Истории (не)успеха (ИИ)ЕИ

#НастроениеВторника

И ещё очень рекомендую свежий, подробный и не черезмерно технический текст Теренса Тао о том, как развивалась задача Какеи и почему результат Ван и Цаля так важен: Rotating needles in space: the road to the Kakeya conjecture, and why it matters. В ближайшие дни разберём и работы трёх других лауреатов Филдсовской медали 2026 года.

Продолжение. Начало тут 👆 4/4 А что будет в трёх измерениях? Представим теперь не стол, а всё пространство. Нам нужно множество, которое содержит отрезок в каждом возможном направлении в 3D. Оно вполне может иметь нулевой объём. Но может ли его фрактальная размерность быть, например, 2,5? Или 2,99? Или вообще сколь угодно близкой к двум? Математики были убеждены, что нет. Они предполагали, что такая конструкция обязательно должна иметь полную размерность 3. Это и есть трёхмерная гипотеза Какеи. И именно её — спустя десятилетия попыток — в 2025 году доказали Хун Ван и Джошуа Цаль. 3️⃣ От иголки к Фурье и волнам И вот здесь история становится ещё интереснее. Хун Ван — специалист по гармоническому анализу. Если очень грубо, это область математики, которая пытается понять сложные функции через их составляющие — например, через волны. И выясняется удивительная вещь. Во многих задачах математик фактически сталкивается с огромным количеством длинных тонких трубок, направленных в разные стороны. Каждая трубка соответствует определённой волновой компоненте. А чтобы понять, как ведёт себя вся система, нужно понять: как эти трубки могут пересекаться, группироваться и концентрироваться в пространстве? И тут внезапно оказывается, что перед нами практически та же геометрия, что и в задаче Какеи. Отсюда и возникает глубокая связь между вроде бы совершенно разными вещами: Фурье-анализ → волны → трубки → геометрия → множества Какеи. Сама Ван рассказывала, что именно через гармонический анализ пришла к задаче Какеи. В частности, её интересовали функции, которые можно разложить на волновые компоненты, каждая из которых соответствует длинной тонкой трубке; чтобы понять поведение таких функций, приходится понимать геометрию этих трубок. И это одна из причин, почему задача Какеи настолько важна. Она оказалась не изолированной головоломкой про иголку. Она лежит в основании целой башни других математических проблем. То есть перед нами не история: «Была одна нерешённая задача → Хун Ван решила её → получила медаль». Скорее это история о том, как разные области математики неожиданно начали сходиться в одной точке. И здесь особенно хорошо видно, как работает современная математика. Задача, которая начиналась как вопрос: «Как повернуть иголку?» через сто лет оказывается связана с: Фурье-анализом, волновыми уравнениями, фракталами, геометрией меры, комбинаторикой и теорией распространения волн. А методы, которые математики разрабатывали для одной проблемы, начинают работать в совершенно других местах. Есть ещё одна деталь, которую я очень люблю в этой истории. Ван и Цаль опубликовали свою работу в феврале 2025 года. Это 127-страничное доказательство, которое на тот момент ещё не прошло полноценную проверку рецензированием. Но специалисты уже тогда оценивали его как выдающийся и крайне инновационный результат. CNRS прямо называет работу кульминацией нескольких десятилетий прогресса, связанного другими математиками: среди прочих, с Бургеном, Вольфом, Кацем, Лабой, Тао и Ларри Гутом. И это тоже красиво. Потому что сама Хун Ван говорит о своей работе довольно скромно: ей повезло иметь инструменты, которые до неё создали другие математики. А математика вообще довольно коллективная штука. Иногда ты строишь один этаж. Кто-то до тебя построил девять предыдущих. А потом выясняется, что именно тебе выпало поставить крышу. ◆

Продолжение. Начало тут 👆 3/4 И тут возникает следующий вопрос. Если площадь нам больше ничего не говорит о множестве, то насколько большим является такое множество на самом деле? 2️⃣ От площади к фрактальной размерности Представьте обычную линию. У неё размерность 1. У поверхности — 2. У куба — 3. Но существуют объекты, которые находятся где-то между этими категориями. Например, знаменитый треугольник Серпинского или снежинка Коха (см. картинку 👆). У них площадь может быть нулевой, но они всё-таки явно «толще», чем обычная линия. Для описания этой степени «толщины» математики используют фрактальную размерность. И тогда задача Какеи превращается в гораздо более интересную:

Если множество в плоскости содержит отрезок каждого направления, насколько маленькой может быть его фрактальная размерность?

