Зачем мне эта математика

Привет! Сегодня мы без задач, зато — внезапно — с интервью. Мы проводим исследование, и для него нам нужны студенты, которые изучают или хотят изучить статистику. Если это про вас, то приглашаем на интервью. На нём спросим о целях вашего обучения, опыте и о том, какие курсы вам интересны в будущем. Интервью пройдёт в Zoom и займёт не больше 30 минут. Если вы готовы участвовать, заполните, пожалуйста, форму для сбора контактов. Мы свяжемся с вами и назначим удобное для вас время и дату интервью. Спасибо!

Возвращаемся ко вчерашней кофейно-молочной задаче. Решение в общем виде приложим в комментариях, а здесь рассмотрим частный случай с конкретными числами. Это полезный приём в доказательствах! Возьмём кружку в 200 мл и ложку 10 мл. Сначала в первой — 200 мл кофе, а во второй — 200 мл молока. После первого переливания в первой кружке остаётся 200-10 = 190 мл кофе, а во второй становится 200 мл молока и ещё 10 мл кофе, всего 210 мл жидкости. Концентрация кофе в этой смеси: 10/210 = 1/21. Зачерпнём 10 мл смеси из второй кружки. В этой ложке будет 10*1/21 = 10/21 мл кофе, а остальные 10-10/21 = 200/21 мл — молоко. Всё это выливаем в первую кружку. В ней был только кофе, поэтому молоко в ней — только то, что было в ложке, то есть 200/21 мл. Посчитаем количество кофе во второй кружке. С первой ложкой приехало 10 мл, со второй — уехало 10/21 мл, значит, осталось 10-10/21 = 200/21 мл кофе. Это ровно столько же, сколько молока в первой кружке! Ответ: поровну

Задача про кофе и молоко Взбодрим начало новой недели чашечкой кофе. И молока! Возьмём две кружки одинакового объёма. Первую заполним эспрессо, а вторую — молоком. Затем из кружки с кофе зачерпнём одну ложку и перельём во вторую. Хорошенько перемешаем. Во второй кружке теперь смесь молока и кофе. Зачерпнём эту смесь той же ложкой и положим в первую кружку. Снова перемешаем. Вопрос: чего больше — молока в первой кружке или кофе во второй? Ваши рассуждения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Решим вчерашнюю задачу про бракованную пару обуви. Нужно было найти вероятность того, что бракованная пара, купленная в этом магазине, произведена на второй фабрике. Для решения нам пригодятся две вероятности: общая вероятность купить брак в магазине (обозначим её за P) и вероятность того, что доставшийся брак — именно со второй фабрики (обозначим её за P_2). Тогда искомая вероятность равна P_2/P. По сути это условная вероятность, но можно записать рассуждения и без знаний о ней. Сначала переведём проценты в доли. Обувь с первой фабрики составляет 0.3 от всего ассортимента магазина. Обувь со второй — 0.55 от ассортимента. Тогда на третью фабрику приходится 1 - 0.3 - 0.55 = 0.15 от обуви в магазине. Теперь вычислим вероятности. Вероятность того, что достался брак именно со второй фабрики: P_2 = 0.015*0.55 = 0.00825. Вероятность в целом купить брак в магазине равна сумме вероятностей брака с каждой из фабрик: P_1 + P_2 + P_3 = 0.01*0.3 + 0.015*0.55 + 0.02*0.15 = 0.003 + 0.00825 + 0.003 = 0.01425. Ищем вероятность того, что если Нине досталась бракованная пара — то именно со второй фабрики. Она равна 0.00825/0.01425 = 825/1425 = 33/57 = 11/19 ≈ 0.58.

На прошлой неделе на эфире мы не успели разобрать одну задачу. Сегодня предлагаем вам над ней подумать. В магазине танцевальной обуви продают туфли с трёх фабрик. Продукция первой фабрики составляет 30% от всей обуви в магазине, второй — 55%, остальную обувь привозят с третьей фабрики. На каждой фабрике случается брак. Для первой фабрики вероятность произвести бракованную пару составляет 0.01, для второй — 0.015, для третьей — 0.02. Нина купила пару туфель в магазине, и они оказались бракованными. Какова вероятность того, что пару произвели на второй фабрике? Ответы, как всегда, присылате в комментарии под скрытым текстом.

