Математические байки

Значит, нужно проверить равенство двух углов между касательными из внешней точки к эллипсу и направлениями на фокусы:

С другой стороны, мы знаем про оптическое свойство эллипса — что касательная к нему тоже перпендикулярна биссектрисе, только другого угла: угла, образуемого отрезками, соединяющими точку с фокусами. (Собственно, можно сказать, что это вырожденный случай предыдущего, когда фигуру заменили на отрезок от одного фокуса до другого.)

Физическое доказательство, которое там упоминается, на самом деле, очень естественное. А именно — если вокруг любой выпуклой фигуры прорисовывать кривую "по Грейвсу", то касательная к ней будет перпендикуляром к биссектрисе угла, образованного двух отрезками, отходящими от карандаша. Потому что на карандаш действует сила "реакции нитки", складывающаяся из двух сил, приходящих из двух отрезков. Но в отсутствие трения натяжение нити на всём её протяжении одинаково по модулю — так что мы складываем два равных по модулю вектора. И их равнодействующая будет направлена по биссектрисе угла между двумя отрезками — а, соответственно, карандаш будет двигаться перпендикулярно этому направлению:

Я помню, какой удивительной мне показалась эта теорема, когда я её в первый раз услышал — как раз из-за того, что я знал, что длина дуги эллипса задаётся интегралом, который в элементарных функциях не выражается.

Премьера сайта «Математические этюды». А вы знаете, как изобразить эллипс, обладая лишь карандашом, замкнутой ниткой и двумя гвоздями? Надо накинуть нить на два вбитых гвоздя. Тогда кривая, которую нарисует карандаш, если в каждый момент он будет натягивать нить, как раз и будет эллипсом, а гвоздики будут находиться в его фокусах. Часто математики именно так и определяют: эллипс — геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек (фокусов) постоянна. А что будет, если на плоскость положить уже готовый эллипс из плотного материала и использовать его вместо гвоздей? Оказывается, карандаш, натягивающий нить, опять нарисует эллипс, причём софокусный исходному. Это утверждение называется теоремой Грейвза и именно о ней сегодняшний наш фильм https://etudes.ru/models/conic-sections-confocal-ellipses/.

Краткая иллюстрация того, как расшифровывают знаки, обозначающие цифры в умерших языках. https://katherinemcdonald.net/2020/11/05/the-mystery-of-etruscan-4-and-6/

О, какая прекрасная история!

(Но до и после там тоже интересно!)

(Ключевой) кадр из видео Numberphile —

К вечеру воскресенья — давайте я поделюсь несколькими видео: 1) Савватеев про задачу про сборку замкнутой дороги. Очень хорошо сделано — и задача действительно удачно выбрана. Когда он предлагает поставить паузу и подумать — это и впрямь стоит сделать! https://www.youtube.com/watch?v=lLZzgpG5320 2) Очень классно сделанное видео про клеточные автоматы — https://www.youtube.com/watch?v=FiO6jkNkrb4 (мои поздравления автору!). Тут не только игра "Жизнь", но и ракушка и "правило 30 Вольфрама", и муравей Лэнгтона (а под конец — и его 3d-аналог), и заканчивается, действительно, [некоторой] 3d-версией игры "Жизнь" — похожим на неё клеточным автоматом с "достаточно интересным" поведением. 3) свежее видео Numberphile с практически "пляшущими человечками": https://www.youtube.com/watch?v=9p55Qgt7Ciw

А ещё можно вспомнить двуслойный графен — и то, что происходит с его слоями при повороте: вот тут ( https://elementy.ru/problems/835/Uzory_dvukhsloynogo_grafena ) задача Игоря Иванова, а вот тут ( https://nplus1.ru/news/2018/03/05/magic-graphene ) — новость про его превращение в сверхпроводник при правильном выборе угла

А ещё интереснее, если исходная решётка была треугольной... Попробуйте сделать сами (когда Тадаси мне это показал, я прыгал от восторга)! Ну а когда я рассказал это Коле Андрееву, он сказал, что уже знает по другой причине — см. последнюю иллюстрацию отсюда: https://book.etudes.ru/toc/colorspaces/#xtra1

А теперь давайте их наложим одну на другую — и будем поворачивать. Что получится? Оказывается, получается очень красивая картина:

Ну и мне это напомнило муаровую картинку, которую мне когда-то показал совершенно замечательный Тадаси Токиэда (Tadashi Tokieda). А именно — возьмём две шахматных решётки, одна из которых напечатана (или нарисована) на прозрачной бумаге:

А ещё — оказывается, Этюды ещё в феврале выложили текст/модель про появление конических сечений в муарах: https://etudes.ru/models/conic-sections-moire/

А тогда наша конструкция становится просто решёткой из параллелограммов, которая "складывается" самым, что ни на есть, естественным образом.

И сначала это кажется чем-то совершенно мистическим ("существует семейство деформаций параболоидов, сохраняющих оба семейства образующих и изометричных на каждом из них"), пока не догадаешься посмотреть на это сверху — или, что то же самое, спроецировать вдоль направления, по которому оранжевые и фиолетовые плоскости пересекаются, на горизонтальную плоскость.