В 1971 году Рой Дэвис доказал, что в двумерном случае она не может быть меньше 2. То есть площадь может быть нулевой, но само множество всё равно имеет полную размерность пространства. Продолжение тут 👇

Продолжение. Начало тут 👆 2/4 Начнём с двумерного случая. Кладём иголку на стол и вращаем. Kакую минимальную площадь должен иметь стол, чтобы на нём это можно было сделать? На первый взгляд ответ очевиден — круг диаметром с иголку. Но математика, как это часто бывает, решила испортить очевидный ответ. Оказалось, что существуют гораздо более экономные фигуры. Например, специальная трёхлепестковая фигура — дельтоида — позволяет уменьшить площадь примерно вдвое (см. картинку 👆). Казалось бы, осталось только найти идеальную форму и доказать, что она действительно минимальна. И вот здесь начинается самое интересное: никакой минимальной площади не существует. Оказывается, можно построить множество, которое имеет сколь угодно маленькую площадь, но при этом содержит отрезок в каждом направлении! То есть можно взять объект, который по площади практически «ничего не весит», и всё равно умудриться разместить внутри него иголки абсолютно во всех направлениях. Продолжение тут 👇

Как повернуть иголку во все стороны и почти не занять места 🪡 1/4 Сегодня поговорим о ещё одном лауреате Филдсовской медали 2026 года. На этот раз — о Хун Ван, профессоре NYU и постоянном профессоре IHES, которая, кроме прочего, решила и трёхмерный случай знаменитой гипотезы Какеи — задачи, сопротивлявшейся математикам больше века. 1️⃣Задача об иголке (гипотеза Какеи) Начнём с совершенно детского вопроса:

Какую минимальную площадь нужно занять, чтобы повернуть иголку так, чтобы она побывала во всех возможных направлениях?

Именно эту задачу в 1917 году поставил японский математик Соитиро Какея. Если иголка лежит на столе, всё понято: покрутили — она заметает некоторую область. Но дальше математика, как это часто бывает, начинает издеваться над нашей интуицией. Продолжение тут 👇

Для тех коллег, которые давно на нас подписаны, не секрет: частенько наша прозорливость (от которой мы сами временами офигеваем) позволяет нам замечать важные научные тренды и обращать на них внимание наших уважаемых подписчиков задолго до того, как они добираются до большой прессы. Больше года назад мы разбирали работу Юй Дэна и его коллег, посвящённую одной из самых фундаментальных задач современной математической физики — шестой проблеме Гильберта. Речь шла о связи между двумя совершенно разными картинами мира: с одной стороны — законы Ньютона и движение отдельных молекул, с другой — температура, давление и привычные нам уравнения термодинамики и гидродинамики. Тогда это выглядело как довольно специальная математическая история. А 23 июля 2026 года Юй Дэн получил за работы в этом направлении престижнейшую математическую награду — медаль Филдса (Нобелевская премия для математиков). Кстати, медаль Филдса вручают не каждый год, а раз в четыре года, в рамках Международного конгресса математиков. В этом году её получили сразу четыре математика. И вот что забавно: несмотря на масштаб награды, имена этих людей и результаты, за которые они её получили, Telegram каналы освещают эту тему как-то слабо. А ведь за каждым из этих четырёх имён стоит совершенно безумная история — проблемы, над которыми математики бились десятилетиями, неожиданные связи между совершенно разными областями и результаты, которые ещё долго будут определять развитие науки. Ну а поскольку вы, друзья, подписаны на самый шикарный и кошерный канал, который только есть в Telegram, мы просто обязаны продолжить эту тему. В ближайшие дни разберём подробнее и остальные три Филдсовские награды 2026 года — чтобы наконец выяснить, за что именно этим людям дали «математические Нобели» и почему это вообще так интересно. А пока — наш разбор работы Юй Дэна, опубликованный задолго до того, как за эту тему ему вручили медаль Филдса: [ссылка], [ссылка]. #Math #MathPhysics #FieldsMedal

