Математические байки

И вот у нас и появились прямое и обратное преобразования Фурье на прямой.

И в пределе при L, стремящемся к бесконечности, получается

Если теперь есть "хорошая" (достаточно гладкая и убывающая на бесконечности, например) функция f на прямой — её можно приблизить функциями f_{(L)} на окружностях L всё большей длины. Например, взяв сумму по L-сдвигам \sum_n f(x+nL), или ещё как-нибудь. Каждую такую функцию можно разложить в ряд Фурье:

И эта формула становится очень похожей на интегральную сумму Римана.

Но тогда на (1/L) можно посмотреть, как на разность двух соседних частот:

где y_k=k/L — соответствующие частоты.

Теперь можно любую "хорошую" функцию по такому базису разложить, пользуясь общей процедурой разложения по ортогональному базису — спроецируем её на каждый базисный вектор и сложим результаты:

Этот базис (записанный именно в таком виде) ортогональный, но не нормированный: скалярный квадрат каждого из векторов равен длине окружности L.

В "хороших" (комплекснозначных) функциях на ней есть базис Фурье:

Возьмём сначала окружность длины L:

Давайте я продолжу рассказ про решётки. И нам тут понадобятся ещё две вещи, полезные и сами по себе. Одна из них — это преобразование Фурье на прямой.

Ну и на этом я, пожалуй, на сегодня прекращаю дозволенные речи.