Математические байки

Даже когда Меркурий "даёт Марсу фору", оказываясь максимально далеко — и то Марс оказывается ближе к Земле лишь чуть больше трети времени.

Посмотрим на Марс и убедимся, что он в этом "круговом" приближении даже только у Меркурия не может выиграть чаще, чем в трети случаев. Вот три картинки — Меркурий в максимально удалённой от Земли точке, "под 90 градусов" и в максимально близкой точке:

Кстати — это хороший момент, чтобы вопрос переформулировать. А именно — давайте поверим, что у наших планет нет заметных орбитальных резонансов, что периоды их обращения вокруг Солнца рационально-независимы. Тогда за большое время планеты окажутся "во всех возможных расположениях", и усреднение по времени (от какой-нибудь величины) будет давать такой же результат, как независимое усреднение по всем планетам, для каждой — за её период. Иными словами, если мы возьмём тор (четырёхмерный, ибо у нас 4 планеты, Меркурий, Венера, Земля, Марса), координаты на котором это 4 "времени года" (фазы, положения на орбите) этих планет — то за большое время траектория окажется распределена почти в соответствии с мерой Лебега на этом торе. И это называется "эргодичность иррационального потока на торе". (Ну, дальше есть тонкий вопрос, а что такое "достаточно большое время", но это я замету под ковёр, просто сказав, что пока прикидываем так, и что прикидка таки работает.)

Отсюда уже видно, в чём проблема у Марса — когда он подходит близко к Земле, он действительно к ней довольно близко (ближе может быть только Венера) — но только при большей части взаимных расположений он от Земли будет далеко!

Видно, что у Меркурия эксцентриситет совсем немаленький (разница между наименьшим и наибольшим расстоянием в полтора раза!), да и у Марса вполне заметный. Но давайте для первой прикидки сделаем картинку, считая все орбиты просто круговыми (и взяв за радиусы большие полуоси). Кстати — вот полуоси с одним знаком после запятой, 0.4 (округляя вверх), 0.7 и 1.5 — совершенно без проблем запоминаются (а для прикидки больше и не надо). (И расстояние в а.е. гораздо проще помнить, чем в миллионах километров!)

Давайте я перепишу сюда данные по трём оставшимся планетам — сначала полностью, а потом мы их "огрубим" до уровня "для первой прикидки сойдёт": Меркурий: перигелий 0.307 AU, афелий 0.466 AU; большая полуось 0.387 AU, эксцентриситет 0.20 Венера: перигелий 0.718 AU, афелий 0.728 AU; большая полуось 0.723 AU, эксцентриситет 0.0067 Марс: перигелий 1.382 AU, афелий 1.666 AU; большая полуось 1.523 AU, эксцентриситет 0.09 Земля: перигелий 0.983 AU, афелий 1.016 AU; большая полуось 1 AU (по определению!), эксцентриситет 0.016

Давайте посмотрим, почему это так и как это можно прикинуть. Во-первых — сразу исключим Юпитер. Перигелий Юпитера — 4.9 астрономических единицы (а.е. = большая полуось орбиты Земли, т.е. "радиус", если пренебречь небольшим, всего в полтора процента, эксцентриситетом орбиты Земли). Конечно, то, что это 4.9, я аккуратно подсмотрел, но "около 5" вполне помнилось. Так вот — если Юпитер не бывает к Солнцу ближе 4.9 а.е., то просто по неравенству треугольника он к Земле не бывает ближе 3.9 а.е. — и потому ни секунды не был к Земле ближе, чем Меркурий или Венера (которые не могут быть дальше 2а.е.), и даже чем Марс (афелий которого это 1.6 а.е., так что максимальное удаление от Земли 2.6 а.е.). Так что Юпитер исключаем сразу.

А правильный ответ удивительный — это Меркурий!

Итак, первое место заняла Венера (что было скорее ожидаемо, я про неё с детства помню эпитет "ближайшая"), второе — Марс. Более того, в начале опроса Марс даже лидировал:

А ещё у Этюдов теперь есть телеграм-канал, @EtudesRu !

Сегодняшний фильм — «Три модели плоскости Лобачевского» в разделе «Модели» (https://etudes.ru/models/lobachevskian-plane-models/). В фильме рассказывается, как прозрачная полусфера с нарисованными на ней окружностями, будучи освещена разными способами, может доставить три разные модели плоскости Лобачевского: модель Пуанкаре в круге, модель Кэли—Клейна на диске, модель Пуанкаре на полуплоскости. Заметим, что Николай Иванович Лобачевский умер, не зная ни одной модели построенной теории (его книга называлась «Воображаемая геометрия»). На сегодняшний день уже известны и другие реализации, отличные от перечисленных выше. Почему начинаем наш новый проект «Математические вторники» именно с этого фильма? О геометрии Лобачевского наслышаны все. Случайный прохожий на улице скорее всего даст неправильное «определение»: геометрия, в которой параллельные прямые пересекаются. Удивительно, что при этом в математической среде далеко не общеизвестны факты, представленные в фильме. Напомнил про эту модель Алексей Брониславович Сосинский, опубликовав статью (https://etudes.ru/.data/localdocs/mp25_sossinsky.pdf) в сборнике «Математическое просвещение» (https://www.mccme.ru/free-books/matpros.html). Этот сборник особенно порекомендуем школьникам старших классов, увлекающимся математикой, и студентам. Это периодическое издание является переходным звеном от популярной математической литературы к профессиональной. Первая серия издавалась с 1934 по 1938, вторая — с 1957 по 1961, а третья — с 1997 года по настоящее время.

Как и было обещано, каждый вторник у Этюдов теперь премьера:

Три модели плоскости Лобачевского https://etudes.ru/models/lobachevskian-plane-models/ Очень наглядное объяснение. Сайту «Математических этюдов» вчера исполнилось 15 лет, сегодня там «Математический вторник», а значит, появилось новое видео, и это как раз оно.

«Приглашаем совершить путешествие по красивым математическим задачам. Их постановка понятна школьнику, но некоторые до сих пор не решены учёными» Сегодня — 15 лет сайту «Математические этюды» ( https://www.etudes.ru/ ). Поздравляем коллег! Редкий сайт живет столько времени — тем более столько времени развивается. Сегодня у Этюдов обновился сайт, видео постепенно становятся доступны в разрешении 4k; и каждую неделю во вторник на сайте будет появляться что-то новое.

(via https://en.wikipedia.org/wiki/William_A._Veech ; да, я проверил, и в статье по ссылке https://www.popsci.com/buckyball-magic-molecule/ из сноски она есть 🙂 )