Зачем мне эта математика

Ещё одна находка про оригами! Как говорил сам Лэнг, он не стремился стать «великим оригамистом» — мастерство стало естественным следствием любви к самому процессу. Мы, кстати, знаем ещё кое-кого, кто идёт тем же путём: занимается инженерным оригами всерьёз и передаёт эту любовь детям ❤️ Узнали мы об этом от нашего давнего коллеги — автора канала «Кроссворд Тьюринга». В одном из постов он рассказал, как вместе с командой математиков летней школы «Лес» они провели мастер-класс по инженерному оригами. 🔄Здесь вы найдёте модели, которые собирали участники: солнечные панели и знаменитый сапог Шварца. Файлы для печати и с примеры применения инженерного оригами лежат в комментариях к посту🔄 Читайте и подписывайтесь на наших коллег — вероятно, скоро их имена будут красоваться в поисковике рядом с Робертом Лэнгом. #рекомендуем

8 марта — прекрасный повод вспомнить имена женщин-математиков, которые появлялись в нашем канале ❤️ Интересно, что почти каждый раз за таким именем скрывается по-настоящему большое открытие:

🔸Совсем недавно мы рассказывали о Маргарите Пьяцолле Белок, которая показала, что сгиб бумаги может решить кубическое уравнение. Её «складка Белок» расширила границы классической геометрии. 🔸Невозможно не вспомнить Аду Лавлейс. В XIX веке, когда компьютеров ещё не существовало, она описала алгоритм для аналитической машины. По сути — первую программу в истории. Но самое крутое — наблюдать, как новые звёзды появляются у нас на глазах: 🔸Например, Ханна Каиро, которая в 17 лет опровергла гипотезу Мизохаты-Такеучи — проблему из гармонического анализа, над которой математики размышляли десятилетиями. 🔸Или школьницы Кальсию Джонсон и Неки’Я Джексон, предложившие новый способ доказательства теоремы Пифагора и представившие его на конференции Американского математического общества.

У нас в запасе не мало таких историй. Будем стараться рассказывать их чаще. А пока — поздравляем наших прекрасных читательниц с Международным женским днём. Пусть в жизни будет место любопытству, открытиям и задачам, от которых по-настоящему загораются глаза! Делитесь подборкой с близкими и ставьте ❤️, если заценили нашли в посте лемнискату Бернулли.

В предыдущих постах мы вскользь упомянули Роберта Лэнга. В контексте современного оригами это художник, доведший искусство складывания бумаги до почти невозможной сложности.

Но Лэнг интересен не просто как мастер: он превратил оригами в математическую дисциплину. По образованию Лэнг — физик. На сегодняшний день он является автором и соавтором более 80 публикаций по лазерам, оптике и оптоэлектронике, а также обладателем 46 патентов в этих областях. Оригами долго оставалось его вечерним хобби, пока у него не созрела идея книги-руководства по самостоятельному проектированию моделей. Тогда он взял паузу в инженерной карьере и вскоре превратил своё увлечение в полноценную работу.

Именно физическая интуиция позволила ему увидеть в оригами не набор приёмов, а пространство задач. Он начал проектировать модели так же, как инженер обычно проектирует механизм: начиная не со сгибов, а с требований к структуре. 🔄Подробнее эти требования мы разобрали в карточках 2 и 3🔄 Кроме того, в математической теории оригами Лэнг доказал полноту правил Фудзиты, предложил одно из частичных решений задачи о мятом рубле и разработал формализованные подходы — «теорему складки» и «алгоритм кругового построения». Названия его книг говорят сами за себя. Посудите сами: ▶️«Повороты, мозаики и тесселяции: математические методы для геометрического оригами» ▶️«Секреты дизайна оригами: математические методы в древнем искусстве»

Лэнговская математизация оригами оказалась важна далеко за пределами художественного творчества... 🔸Лэнг сотрудничал с инженерами Ливерморской национальной лаборатории, разрабатывавшими мощный космический телескоп со стометровой линзой-мембраной (см. карточку 4). Его задачей было разработать способ упаковки гигантской линзы, известной как Eyeglass, в габариты ракетного обтекателя так, чтобы при развёртывании на ней не оставалось складок. Его методы были также использованы при создании первичного зеркала телескопа «Джеймс Уэбб». 🔸Лэнг разрабатывал схемы складывания подушек безопасности для автопроизводителей. 🔸Сегодня его алгоритмы применяются при проектировании сворачиваемых солнечных панелей и медицинских устройств, которые вводятся в тело в сложенном виде.

