Математические байки

Но e^{-y^2/2n} это почти плотность нормального распределения с дисперсией n — только её ещё нужно поделить на \sqrt{2\pi n}.

Поэтому гамма-функция Г(n) примерно равна произведению (n/e)^n на интеграл от e^{-y^2/2n}.

На самом деле, приближение выше хорошо работает не только при маленьких y, но при y порядка корня из n — а потом подынтегральная функция уже становится слишком маленькой.

А тогда

Значит, первый нетривиальный член ряда Тейлора квадратичный; g''(n) = -1/n, поэтому

Производной тоже нет: это точка максимума.

Значение, собственно, у неё там обращается в 0 — мы его вычли.

Потому что — посмотрим, как ведёт себя функция g(x)-g(n) рядом с точкой x=n, где её значение максимально.

На самом деле — он и есть (чем больше n, тем точнее).

Правда, напоминает гауссовский колокол выше?

Вот как выглядит график подынтегральной функции при n=30:

Вынесем его за интеграл; останется интеграл от exp(g(x)-g(x_0)).

И равно оно f(n)=(n/e)^n — то есть мы опять поймали экспоненциальную часть приближения.

тогда мы хотим максимизировать g(x). Её производная равна g'(x)=n/x -1, значит, максимальное значение принимается в точке x_0=n.

Запишем её как exp(g(x)), где g(x)= ln f(x) = (n ln x - x);

Сначала посмотрим: а где подынтегральная функция f(x)=x^n e^{-x} принимает максимальное значение?

Так вот — а как бы нам оценить, чему равен этот интеграл?