Математика з ЩА ⚡️ Підготовка до НМТ 2026

📸 Приклади розв'язання завдань на арифметичну прогресію Ділюся з вами різноманітними прикладами і ситуаціями, пов'язаних із арифметичною прогресією, та стратегіями їх розв'язання. Усе наведено на скриншотах. 🔗 Дивіться та зберігайте! 🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

⚡️ Арифметична прогресія Сьогодні ми переходимо від теорії послідовностей до справжньої «зірки» шкільної програми — арифметичної прогресії. Це та тема, яка зустрічається чи не в кожному варіанті НМТ з математики.

🔍 Арифметична прогресія — це числова послідовність, у якій кожен наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додано одне й те саме число. Це стале число називають різницею прогресії та позначають буквою 𝑑.

✈️ Позначення: 🔘 (𝑎ₙ) — арифметична прогресія; 🔘 𝑎₁ — перший член; 🔘 𝑎ₙ₊₁ — наступний член; 🔘 𝑎ₙ₋₁ — попередній член 🔘 𝑑 — різниця (𝑑 = 𝑎ₙ₊₁ – 𝑎ₙ); 🔘 𝑛 — номер члена. ✈️ Приклад: 3, 7, 11, 15, 19, ... . Тут 𝑎₁ = 3, а 𝑑 = 4 (бо 7 – 3 = 4, 11 – 7 = 4 і так далі). ✈️ Розрізняють такі види арифметичні прогресії: 📈 Зростаюча, якщо 𝑑 > 0. Кожне наступне число більше за попереднє. ✈️ Приклад: Приклад: 2, 5, 8, 11, ... 📉 Спадна, якщо 𝑑 < 0. Кожне наступне число менше від попереднього. ✈️ Приклад: 10, 6, 2, –2, ... ➖ Стаціонарна, якщо 𝑑 = 0. Усі члени прогресії однакові. ✈️ Приклад: 5, 5, 5, 5, ... 🔍 Формула 𝑛-го члена. Щоб знайти будь-який член прогресії можна використати формулу 𝑛-го члена:

𝑎ₙ = 𝑎₁ + 𝑑(𝑛 – 1)

✈️ Приклад. Знайдіть 20-й член арифметичної прогресії (𝑎ₙ), у якої 𝑎₁ = 5, різниця 𝑑 = 3. ✈️ Розв'язання: 𝑎₂₀ = 5 + 3 ⋅ (20 – 1) = 5 + 3 ⋅ 19 = 5 + 57 = 62. Відповідь: 62. 🔺 🔍 Характеристична властивість. Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх із ним членів:

𝑎ₙ = (𝑎ₙ₋₁ + 𝑎ₙ₊₁)∕2

🔍 Доведення. Маємо: 1️⃣ За означенням арифметичної прогресії: 𝑎ₙ₋₁ = 𝑎ₙ – 𝑑, а 𝑎ₙ₊₁ = 𝑎ₙ + 𝑑. 2️⃣ Виконаємо додавання: 𝑎ₙ₋₁ + 𝑎ₙ₊₁ = (𝑎ₙ – 𝑑) + (𝑎ₙ + 𝑑) = 2𝑎ₙ. 3️⃣ Поділимо на 2 і отримаємо: 𝑎ₙ = (𝑎ₙ₋₁ + 𝑎ₙ₊₁)∕2. Що й треба було довести. ✈️ ✈️ Приклад. В арифметичній прогресії (𝑎ₙ) 𝑎₇ = 18, 𝑎₉ = 24. Знайдіть 𝑎₈. ✈️ Розв'язання: 𝑎₈ = (𝑎₇ + 𝑎₉)/2 = (18 + 24)/2 = 42/2 = 21. Відповідь: 21. 🔺 🔍 Сума 𝑛 перших членів. Легенда каже, що маленький Карл Гаусс розв'язав задачу на визначення суми перших 100 натуральних чисел за секунди, помітивши, що суми пар чисел з кінців однакові. ✈️ Основні формули: 1️⃣ Якщо знаємо перший та останній члени арифметичної прогресії, то:

𝑆ₙ = ((𝑎₁ + 𝑎ₙ)∕2) ⋅ 𝑛.

2️⃣ Якщо знаємо перший член 𝑎₁ та різницю 𝑑 арифметичної прогресії, то

𝑆ₙ = ((2𝑎₁ + 𝑑(𝑛 – 1))∕2) ⋅ 𝑛.

🔍 Доведення. Маємо: 1️⃣ Запишемо суму двома способами: спочатку від першого до останнього, а потім навпаки. 𝑆ₙ = 𝑎₁ + (𝑎₁ + 𝑑) + ... + (𝑎ₙ – 𝑑) + 𝑎ₙ 𝑆ₙ = 𝑎ₙ + (𝑎ₙ – 𝑑) + ... + (𝑎₁ + 𝑑) + 𝑎₁ 2️⃣ Додамо ці два рівняння почленно. Кожна пара (наприклад, 𝑎₁ + 𝑎ₙ) дасть однакову суму. Таких пар буде 𝑛 штук. 2𝑆ₙ = (𝑎₁ + 𝑎ₙ) ⋅ 𝑛 3️⃣ Отримуємо: 𝑆ₙ = ((𝑎₁ + 𝑎ₙ)∕2) ⋅ 𝑛. 4️⃣ Підставимо 𝑎ₙ = 𝑎₁ + 𝑑(𝑛 – 1) в формулу попереднього пункту. Маємо: 𝑆ₙ = ((𝑎₁ + 𝑎₁ + 𝑑(𝑛 – 1))∕2) ⋅ 𝑛 = ((2𝑎₁ + 𝑑(𝑛 – 1))∕2) ⋅ 𝑛. Доведено. ✈️ ✈️ Приклад. В арифметичній прогресії (𝑎ₙ) 𝑎₁ = 27, 𝑎₂₀ = –17. Визначте суму 20 перших членів цієї прогресії. ✈️ Розв'язання: 𝑆₂₀ = ((𝑎₁ + 𝑎₂₀)∕2) ⋅ 20 = (27 – 17) ⋅ 10 = 100. Відповідь: 100. 🔺 💬 Задавайте свої питання в коментарях! 🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

💬 Виконайте завдання та пишіть свої відповіді в коментарі.

📊 Максимально наближено до реального НМТ з української мови Хочеш перевірити свої сили в українській мові ще до іспиту? Ми підготували для тебе дещо особливе. 📱 Онлайн-посібник «10 варіантів НМТ з української мови» від М. М. Бєрдової — це не просто збірка завдань, це повноцінний тренажер, який занурить тебе в атмосферу реального тестування. 🖥 У посібнику: ✅ 10 повноцінних варіантів: 30 завдань у кожному, структура ідентична офіційній. ✅ Авторські завдання: жодних прикладів з інтернету, тільки унікальний контент. ✅ Усе для перевірки: правильні відповіді до всіх тестів. ✅ Система оцінювання: таблиця переведення балів у шкалу 100-200, щоб ти знав свій реальний рівень. Цей посібник допоможе навчитися розподіляти час та виявити слабкі місця. 💡 Спеціальна пропозиція: забирай повний збірник всього за 250 грн (330 грн). 👉 Пиши менеджеру @abitads слово "МОВА", щоб отримати посібник. 🇺🇦@abitmova 🇺🇦@abitblog