4/4. Продолжение. Начало тут 👆 1. Архивная память ДНК невероятно плотна как носитель информации. В 2016 году была продемонстрирована технология DNA Fountain, показавшая возможность хранения цифровых данных в синтетической ДНК с очень высокой плотностью и устойчивостью к ошибкам. В теоретических оценках плотность хранения ДНК достигает порядка сотен петабайт на грамм. Это совершенно другой масштаб, чем привычные нам электронные носители. А биологический мир уже демонстрирует впечатляющую долговечность молекулярной информации: ДНК из древних останков удаётся извлекать спустя десятки и сотни тысяч лет при подходящих условиях сохранения. Но здесь тоже нет магии, которая решила бы все вычислимые проблемы бесплатно. Синтез дорог. Запись медленная. Чтение требует секвенирования. Случайный доступ и исправление ошибок остаются сложными инженерными задачами. Поэтому ДНК выглядит не как замена SSD в ноутбуке, а скорее как потенциально интересный архивный носитель огромной плотности. В электронном компьютере мы перемещаем электроны. В DNA computing мы можем использовать саму динамику молекулярного взаимодействия. Например, strand displacement позволяет одной цепи ДНК вытеснять другую благодаря различиям в стабильности связанных состояний. Из таких реакций можно строить логические схемы. А дальше возникает совершенно другая архитектура вычислительной системы: не CPU → память → шина → программа, а молекула → молекула → реакция → состояние системы. В 2018 году исследователи из Caltech продемонстрировали молекулярную нейронную сеть на основе DNA strand displacement, которая в эксперименте классифицировала рукописные цифры MNIST. Время вычисления? Около нескольких часов. По меркам GPU — катастрофа. По меркам молекулярной диагностики для медицинских целей — уже совсем другой вопрос. Потому что здесь скорость вычисления может быть не главным параметром. Если вычислительная система находится непосредственно в биохимической среде, она потенциально может анализировать молекулярные маркеры и реагировать на них. И тогда появляется совершенно другой класс приложений: обнаружить комбинацию молекулярных сигналов → выполнить логическое условие → инициировать биологический ответ. Это уже не «медленный компьютер». Это компьютер, встроенный в биохимическую среду, которую он наблюдает. Финал И вот здесь для меня вся история с кремнием, квантами и ДНК складывается в одну картину. Мы часто спрашиваем: «Какой компьютер самый мощный?» Но это не совсем правильный вопрос. Правильнее спросить: «Какой физический субстрат лучше всего подходит для данного типа вычисления?» • Кремний великолепен там, где нужны скорость, точность, универсальность и масштабируемая инженерия. • Квантовые системы интересны там, где структура задачи позволяет использовать интерференцию и квантовые алгоритмы. • ДНК и другие молекулярные системы интересны там, где нужны экстремальная плотность, массовый молекулярный параллелизм или вычисление непосредственно в биохимической среде. И всё это возвращает нас к одной довольно красивой мысли. Смена субстрата меняет экономику вычисления, его архитектуру и доступные ускорения. Но она не отменяет фундаментальные барьеры сложности, которые диктует математика. Можно заменить классические регистры на кубиты. Кубиты — на молекулы. Молекулы — на химические реакции. Можно построить компьютер из чего угодно, что позволяет физика. Потом тихо открыть учебник по теории сложности. И обнаружить, что Вселенная всё равно выставила счёт. А Усердный Бобёр тем временем просто улыбается в сторонке.