Лэнг регулярно выступает с лекциями о пересечении искусства и математики, а также консультирует инженеров и дизайнеров по применению оригами-структур. Его работы демонстрировались в Музее современного искусства в Нью-Йорке, в Carrousel du Louvre в Париже и в научных центрах мира. На выставках он показывает не только готовые модели, но и развёрнутые схемы складок как самостоятельные художественные объекты. Как вам история? Удалось увидеть в оригами немного больше математики? Если да — тык на 🏆. #как_устроено

Посмотрим на оригами глазами математика 👀 Человечество не сразу пришло к этому ракурсу, но всё же разглядело за декоративной техникой геометрическую теорию. Со времён Евклида геометрия понималась как мастерство построений циркулем и линейкой. Модель оказалась настолько фундаментальной, что не менялась более двух тысяч лет. И лишь к XX веку обнаружилось, что если циркуль заменить произвольно сгибаемым листом бумаги, то класс допустимых построений существенно расширится. Не будем пытаться урезать историю. Открывайте цитаты и читайте:

⠀ 📐 Геометрия в сгибе ⠀⠀ Подобно построениям циркулем и линейкой, любое построение оригами можно описать как последовательность элементарных сгибов, или аксиом Фудзиты-Жюстина. Эти базовые операции классифицируются путём перечисления всех возможных способов построить одну прямую линию сгиба, совмещая заданные точки и прямые с уже имеющимися на листе точками и прямыми. Мы привели парочку аксиом для лучшего представления (см. карточку 1). Практически все аксиомы оригами эквивалентны классическим евклидовым построениям циркулем и линейкой. Все, кроме одной — шестой.⠀

⠀ 🧩 Складка Белок ⠀ Это аксиома, которая выводит нас за пределы античной геометрии. Она названа в честь Маргериты Пьяцоллы Белок, которая в 1936 году первой осознала её силу. Геометрически такой сгиб эквивалентен задаче о проведении прямой, одновременно касательной к двум параболам, и может рассматриваться как эквивалент решения уравнения третьей степени, поскольку в общем случае существует три решения. Эти параболы имеют фокусы в точках P₁ и P₂ соответственно, а их директрисы задаются прямыми l₁ и l₂ (см. карточку 2). Циркуль и линейка позволяют получать только те числа, которые выражаются через конечное число операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратных корней. Поэтому античные задачи на удвоение куба и трисекцию произвольного угла оказались неразрешимыми в классической модели: они требуют извлечения кубического корня. Оригами снимает это ограничение. С помощью складки Белок можно построить отрезок длиной, равной кубическому корню из 2, трисектировать угол и в целом решать общие кубические уравнения.⠀

⠀ 📚 Немного истории... ⠀ Задачи по геометрии складывания бумаги встречаются в древних японских сангаку, что свидетельствует о существовании не только художественной, но и математической традиции оригами. Первым известным трактатом, посвящённым геометрическим построениям с помощью бумаги, считается книга Сундара Роу (1893 год). Она издавалась даже в дореволюционной России под названием «Геометрическiя упражненiя съ кускомъ бумаги». Роу понимал складывание бумаги весьма широко, применяя сгибы, которые совмещают точки и прямые с ранее построенными точками и прямыми. Он не использовал ничего подобного сгибу Белок. В 1930 году Джованни Вакка описал известные на тот момент связи оригами и геометрии. Он подытоживает, каким образом оригами позволяет решать квадратные уравнения, но не упоминает кубические. Это и подготовило почву для Белок. После публикации статьи она также быстро заметила, что оригами позволяет находить действительные корни и для уравнений четвёртой степени. Уже в XXI веке Роберт Лэнг показал, что складка Белок является наиболее сложной возможной операцией в классическом складывании бумаги. Но возможны также и криволинейные сгибы. Они полностью разрушают «игру построений», поскольку позволяют строить трансцендентные числа, такие как π. Кроме того, Роберт Лэнг показал, что если разрешить одновременное выполнение нескольких сгибов, то можно выполнить произвольную пятисекцию угла, а при разрешении трёх одновременных сгибов можно решать произвольные уравнения пятой степени.