Блинчики и Билл Гейтс В честь начала Масленицы поговорим о блинах. Точнее, об алгоритме их сортировки. Кроме шуток — существует, так называемая, “The pancake problem". Это задача, в которой нужно упорядочить блинчики по убыванию размера. При этом можно только брать стопку из нескольких блинчиков сверху и переворачивать её. Подробнее о задаче вот в этом видео, рекомендуем к просмотру! Там же и рассказывают, при чём тут Билл Гейтс (да, тот самый). Дело, конечно же, не ограничивается кулинарией. Блинчики — это красивая интерпретация абстрактной задачи. С точки зрения математики, речь об алгоритме сортировки, в котором единственная допустимая операция — переворот элементов последовательности до какого-либо индекса. Реализацию алгоритма на Python можно посмотреть, например, здесь. У этой задачи есть модификации — например, задача о подгоревших блинах (о ней тоже есть в видео). В 2008 году группа студентов создала биокомпьютер, который мог решать простейший вариант этой задачи. Он работал на основе генетически модифицированной кишечной палочки: роль блинов здесь играли фрагменты дезоксирибонуклеиновой кислоты. Бактерия выстраивала фрагменты в нужном порядке — так она приобретала устойчивость к антибиотику и не погибала. Время, затраченное на поиск правильной комбинации, показывало минимально необходимое число переворотов фрагмента. Вот так одна математическая задача объединяет блинчики, алгоритмы и умные бактерии!

Запись эфира с решением задач На записи не сохранилось представление спикеров, поэтому продублируем. Задачи разбирает Диана Миронидис — выпускница Мехмата МГУ, преподаватель математики, автор курсов по комбинаторике и математическому анализу, а также автор постов в канал «Практически математически» :) Модерирует встречу Вика Федосеенко, продакт-менеджер курса «Основы математики для цифровых профессий». Форма для сбора обратной связи будет открыта до вторника 21 февраля. Присылайте отзывы, мы в ответ вышлем промокод и список задач с решениями. Спасибо всем за участие!

Прямой эфир с решением задач уже завтра! 16 февраля в 16.00 мы проведём прямой эфир с разбором задач с собеседований. Эфир пройдёт прямо здесь, в телеграме, поэтому регистрироваться не нужно. Просто заходите в канал в назначенное время и подключайтесь к трансляции. Всех ждём!

Я ❤️ ленты Мёбиуса Любите ли вы ленты Мёбиуса так, как любим их мы? Если да — ловите старенькое, но милое видео о них. В конце видео вас ждёт рецепт математической валентинки. А к лентам Мёбиуса мы обязательно ещё вернёмся, у них много удивительных свойств!

Решение покажем завтра в комментариях. Если хотите изучить линейную алгебру в целом и матрицы в частности — добро пожаловать в наш курс «Математика для анализа данных». Ну а если про матрицы вам уже всё известно, то заглядывайте в курс по Data Science: там вашим знаниям точно найдётся применение!

Перемножение матриц В линейной алгебре часто работают с матрицами. Если коротко, матрица — это таблица с числами. У неё есть много разнообразных свойств, которые вытекают из того, откуда вообще взялись числа в ней… но сегодня не об этом. К матрицам можно применять некоторые математические операции — например, их можно перемножать! Но не всегда: матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить справа только на матрицу, имеющую n строк. Почему справа? Потому что порядок матриц-множителей влияет на результат. 😇 Если не брать во внимание некоторые ограничения, то в умножении матриц нет ничего сложного. Уверены, даже если вы никогда не сталкивались с линейной алгеброй, вам хватит 10 минут, чтобы разобраться. Убедитесь сами: 1. Посмотрите интерактив из модуля «Линейная алгебра» курса «Математика для анализа данных». 2. Найдите произведение матриц с иллюстрации в начале поста. Ответы публикуйте за скрытым текстом.

Решение диафантового уравнения Вчера мы разобрали задачу про эклеры, а в конце предложили вам решить другое диафантово уравнение. Вопрос звучал так: Сколько натуральных решений будет иметь уравнение 5x + 4y = 70? Ответов было немного, поэтому давайте разберёмся вместе! 4y и 70 — чётные, значит и слагаемое 5x тоже. Такое возможно только при чётных значениях x. Начинаем с наименьшего чётного среди натуральных: при x = 2 получим y = (70 - 5*2) ÷ 4 = 15 — тут всё хорошо. Продолжаем: x = 4, y = (70 - 5*4) ÷ 4 = 12.5 — не целое, так что эта пара не подходит. x = 6, y = (70 - 5*6) ÷ 4 = 10 — подходит. x = 8, y = 30 ÷ 4 = 7.5 — не подходит. x = 10, y = 20 ÷ 4 = 5 — подходит. x = 12, y = 2.5 — не подходит x = 14, y = 0 — тоже не подходит, так как 0 не натурален. Дальше значения y становятся отрицательными, то есть не натуральными. Поэтому можно не продолжать. Итого есть 3 подходящих решения: x = 2, y = 15; x = 6, y = 10; x = 10, y = 5. Вот такая задача. Напоследок напомним, что научиться решать подобные уравнения можно в уроке «Уравнения и системы уравнений в целых числах». Хороших выходных!

