Математические байки

Сергей Миронович Натанзон (18.10.1948–07.12.2020)

Замечательный вопрос по теории вероятностей — https://twitter.com/thienan496/status/1335534138959400961 Дублирую: подбросили 100 честных монет (не показывая результат). [Игроку] разрешается задать один вопрос вида "да/нет", и получить на него ответ. После этого у игрока про монеты одна за одной спрашивают "орёл или решка", и их открывают. За каждое верное угадывание он получает по доллару. Какой правильный вопрос надо задать, и какой стратегии следовать после того? Осторожно, в комментариях спойлеры!

картинки по выходным: замощения, доказывающие теоремы Тебо и Наполеона, из декабрьского Квантика

Статья Jones-Sato-Wada-Wiens выйдет через 6 лет, в 1976 году.

И один абзац из этой статьи —

Остаётся аккуратно посмотреть, как из всех сравнимостей получается переход в другую сторону — но давайте я это замету под ковёр. И закончу рассказ добавлением пары ссылок: *) вот тут — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=3647 — видеозаписи курса Матиясевича в ЛШСМ-2011 *) а вот тут — статья в "Кванте" 1970 года (первый год, когда "Квант" начал выходить!) Ф. Варпаховского и А. Колмогорова (да-да!), озаглавленная "О решении десятой проблемы Гильберта" — заканчивающаяся как раз предъявлением (но без подробного разбора) этой системы: https://kvant.ras.ru/1970/07/o_reshenii_desyatoj_problemy_g.htm

Условие (7) как раз говорит, что x — это одно из чисел последовательности ψ_k; условие (8) — что его номер k сравним с u; а условие (9) — что v сравнимо с F_{2k}. Так что если v=F_{2u}, то как раз можно взять x=ψ_{2u} — и остаётся достроить все остальные числа.

И если попросить, чтобы сравнивалось одно и то же число x — то как раз получится связать его номер и соответствующее число Фибоначчи.

Так вот — давайте эту последовательность ψ_k приводить по какому-нибудь модулю, по которому m чему-нибудь хорошему равно. А именно: если m сравнимо с 2 по модулю N, то приведение по модулю N превращает соотношение на ψ_k в ψ_{k+1}= 2 ψ_k - ψ_{k-1}, а это соотношение арифметической прогрессии. Поэтому тогда ψ_k сравнимо со своим номером k. А если m сравнимо с 3 по модулю N, то соотношение превращается в ψ_{k+1}= 3 ψ_k - ψ_{k-1}, а это как раз соотношение на числа Фибоначчи F_{2k} с чётными номерами! То есть ψ_k сравнимо с F_{2k} по модулю N.

в) И третья идея — нужно как-то суметь связать число Фибоначчи v с его номером 2u, причём в виде именно равенства. Для этого — для ещё одного, очень большого, числа m запускается ещё одна рекуррентная последовательность: ψ_0=0, ψ_1=1, ψ_{k+1}= m ψ_k - ψ_{k-1}. Точно так же, как для чисел Фибоначчи, свойство чисел (x,y) быть последовательной парой чисел оттуда проверяется полиномиально: необходимо и достаточно, чтобы x^2 - m*xy + y^2 =1. (Без условия целочисленности получилась бы гипербола — так что это описание того, как выглядят целочисленные точки на ней)

И вот здесь начинает возникать экспоненциальный сдвиг: возникает связь между номерами и соответствующими числами Фибоначчи — а это как раз экспонента с основанием в золотое сечение. И тут можно посмотреть на условие (4) из теоремы — как раз гарантирующее, что номер числа g делится на само число l.

б) Делимость чисел Фибоначчи. Во-первых, F_m делится на F_n тогда и только тогда, когда m делится на n. Что несложно увидеть, приведя числа Фибоначчи по модулю F_n: будет номер — 0, 1, 2, ..., n-1, n, n+1,... число — 0, 1, 1, ..., * , 0, * , ..., и после n будет то же, что и после нуля, только умноженное на F_{n-1} (взаимно простое с F_n). Но вот — и это ключевой шаг — если F_m делится не просто на F_n, а на F_n^2, то вот это равносильно тому, что номер m делится на nF_n.

(соответствующая пара лемм)

Собственно, эта статья замечательна тем, что её можно спокойно разобрать сильному школьнику. Вот основные идеи: а) Соотношение x^2-xy-y^2=1 на неотрицательные x и y равносильно тому, что x и y это два последовательных числа Фибоначчи, x=F_{2m+1}, y=F_{2m}. А если бы в правой части было (-1), то было бы x=F_{2m}, y=F_{2m-1}. Утверждение само по себе симпатичное — и мгновенно доказывающееся по индукции (достаточно написать, что x=y+z). И тут можно посмотреть на равенства (2) и (3) из кусочка выше — гарантирующие, что l, z, g и h это числа Фибоначчи.

И собственно явное задание —