3/4. Продолжение. Начало тут 👆 Но дальше физика снова выставляет счёт. Квантовые состояния чрезвычайно чувствительны к шуму и взаимодействию с окружающей средой: декогеренция, ошибки вентилей, ошибки измерений и необходимость коррекции ошибок. Теорема о запрете клонирования тоже не позволяет решить проблему в лоб: неизвестное квантовое состояние нельзя просто скопировать сколько угодно раз и использовать копии как резервные. Поэтому физический кубит — очень хрупкая вещь.Чтобы получить надёжный логический кубит, приходится использовать много физических кубитов и сложные схемы коррекции ошибок. Квантовый компьютер действительно меняет вычислительную архитектуру. Но он не меняет цену, которую прийдётся заплатить за его физическую реализацию. Часть 3. Хорошо. А если вообще отказаться от кремния? И вот здесь становится особенно интересно. Потому что существует целый океан так называемого unconventional computing: мемристоры, оптические вычисления, клеточные автоматы, химические компьютеры, квантовые системы и, конечно, ДНК-вычисления. На первый взгляд идея кажется безумной: зачем вычислять битами, если можно вычислять молекулами? Молекулы ДНК обладают одним свойством, которое делает их очень необычным вычислительным субстратом: молекулы можно массово синтезировать, комбинировать, сортировать и считывать. То есть вместо одного быстрого процессора мы потенциально получаем огромное количество молекулярных объектов, работающих параллельно. И в 1994 году Леонард Эдлман показал, насколько эффектной может быть эта идея. Он закодировал вершины и рёбра графа в молекулах ДНК и использовал биохимические операции для решения небольшой задачи о гамильтоновом пути в абстрактной математической структуре - в графе. Масштаб был крошечным. Но концептуально это было прекрасно: мы заставили биохимию выполнять алгоритм. Часть 4. ДНК не покорила NP И здесь начинается место, где научпоп обычно делает слишком большой прыжок. После экспериментов с DNA computing периодически появлялся заголовок: «ДНК-компьютер решит NP-полные задачи!» Нет. ДНК-вычисления не обошли NP-полноту. Они просто предложили очень необычный способ перебора огромного количества кандидатов. Если у нас есть N вариантов, молекулярный параллелизм может быть невероятно мощным. Но количество вариантов растёт слишком быстро. Для факториального перебора: • 7! = 5 040 • 10! = 3 628 800 • 20! ≈ 2.4 × 10¹⁸ • 100! ≈ 10¹⁵⁸ • 200! ≈ 10³⁷⁵ И тут возникает очень неприятный вопрос: где взять физическую материю для такого количества вариантов (200! ≈ 10³⁷⁵)? Чтобы просто физически уместить столько ДНК-молекул в пробирку для полного перебора, масса раствора должна превышать массу всей обозримой Вселенной в 10³²⁸ раз. Молекулярный параллелизм не отменяет комбинаторный взрыв. Он просто позволяет некоторое время посмотреть на него свысока. До какого-то размера задачи, довольно небольшого. Давайте снимем розовые очки. Часть 5. А теперь появляется настоящий злодей Даже если дать нам идеальную пробирку, идеальные ферменты и бесконечно много молекул, остаётся теория вычислимости. Тут в комнату заходит Busy Beaver — Усердный Бобёр. Бобёр начинает невинно: берём все останавливающиеся программы определённого размера и спрашиваем: какое максимальное количество работы может выполнить такая программа перед остановкой? А дальше математика начинает откровенно издеваться. Busy Beaver растёт быстрее любой вычислимой функции. Не просто экспоненты. Не просто башен степеней. Любой вычислимой функции. И вот здесь становится особенно красивым различие между двумя вопросами: • Что можно вычислить в теории? (отвечает теория вычислимости) • Что можно вычислить на практике? (отвечает физика) А между ними находится гигантская территория, которую изучает теория сложности вычислений. Часть 6. И всё-таки: зачем нам ДНК в вычислениях? После всего этого можно было бы решить, что DNA computing — просто красивая научная игрушка. Но именно здесь начинается самое интересное. Потому что сильная сторона ДНК может находиться вовсе не в попытке заменить кремниевые вычисления на основе CPU. Продолжение 👇