Итак, покажем, как решается наша эклеро-чайная задача. Обозначим цену эклера за x, а цену чая — за y. Тогда условие задачи перепишем в виде уравнения 2x + 3y = 165. Чаще всего — сколько переменных, столько и уравнений. Тогда получается система, которую несложно решить. Но бывает, что переменных больше, чем уравнений, как в нашем случае. В общем случае у уравнения 2x + 3y = 165 бесконечно много решений. Численных данных на второе уравнение у нас, увы, больше нет. Но есть другие! Они и помогут нам найти конечное количество решений. По условию известно, что решения целые и, более того, речь про цены, так что они даже натуральные! Ещё мы знаем, что одна из переменных больше другой: эклер дороже чая, то есть x > y. Эти ограничения и помогут нам устроить перебор! Сначала сузим круг подозреваемых. Для этого используем свойства делимости: 165 делится на 3, слагаемое 3y тоже делится на 3, а поэтому и 2x должно. И это явно случится из-за множителя x. Начнём перебирать подходящие иксы. Например, пойдём от наибольшего, это x = 81. Тогда y = (165 - 2*81) ÷ 3 = 1. Решение математически верное, но в жизни маловероятное: чай могли дать в подарок, но вряд ли он стоил 1 лиру. При x = 78 получим y = (165 - 2*78) ÷ 3 = 3. Тоже вряд ли, хотя по математике всё в порядке, оба значения целые. При x = 75 имеем y = 5, а потом будут такие пары: x = 72, y = 7; x = 69, y = 9; x = 66, y = 11; x = 63, y = 13; x = 60, y = 15; x = 57, y = 17; x = 54, y = 19; x = 51, y = 21; x = 48, y = 23; x = 45, y = 25; x = 42, y = 27; x = 39, y = 30; x = 36, y = 33. Дальше эклер становится дешевле чая. Это не соответсвует условию, поэтому останавливаемся. Больше всего похожи на правду, конечно же, ответы x = 60, y = 15 и x = 45, y = 25, так как заведения любят ставить круглые цены! Первый из них ребята и обнаружили в чеке. Но подчеркнём, что с математической точки зрения решений было 16 штук, они все подходили под условия. Ваша очередь решать диофантово уравнение! Сколько натуральных решений будет иметь уравнение 5x + 4y = 70? Количество решений и сами решения ждём в комментариях под скрытым текстом.

Эклеры, чай и диофантовы уравнения Сегодняшняя задача прекрасна тем, что в ней сочетаются две восхитительные вещи — эклеры и математика! Трое друзей приехали в Стамбул и отправились в знаменитую кондитерскую. Они взяли 3 чая и 2 эклера. Общий счёт получился 165 лир. Все цены в меню — целые, а эклер дороже чая. Сколько стоит 1 чай и 1 эклер? Эту задачу можно решить на глазок, особенно если вы хорошо ориентируетесь в местных ценах. А если нужно расписать всё формально, то на помощь придут диофантовы уравнения, они же уравнения в целых числах. Подробно о них можно почитать в уроке «Уравнения и системы уравнений в целых числах». Если хотите сначала решить задачу самостоятельно — остановитесь здесь. :) Решение — в посте ниже, а в конце оставили уравнение для вас. 😉

Прямой эфир: тема, дата и время В голосовании с небольшим отрывом победила тема «Как учить математику, если школа осталась далеко позади». Но дело в том, что ответ на этот вопрос уже есть — в подкасте Багрепорта. Там советами поделилась Елена Оборина, под чьим началом в Практикуме появились тренажёр по базовой и курс по продвинутой математике. Из подкаста вы узнаете: — что помогает справиться с математической тревожностью, — почему не стыдно начинать обучение с подсчёта собачек на картинке, — как прийти от нулевых знаний к пониманию формулы доверительного интервала. Слушать: Как математика помогает в анализе данных и как учить математику нематематикам Ну а эфир мы проведём по теме, которая стала второй по числу голосов: «Разбор задач с собеседований аналитиков данных и других специалистов». Планируем взять 5-7 наиболее типичных задач и рассказать об их решении. Если вы недавно проходили собеседование и у вас сохранились задачи, присылайте их в форму — самые интересные возьмём на разбор. Подытожим! Тема эфира: Разбор задач с собеседований аналитиков данных и других специалистов Дата: 16 февраля Время: 16.00 Куда присылать задачи для разбора: в форму.

