Математические байки

Да, а название для таких отображений — cookie cutters, "формочки для печенья" — придумал замечательный математик Дэннис Салливан ( https://ru.wikipedia.org/wiki/Салливан,_Деннис )

Только аффинно-растягивающихся кусочков нужно брать уже не два, а сильно больше.

Ответ: свежая теорема Оливера Дженкинсона, Марка Полликотта и Полины Вытновой, которой Марк завершил доклад, говорит, что точек перегиба действительно может быть сколь угодно много.

Ну и следующий вопрос — хорошо, выпуклой функция не будет, вот пример. А насколько плохой она может быть, может ли у неё быть много точек перегиба?

И если длины кусочков сильно разные (если отношение их логарифмов большое) — то функция уже не выпуклая:

Оказалось, что достаточно взять кусочно-аффинное растягивающее отображение из двух интервалов.

Только вот выпуклость оказалась неправдой: J. Kiwi и G. Iommi нашли контрпример.

Эту функцию исследовал Howie Weiss. Он доказал (в определённых условиях, которые я не формулирую!) её аналитичность — и сказал, что она должна быть выпуклой.

Так вот, из общей логики "есть естественный объект, давайте его исследовать" — можно смотреть на то, как устроено множество точек с заданным показателем Ляпунова. В частности, можно спросить, какая у него размерность. И как устроена функция "размерность в зависимости от показателя Ляпунова".

(Я не хочу лезть в более конкретные детали или писать формулы; в конце концов, это должна быть сложная, но всё-таки байка!)

Скажем, для самого стандартного канторова множества показатель Ляпунова будет просто log 3 в любой точке x, потому что производная T равна 3 везде. А вот если у нас два отрезка, [0,1/a] и [1-1/b,1], то у нас будет (log a)*(доля итераций, попадающих в первый отрезок) + (log b)*(доля итераций, попадающих во второй).

В том случае, когда отображение T — кусочно-аффинное, порождающее канторово множество, производная у него на каждом отрезке области определения постоянна. Так что получается действительно почти "доля единиц" в кодировании точки, только чуть-чуть подкрученная.

И переходят к пределу при n, стремящемся к бесконечности. Вот этот предел (который появляется на слайде выше) и называется показателем Ляпунова (отображения T в точке x).

(Да, "орбита" — это как раз последовательность итераций начальной точки: x, T(x), T^2(x), ...)

Но с корнями и произведениями очень неудобно работать. Поэтому от такого "среднего геометрического производных по орбите" берут логарифм — рассматривают (1/n) log (T^n)'(x) = (1/n) \sum_{j=0}^{n-1} (log T')(T^j(x)).