2/4. Продолжение. Начало тут 👆 Итак, погнали! Что же такое вычисления и что такое компьютер? За пределами теоретической информатики слово «компьютер» всё ещё вызывает в воображении либо шумную коробку с вентиляторами под столом, либо фольклорного «квантового монстра», который вот-вот выйдет из секретной лаборатории и сломает мировую криптографию. А ведь компьютер — это не просто коробка с микросхемами и проводами. Это физическая система, реализующая вычисление. И если начать смотреть на вычисления именно так, привычная картина внезапно становится гораздо интереснее. Не только кремниевые чипы, а и квантовые состояния, молекулы ДНК, химические реакции — совершенно разные физические субстраты могут реализовывать вычислительные процессы, в точности те же, что и обычный ПК или универсальная машина Тьюринга. И тут возникает красивый вопрос: а может ли новый субстрат как квантовые вычисления или ДНК-вычисления с помощью молекул в пробирке дать нам принципиально новый компьютер? Короткий ответ: иногда — новый класс возможностей. Но не в том смысле, в котором нам хотелось бы. Часть 1. Чёрч, Тьюринг и Дойч: Вселенная не даёт нам магии Начнём с фундаментального уровня. Классический тезис Чёрча — Тьюринга говорит о том, что эффективно вычислимые функции могут быть описаны универсальными формальными моделями вроде машины Тьюринга. Но физика добавляет более амбициозный вопрос: существует ли физический процесс, который принципиально невозможно эффективно смоделировать универсальным компьютером? Мы уже несколько раз пытались атаковать эту тему, например здесь и здесь. Именно в этом контексте появляется физическая версия тезиса Чёрча — Тьюринга, связанная, в частности, с Дэвидом Дойчем и развитием идеи универсального квантового компьютера. В рамках известных нам физических моделей разные вычислительные субстраты не дают нам машины, способной решить фундаментально невычислимую задачу. Ни кремний, ни квантовый компьютер, ни ДНК не отменяют невычислимость проблемы остановки Тьюринга. Новая физика не превращает невычислимое в вычислимое. Так что оставим глобально невычислимые проблемы и обратимся к алгоритмически вычислимым. И тут начинается самое интересное. Потому что между «можно вычислить в теории» и «можно вычислить за разумные ресурсы» лежит практически вся компьютерная наука. Часть 2. Вселенная выставляет счёт за вычисление Если мы остаёмся в рамках вычислимых задач, вопрос звучит иначе: сколько времени, памяти, энергии и прочих физических ресурсов мы должны заплатить за вычисление? И вот здесь каждый вычислительный субстрат получает свой персональный троллинг от Вселенной. 1. Кремний: физика говорит «быстрее уже нельзя» Современный компьютер построен на удивительно простом принципе: управляем движением зарядов и используем транзисторы для реализации логики. Но чем меньше становятся элементы, тем больше появляется неприятных физических эффектов: туннелирование, утечки, тепловыделение, ограничения плотности энергии, проблемы межсоединений. На фундаментальном уровне термодинамика тоже напоминает о себе: необратимое стирание информации имеет минимальную энергетическую цену — предел Ландауэра. Мы, конечно, ещё очень далеки от буквального достижения этого предела в обычном компьютере. Но сама идея прекрасна: информация не существует отдельно от физики. 2. Квантовый компьютер: «хорошо, попробуем другую физику» Квантовая механика предлагает нечто действительно необычное. Состояние N кубитов живёт в пространстве размерности 2ᴺ. Но здесь важно не впасть в популярный миф: квантовый компьютер не просто вычисляет все 2ᴺ вариантов одновременно, а потом читает правильный ответ. Вся сила — в управлении амплитудами и интерференцией. Правильно построенный алгоритм усиливает нужные ответы и подавляет ненужные. Поэтому существуют задачи, где квантовый компьютер получает принципиальное ускорение. Классический пример — алгоритм Шора для факторизации. Продолжение тут 👇

Зарисовка о природе вычислений или Рассказ о том, как нас троллит Вселенная 1/4 Ничто нас с коллегами не забавляет больше, чем досужие разговоры о новом квантовом или ДНК-суперкомпьютере, который вот-вот, не сегодня так завтра решит всю математику. Я уж молчу про свидетелей секты AGI, которые не считают джоулей и киловатт и верят, что нейросеть на кремниевых чипах догонит и перегонит миллионы лет эволюции биологических систем. Причина этого постоянного парада техно-иллюзий проста: человеческий мозг панически боится признавать собственные ограничения. Признаться себе в том, что Вселенная построена на нелинейных сложностных барьерах, а комбинаторный взрыв нельзя просто «объехать на кривой козе» нового вычислтельного субстрата — неприятно. Куда комфортнее уверовать в очередную технологическую религию. Продолжение тут 👇

Как заинтересовать детей математикой? #НастроениеПятницы

Немного развлечений перед следующим серъёзным постом. Всем привет из Истрии (Хорватия), друзья! #НастроениеСреды

Кстати, уважаемые коллеги, напомню, что я по-немножку копаюсь с квантовыми алгоритмами для вычислений некоторых характеристик больших регулярных графов и писал об этом ещё в мае тут. Если вдруг кому интересно, то с мая я немного продвинулся в понимании и в свободное от безделья время готовлю квантовый алгоритм для решения одной интересной задачи, который планирую в ближайшие недели запустить на реальном квантовом чипе (я писал о доступности квантовых чипов IBM через облако тут). Скоро расскажу, что получилось.