На вчерашнюю задачу было много правильных ответов. Класс! Мы этому очень рады. Эта задача хороша тем, что результаты возведения в степень слишком большие, тут просто так на калькуляторе не проверишь. :) Нужно порассуждать — всё, как мы любим! Степени любого числа имеют любопытное свойство — их последние цифры сменяются по собственному циклу. Некоторые циклы банальные: все степени 5 оканчиваются на 5, все степени 6 — на 6, а все степени 1, 11, 21 и прочих чисел с 1 в правом разряде — оканчиваются единичкой. Для двойки ситуация интереснее. Выпишем по порядку её первые степени: 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16. Пока ничего необычного. Посмотрим, что происходит дальше: 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256. Окончания степеней повторяются, причём в том же порядке! Пойдём ещё дальше: 2⁹=512, 2¹⁰=1024, 2¹¹=2048, 2¹²=4096 и так далее с теми же окончаниями. Наблюдаем цикл окончаний: 2-4-8-6. Его длина равна 4. Получается, каждый показатель степени «сцеплен» с определённым окончанием результата. Это связано с остатками от деления на 4. Сформулируем правило: — Если показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как числа 1, 5, 9, 13 и так далее), то результат оканчивается на 2; — Если показатель степени делится на 4 с остатком 2 (как числа 2, 6, 10, 14 и так далее), то результат оканчивается на 4; — Если показатель степени делится на 4 с остатком 3 (как числа 3, 7, 11, 15 и так далее), то результат оканчивается на 8; — Если показатель степени делится на 4 нацело, то результат оканчивается на 6. Теперь вернёмся к задаче и посмотрим на 2²⁰²³. Показатель 2023 делится на 4 с остатком 3. Значит, итоговое длинное число оканчивается на 8. И напоследок разберёмся с 3²⁰²³. Окончания степеней тройки тоже цикличны. Цикл выглядит так: 3-9-7-1, его длина снова равна 4. И так как 2023 всё ещё делится на 4 с остатком 3, то результат 3²⁰²³ оканчивается на третье число из этого цикла, то есть на 7. Ответ: 8 и 7. Остатки от деления вообще очень полезные, мы про них ещё поговорим!

Привет! Обычно перед публикацией задачи мы даём теорию. Но сегодня будет сразу задача: на какую цифру оканчивается число 2²⁰²³? А число 3²⁰²³? Ждём ваших решений под скрытым текстом.

Суперперестановки и любители аниме Иногда серьёзная математика возникает совершенно неожиданно. Сегодняшняя история этому пример. В не столь далёком 2011 году на имиджборде 4chan фанат аниме задал вопрос о сериале Меланхолия Харухи Судзумии. В его сюжете есть путешествия во времени, поэтому 14 серий первого сезона можно смотреть в разном порядке. Фанаты спорили, какой порядок серий лучше, а один пользователь спросил: если бы вы захотели посмотреть эти серии во всех возможных порядках, какое количество эпизодов было бы в самом коротком списке? Можно сформулировать задачу и по-другому. Если серии пронумеровать буквами (14 разных цифр у нас нет, поэтому берём буквы), то какова минимальная длина огромного слова, в котором присутствует любая из возможных перестановок 14 элементов? И это вопрос про кратчайшую суперперестановку! Разберёмся, что это такое. Суперперестановкой n символов называется слово, содержащее в качестве подслова каждую из возможных перестановок данных n символов. Тут легче сразу пояснить на примере. 😅 Пусть наш алфавит состоит только из двух символов: 1 и 2. Возможны всего две перестановки из этих элементов: 12 и 21. Кратчайшим словом, содержащим обе эти перестановки, будет 121 — в нём встречается и 12, и 21. Слово 212 тоже подходит. Как видно, в суперперестановке разрешён «нахлёст», то есть любой символ может быть частью разных подслов одновременно. Длина кратчайшей суперперестановки двух символов равна 3. Для алфавита из трёх символов ситуация поинтереснее. Здесь самая короткая суперперестановка имеет длину 9 — например, 123121321. Составить корректную суперперестановку несложно — можно просто выписать все перестановки одну за другой в виде длинного слова. Но это неспортивно! Математиков, конечно же, интересует кратчайшая из возможных суперперестановок для каждого n. При n = 4 она имеет длину 33, а при n = 5 — длину 153. Доказано, что для 1 ⩽ n ⩽ 5 кратчайшая суперперестановка n символов имеет длину 1! + 2! + … + n! (можете убедиться, что будут получаться именно значения 1, 3, 9, 33 и 153). Для случаев n > 5 данная формула, увы, не работает, и рассчитать точную длину кратчайшей перестановки сложно. Поэтому оценивают её нижнюю и верхнюю границы. Конечно, можно сказать, что нижняя граница равна 1, а верхняя — какому-нибудь большому числу вроде 10^{100}. Но ценности в таком результате мало. Математики хотят получить такие оценки границ, которые максимально близки к точному значению. Другими словами, важно, чтобы нижняя была как можно выше, а верхняя — как можно ниже. И лучшая из всех доказанных формул для нижней границы родилась именно на имиджборде! Буквально через час первому фанату ответил другой — он привёл в общем виде формулу для расчёта нижней границы на любое количество эпизодов: n! + (n − 1)! + (n − 2)! + n − 3. Из его рассуждения следовало, что для первого сезона этого сериала пришлось бы посмотреть не менее 93 884 313 611 серий подряд. Несколько лет это событие оставалось незамеченным, а потом копию постов увидели математики. Они всё проверили и написали статью с формально оформленным доказательством. Первым и главным автором они указали Анонимуса с 4chan, ведь имя этого героя до сих пор неизвестно. Вот такая великолепная история. Кстати, чтобы посмотреть те 14 эпизодов во всех возможных порядках, потребуется примерно 4 миллиона лет. Запасаемся попкорном!