⠀ Сегодня математике оригами посвящены: ▶️ отдельная категория на Википедии ▶️ общеобразовательный мультфильм на TED-Ed ▶️ специализированные курсы от MIT ▶️ пиксельные ролики с анализом серьёзных теорем Знали ли вы, что складывание фигурок из бумаги имеет такую ценность для математики? 🔥 — не знал, но умею складывать самолётик 👀 — расскажите лучше, чем оригами полезно на практике #история

Вынуждены признать: давать вам такую задачу было не совсем честно с нашей стороны… Она действительно сложная, пусть мы и намекнули на это в прошлом посте. 🔍 Задача имеет давнюю и интересную историю. Известна она под названием «Задача о мятом рубле» (рубль раньше был бумажным). Судя по источникам, впервые её сформулировал математик Владимир Арнольд, когда ему было 19 лет. Он придумал сотни задач, многие из которых до сих пор не решены, а чтобы решить некоторые, пришлось развить новые области математики. Все они собирались в сборники — и эта не стала исключением. Наша задача открывает эту книгу, занимая почётное первое место. *️⃣Решение будет сопровождаться картинками, поэтому весь текст мы в качестве исключения вынесли в карточки. Читайте и пишите в комментариях, как вы поняли слово «сложить» и какого решения вам удалось достичь.

Если вы хотите увидеть больше иллюстраций и анимированные визуализации построения решения, рекомендуем материал проекта «Математические этюды», который мы уже неоднократно советовали. Если же вы хотите по-настоящему разобраться в деталях решения со всеми выкладками, рекомендуем обзорную статью Антона Петрунина, лёгшую в основу нашего материала.

#задача

Мы уже давали вам задачи, связанные с листами бумаги (тут и тут, например) и сегодня будет ещё одна. Правда, сразу признаем — в одну лигу их не определишь. И это при том, что формулировка на этот раз совсем краткая…

Вопрос: можно ли сложить квадратный лист бумаги на плоскости так, что периметр полученной фигуры превысит периметр исходного листа? Подсказка: решение принципиально зависит от того, как понимать условие.

Вперёд, знатоки! Ждём ваши ответы в комментариях. Заглядывая наперёд, скажем, что задача откроет нам портал в очень интересную тему, так что не отключайтесь ❤️ #задача

Весенний #меммат Как ощущается изучение областей математики, которые не имеют прикладных сторон от слова совсем:

Задача с запахом Tom Ford, смесь ванили и таба… Шутка! На самом деле задача про очень аккуратный счёт и скрупулёзный перевод значений в метрических системах. Решаем:

1️⃣Рассчитаем, сколько в комнате находится капелек духов. Для этого выразим объём комнаты в мм³: 5 * 4 * 4 = 80 м³ = 80 * 10⁹ мм³ 2️⃣Узнаем, чему равен объём каждой капельки: 0,5 мл = 0,5 * 10⁻⁶ м³ = 0,5 * 10³ мм³ = 500 мм³ (0,5 * 10⁻⁶) / (80 * 10⁹) = 6,25 * 10⁻⁹ мм³ 3️⃣Теперь из формулы объёма сферы выразим радиус и найдём его: V = 4/3 * πR3 R = (3V / (4π))¹ᐟ³ R = (3 * 6,25 * 10-9 / π / 4) = 0,00114 мм = 1,14 мкм.

Эта цифра, кстати, меньше толщины человеческого волоса примерно в 50-70 раз. Но это уже совсем другая история... Задачу составила для нашего канала методист Яндекс Лицея Нелли. Накидайте ей сердечек, если получили правильный ответ ❤️ #задача

Прошлая задача набрала какое-то нереальное количество ответов. С мокрыми ладошками следили за комментариями и боялись вклиниться. Благодарим за активность и несём новую задачу:

🔸Условие: в комнате размерами 5×4×4 м разбрызгали 0,5 мл духов так, что в среднем в каждом кубическом миллиметре воздуха оказалась одна малюсенькая капелька духов. 🔸Вопрос: каков радиус этой малюсенькой капельки? *️⃣Считайте, что все капельки одинаковы и имеют сферическую форму.

Ответы оставляйте под спойлером в комментариях. Скоро опубликуем решение. #задача

У нас для вас необычная находка! 🔍 Онлайн-архив с эмуляторами культовых моделей калькуляторов Если вдруг вам хотелось понажимать кнопки, то можно это сделать прямо в браузере. Коллекцию собрали ребята из Internet Archive, к которым мы часто обращаемся, когда пишем про ценные и старые издания математической литературы. В списке вы найдёте инженерные и графические модели, школьную классику, а также игрушечный калькулятор со слоником из 80-х. Сохраняйте и делитесь с друзьями. А если любите коллекционировать такие винтажные штучки, делитесь своими находками в комментариях 💬 #рекомендуем

Принимайте поздравления с праздником от математической редакции ⬆️ Мы, не мы, парни? 🤓 — Ну мы! 🗿 — Не интегрирую. #меммат

Можно ли, зная уравнения движения, заставить модель фигуриста точно воспроизвести заданный узор на льду❓ Оказывается, да. Раньше фигурное катание так и выглядело. Спортсмены обязаны были вычерчивать на льду идеальные узоры, а судьи оценивали точность линии, чистоту ребра и симметрию. Обязательные фигуры (compulsory figures) исчезли из олимпийской программы в 1991 году, но математически они куда интереснее четверных прыжков. И мы попробуем вас в этом убедить! ▶️ Модель, которая неожиданно идеально подходит для описания движения конька, — придуманные Сергеем Чаплыгиным знаменитые сани Чаплыгина.

