число из этой же комбинации цифр будет делиться на 3 — ведь сумма останется той же! То же верно и для 9. Например, раз 57012 делится на 3 и не делится на 9, то и 12057, 70512, 17520 и т. д. — тоже делятся на 3 и не делятся на 9. Как бы мы ни переставляли цифры в числах, делимость на 3 и 9 не изменится. Задача Найдите наибольшее пятизначное число, которое состоит из разных цифр и делится на 3, но не делится на 9. Ваши рассуждения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Пошалим по-гречески В математике часто используются греческие буквы. Эти буквы особенно хороши своими названиями — их так и хочется зарифмовать! Смотрите на карточках, что у нас получилось. Предлагаем продолжить греческие шалости и придумать в комментариях рифмы к греческим буквам. Математические и не очень. 😇 Альфа — …? Дзета — …? Эпсилон — …?