Математические байки

Нет, конечно, из рекуррентных соотношений это тоже немедленно следует, но это объяснение, мне кажется, более правильное.

Когда мы прибавляем к одному из векторов другой, умноженный на константу, площадь не меняется; когда меняем их местами — меняет знак.

Потому что в числителе разности дробей a/b-c/d = (ad-bc)/bd стоит определитель ad-bc — он же ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на вектора (a,b) и (c,d):

Так вот — после такой линейной интерпретации, например, становится очень понятно, почему разница соседних подходящих дробей это плюс-минус единица, делённая на произведение знаменателей:

Я тут пользуюсь случаем порекламировать замечательную брошюру В.И. Арнольда, "Цепные дроби" (https://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.14-full.pdf ) — с соответствующей картинкой на с. 7:

Так вот — потому что это на самом деле соотношения на вектора v_n, у которых числители p_n и знаменатели q_n это координаты.

И я помню, как в своё время меня удивили рекуррентные соотношения на подходящие дроби — почему-то одинаковые для числителей и знаменателей:

На языке векторов v_n=(p_n, q_n) это соответствует линейному соотношению — v_{n+1}=a_{n+1}v_n + v_{n-1}. Потому что мы смотрим на образ вектора (1, a_{n+1}) под действием всей предыдущей матрицы.

А следующая матрица получается из предыдущей умножением справа на то, что отвечает последнему шагу, A_{n+1}=A_n R_{n+1}.:

Поэтому линейное преобразование, которое мы только что упомянули, имеет в качестве коэффициентов p_n, q_n, p_{n-1} и q_{n-1}:

При этом дробь p_n/q_n, полученная обрыванием цепной дроби на a_n, соответствует подстановке x_n=0 — или, в линейных терминах, вектор (p_n,q_n) является образом вектора (0,1). А обрыв на a_{n-1} — подстановке значения x_n=бесконечности; в линейных терминах — образу вектора (1,0).

И в силу вышесказанного на него можно смотреть как на линейное преобразование — переводящее прямую a=x_{n+1}*b в прямую a=x*b.

После n шагов разложения в цепную дробь у нас образуется выражение вот такого вида —