Математические байки

Кстати, на самом Матпразднике из этой подборки сделали отдельный стенд, и мне кажется, это была исключительно удачная идея: все подходили и смотрели —

« В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно 23021^{377} – 1. Не опечатка ли это? »

Пару недель назад прошёл очередной « Математический праздник » — и подборка задач разных лет (https://olimpiada.ru/article/863 ) мне напомнила о задаче 2001 года С. Маркелова:

Ну и на этой исторической ноте, кажется, мне правильно на сегодня прекратить дозволенные речи.

Кстати — такая же картинка есть и в "Мат. понимании природы" В.И.А., https://www.mccme.ru/free-books/arnold/VIA-mpp.pdf

(И мне кажется, там интересно посмотреть всё интервью; отдельно трогательны рисунки, сделанные рукой самого В.И.А.)

Скриншот отсюда — https://math.ru/lib/files/pdf/mehmat/mm3.pdf

В этом случае можно (во внутренних терминах геометрии Лобачевского) сказать, что у всех трёх высот есть общая перпендикулярная им прямая — или можно, следуя Арнольду, считать, что плоскость Лобачевского это часть плоскости со "знакоопределённой" метрикой, за которой есть релятивистский мир де Ситтера —

В смысле модели Клейна это несложно увидеть — достаточно взять треугольник, у которого одна из вершин это евклидов центр диска P (и тем самым две его евклидовых высоты это и его высоты в смысле плоскости Лобачевского), и при этом который достаточно "тупоугольный" и "большой", чтобы точка евклидова пересечения высот попала бы за диск-модель.

Но — я обещал одну оговорку. Дело в том, что в собственно плоскости Лобачевского высоты могут... не пересечься совсем.

А рассуждение Хованского — модель Клейна в диске вместо центральной проекции. А именно, в модели Клейна прямым плоскости Лобачевского соответствуют отрезки. И если из двух прямых хотя бы одна проходит через евклидов центр P диска-модели, то их перпендикулярность в плоскости Лобачевского равносильна перпендикулярности в евклидовом смысле.

Арнольдовское рассуждение в этом случае использовало тождество Якоби для матриц 2x2 — и его можно посмотреть в его статье в Мат. просвещении: http://mi.mathnet.ru/mp165

Точнее, и то, и другое мне рассказывали в [более сложном] варианте "для плоскости Лобачевского" — откуда вернуться на сферу совсем просто.

И вот это рассуждение я знаю от Хованского.

Всё, победа!

А значит, спроецировав её обратно на сферу (перпендикулярность сохраняется!), мы получим высоту CH_C, проходящую через ту же точку P.

Но тогда и третья высота евклидова треугольника проходит через ту же точку!

Тогда в проекции исходного треугольника мы получим евклидов треугольник, а проекции дуг большого круга AH_A и BH_B будут его высотами: они проходят через точку P, а значит, перпендикулярность им сохраняется.