Математические байки

Назовём такую траекторию цветком (точнее, объединение всех траекторий слоения, проходящих через данную вершину: мы не можем говорить о траектории после входа в вершину).

Но если есть периодическая траектория — можно её сдвигать "внутрь", пока не получится особая траектория — входящая и выходящая из какой-нибудь из вершин:

Доказательство. Любую траекторию (в частности, периодическую) можно включить в "слоение" плоскости: плоскость-образ после складывания можно нарезать на параллельные прямые, а потом взять полный прообраз этой нарезки. Получаются вот такие красивые картинки:

(Отсюда — https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02169195 )

Теорема (Olga Paris-Romaskevich): Да, всегда.

Каждый раз множество вершин и рёбер, попавших внутрь траектории, образует дерево. Не бывает так, чтобы внутри содержался целый треугольник, куда траектория не заходила бы. А всегда ли это так?

Но и это ещё не всё. Посмотрим ещё на периодические траектории:

Вот всё и доказано. И в частности, траектория луча не может самопересечься — что совершенно не так, например, в бильярдах.

(Да, из ответвлений: мне ситуация, когда складывания переводят что-то в одну прямую, напомнила немного мультик "одним разрезом" — http://www.etudes.ru/ru/etudes/fold-cut-problem/ — но может быть, это далёкая ассоциация... Хотя, наверное, не так и безумно далёкая: если складывание уже есть, то разрезав по этой прямой ножницами/гильотиной, мы как раз путь луча и получим)

А тогда, вернувшись в какой-то треугольник, мы можем пересечь его только по тому же самому отрезку, что и в первый раз — ведь складывающее отображение (по индукции) всю траекторию переводит в одну прямую.

Так вот — магия состоит в том, что при таком складывании отрезки траектории луча переходят на одну и ту же прямую.

Но картинки тут, кажется, понятнее:

И у этого есть очень простое и красивое объяснение. Дело в том, что простейший паркет из одинаковых треугольников можно "сложить" — складывая/отражая относительно каждого ребра. Если говорить формально, то такое "складывание" это (не-взаимно-однозначное) непрерывное отображение из плоскости в плоскость, которое есть изометрия на каждом отдельном треугольнике, а на любые два соседних его ограничения отличаются на симметрию.

Более того, траектория, просто два раза подряд вернувшаяся в один и тот же треугольник, уже обязана оказаться периодической — и зациклиться уже в этот момент. А если траектория периодическая, и её начальное условие чуть-чуть пошевелить (наклонить-сдвинуть), то она останется периодической.