Ботаем геому

Добрая задача Четырёхугольник АВСD. M, N середины диагоналей. MN пересекает противоположные CD, AB стороны в точках X и У. (!) CX/XD=AY/YB

точки Х и У изогонально сопряжены относительно ABCD (!) педальные окружности пересекаются на диагонали Формулировка: Станислав Кузнецов

4.5.62 М - середина PQ (!) TM перпендикулярна ХУ

немного больше фактов об этой картинке (!) MX и NY касаются вневписанной окружности (!) касательные к описанной окружности в N и M касаются вневписанной (!) IK содержит точку пересечения касательных ко вневписанной в Х и У

E, F - основания биссектрис. (!) MX и NY касаются вневписанной окружности

И листик с некоторым количеством задач с олимпиад последних лет на эту тему

Листики и статьи на тему изогонального сопряжения

АВСD описан около окружности с центром в I. P и Q на биссектрисах таковы, что ∠PDQ=1/2∠ADC (!) ∠PBQ=1/2∠ABC

На сторонах (или продолжениях сторон) AC и BC выбираются точки Х и У так, что AX=BY. Докажите, что ГМТ точек пересечения окружностей (CXB) и (CYA) 2 фиксированные прямые.

Добавлю от себя листик

Листики про лемму о соосных окружностях Из задач этого года, где она помогает помню задачу с устной городской олимпиады 10.5: Через вершину D параллелограмма ABCD проведена произвольная прямая l1, пересекающая отрезок AB и прямую BC в точках C1 и A1 соответственно, и произвольная прямая l2, пересекающая отрезок BC и прямую AB в точках A2 и C2 соответственно. Найдите геометрическое место точек пересечения окружностей A1BC2 и A2BC1 (отличных от точки B). Это видео поможет с ней разобраться, если листика не хватает https://m.youtube.com/watch?v=iyRBcvvoCrE&feature=youtu.be

Серая окружность - 9 точек (!) Красные точки лежат на одной окружности (!) Центр этой окружности лежит на окружности 9 точек

E любая точка на прямой АВ. CF такая, что [CA, CB; CE, CF]=-1. X, Y проекции ортоцентра на CE и CF. (!) Х, У середина АВ на одной прямой

Получается она инверсией в D в такой лемме к геоме с imo2021

Добрая задача (возможно, слишком) Серые окружности равны. А и В любые точки на них. (!) AB||EF