[ продолжение поста о размещениях и сочетаниях ] Если порядок важен Если порядок важен, то вычислить количество возможных коктейлей из трёх ингредиентов поможет правило произведения: существует 10*9*8 = 720 вариантов. Мы только что нашли количество размещений из 10 по 3. Это похоже на «укороченную» перестановку: порядок важен, но количество доступных слотов меньше общего количества элементов. В общем виде количество размещений из n по k вычисляют как n! ÷ (n-k)! или n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+1). В записи через произведение будет k множителей. Размещения применяют: • Когда нужно выбрать несколько элементов для разных целей, разных дней, разных ролей. • В задачах на расположение, когда элементы различимы. Например, надо выбрать несколько человек из группы и разместить их на креслах в кинотеатре. Люди разные, поэтому имеет значение, кто где сядет. Если порядок не важен Вернёмся в ситуацию выбора 3 ингредиентов из 10. Теперь рассмотрим ситуацию, когда напитки просто перемешивают. Тогда порядок, в котором их выберут, не важен. Значит, набор ABC для нас не отличается от, например, набора BCA. Сколько наборов «склеятся» в один? Столько, сколько возможно перестановок из 3 элементов, то есть 3!. Значит, чтобы получить количество вариантов выбора 3 из 10 без учёта порядка, нужно предыдущий ответ поделить на 3!: (10*9*8) ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120. Число заметно уменьшилось! Мы нашли количество сочетаний из 10 по 3. В общем виде количество сочетаний из n по k вычисляют как n! ÷ ((n-k)!*k!). Cочетания применяют, если: • Выбирают несколько элементов одновременно. В учебниках по математике самый частый пример — мешок с шариками, из которого вытаскивают несколько шариков за раз, одной горстью. • Выбирают пару (тройку, группу) для взаимного или равноправного процесса. Например, двух человек для партии в шахматы, две команды для игры в хоккей, три бренда одежды для коллаборации, две точки для соединения отрезком, десять человек для хора. Задачка для вас Владелец ресторана составляет график работы официантов. Всего в штате 12 официантов, и каждый день должно работать 5 из них. 1) Сколько разных вариантов смен может составить владелец ресторана, если задачи всех официантов одинаковые? 2) Сколько разных вариантов смен может составить владелец ресторана, если в смене каждому официанту дают свою уникальную задачу? Ответы традиционно ждём в комментариях под скрытым текстом.

В комбинаторике есть два похожих термина: размещения и сочетания. Сегодня на конкретном примере разберём разницу между ними. Представим, что есть 10 напитков, из них нужно выбрать 3 для приготовления коктейля. Тут возможны две ситуации: когда порядок выбора важен и когда нет. Если по рецепту ингредиенты идут слоями — порядок важен. Коктейль со слоями ABC отличается от коктейля со слоями BCA. Если же ингредиенты просто перемешивают, то из наборов ABC и BCA получатся одинаковые коктейли. Это ситуация, когда порядок выбора не важен. Рассмотрим вначале ситуацию со слоями. Продолжение ↓↓↓