Успешная альтернатива квантовым компьютерам, о которой почти никто не говорит В моей картине мира большинство IT-шников держат в голове 2 вида компьютеров - железный, которым мы все пользуемся, и квантовый - нечто мутное с долгосрочным теоретическим потенциалом. Я уже писал 2 поста (раз, два) про квантовые компы в попытках разобраться и пришёл к неутешительным выводам. Но в так называемом Unconventional Computing есть много разных областей. И сегодня я расскажу об одном из них - ДНК-компьютерах. Сразу предупреждаю - я совсем не биолог, и очень был бы рад получить критику изложения в комментариях от того, кто шарит. Всё началось в 1994, когда Leonard Adleman опубликовал proof of concept - с помощью ДНК возможно решать вычислительные задачи. Решал он задачу поиска гамильтонова пути в графе (т.е. обходящего все вершины). Она, как я вижу, натурально ложится на этот hardware: 1) Берут молекулы, соответствующие вершинам, и молекулы, соответствующие рёбрам. Их выбирают специально так, чтобы рёбра могли подсоединяться к вершинам графа, которым они соответствуют. 2) Всё это взбалтывают и смешивают. Создаётся куча цепочек молекул, каждая из которых - это валидный путь в графе. 3) Получившиеся молекулы фильтруют с помощью дополнительных реакций, чтобы они соответствовали критериям валидности. Началось развитие данной области. По ходу дела было показано, что ДНК обладают Тьюринг-полнотой - то есть на них можно реализовать машину Тьюринга, а значит и любые другие вычисления. Было много забавных работ - к примеру, крестики-нолики на основе ДНК. А кто-то замутил нейросеть на основе ДНК. Насколько я понял, большой прорыв произошёл в 2023 году, когда китайские учёные смогли реализовать на практике логические гейты, которые можно соединять произвольным образом в "ДНК-микросхемы", что предоставляет возможность реализовывать общие вычисления. В качестве примера авторы реализовали решатель квадратных уравнений. Дорогие биологи, пожалуйста, напишите, насколько это считается приличной работой в вашем сообществе. В чём вообще смысл этой области? Зачем пытаться строить компьютеры в майнкрафте и прочих странных доменах? На самом деле, ДНК-вычисления - это не игрушка, и у них есть жирное преимущество по сравнению с классическими вычислениями - энергоэффективность. Эволюция потратила миллиарды лет на дизайн энергоэффективных биологических механизмов, и классические компьютеры, кажется, далеко позади. Современные компьютеры выдают десятки миллиардов флопов на 1 джоуль. DNA проводят в 10000000000 больше реакций на 1 джоуль. Энергоэффективность компьютеров быстро растёт, и на эту тему есть даже аналог закона Мура - Koomey's law. С сохранением текущего тренда, нам нужны ещё несколько десятков лет, чтобы классические компьютеры догнали ДНК. Оговорюсь, что прямое сравнение всё же бессмысленно, пока мы не столкнём два подхода в лоб на одной и той же вычислительное задаче. Но DNA-вычисления я уважаю даже не за это. Они неоспоримо побеждают классические компьютеры в одном очень важном аспекте, и в нём у классических компьютеров нет и не будет вообще никаких шансов. Это обсудим в следующий раз. @knowledge_accumulator

23.07 узнаете отказала ли мне Женя или выбрала такого лузера у которого всего 700 подписчиков )

кстати, насчёт 700 подписчиков, это некоторое преувелечение, сделайте нам подарок на свадьбу, не плохой же канал, приглашайте сюда друзей! )

В наше время важно уточнять: Женя - девочка. И предложение будет классическое, с кольцом там, на коне, если надо.

И ещё я делаю девушке предложение, поставьте лайк, что мне нельзя отказать, и поставьте дизлайк, если считаете, что мне можно отказать. 23.07 узнаете отказала ли мне Женя или выбрала такого лузера у которого всего 700 подписчиков )