Это простая механическая система: твёрдое тело скользит по плоскости, в одной точке есть «лезвие», и скорость в этой точке всегда направлена вдоль лезвия. «Вбок» двигаться запрещено. *Показываем, как это работает, на карточке 2.

▶️ Но классическая модель слишком проста: в ней центр масс фиксирован. А настоящий фигурист постоянно управляет движением, меняя положение рук, корпуса, свободной ноги.

Именно над этим стали размышлять математики Меган Роудс и Вахтанг Путкарадзе. И написали целую статью по теме. В ней они начинают с, казалось бы, «интуитивной» идеи — добавить к «саням» подвижную массу, чтобы она управляла траекторией. Управление таких саней осуществляется через положение, а не через силу. Это очень «по-человечески»: мы не думаем о силах в мышцах, мы просто двигаем руку в нужное место. *Смотрите карточку 3. Ещё один удивительный факт из статьи: если траектория — окружность, то управление должно удовлетворять формуле кривизны. То есть окружности оказываются «естественными» решениями системы. Если любую гладкую кривую можно аппроксимировать дугами окружностей, то можно построить алгоритм вычерчивания почти любой фигуры.

▶️ Но есть ещё и «острые» повороты. В узорах на льду они называются каспы — точки, где траектория делает резкий разворот. Математически это возможно только если скорость в этой точке равна нулю.

Именно так и катаются фигуристы: перед сменой направления конёк на мгновение «замирает». Но и в модели это вполне реализуемо: дуга строится вперёд по времени, затем назад; в точке соединения скорость обнуляется, и допускается мгновенный поворот. *Это идеализация, конечно, но физически правдоподобная.

▶️ Классика фигурного катания — «двойной цветок». Тут управление выбирается так, что подвижная масса вращается по окружности внутри системы.

Дальше включается численная оптимизация: параметры подбираются таким образом, чтобы длина дуги совпала с заданной, а скорость в концах была нулевой. В результате получается траектория, почти идеально совпадающая с исходным (как на первом фото) узором. *Наглядная демонстрация на карточке 4.

Конечно, в реальности фигурист не решает систему дифференциальных уравнений. Он запоминает «ощущение» правильного движения. Но где-то глубоко внутри его мозг решает сложную задачу управления тела в собственной системе координат. ❤️ — если владеете своим телом геометрически филигранно ☃️ — если ваш внутренний математик немного барахлит при выходе на лёд #как_устроено

Признавайтесь, за кого болели на Олимпиаде? 👀 Мы в этот раз смотрели на выступления не как на искусство, а как на учебник по геометрии и механике. И всё благодаря вам, наши дорогие читатели! Именно вы предложили нам рассмотреть танцы на льду через математическую призму. И вот, что мы заметили: ⏩️Лезвие конька не плоское

Его нижняя часть — это дуга окружности радиусом примерно 2–3 метра. Благодаря этой кривизне фигурист может наклоняться и «врезаться» в лёд под разными углами, вычерчивая дуги.

⏩️Самая повторяющаяся фигура — «восьмёрка»

Это чистая евклидова геометрия: касание окружностей, направление движения (вперёд/назад), выбор внутреннего или внешнего ребра конька. Исторически именно такие фигуры и дали спорту название skating figures. Если бы мы описывали это в терминах математики, то сказали бы: фигурист параметризует дуги окружностей, меняя знак кривизны и ориентацию касательного вектора.

⏩️Парабола прыжка

Когда спортсмен выполняет прыжок — аксель или тулуп, — его центр масс движется по параболе. Это классическая модель из школьной физики: тело, брошенное под углом к горизонту. Высота прыжка и дальность пролёта зависят от начальной скорости, угла отталкивания, распределения массы тела. Именно поэтому один и тот же прыжок (например, тройной тулуп) можно «недокрутить»: если угловая скорость недостаточна, спортсмен не успевает завершить требуемое число оборотов до приземления.

⏩️Закон сохранения момента импульса

Особенно наглядна математика во вращениях. Если фигурист разводит руки в стороны — он вращается медленнее. Прижимает к телу — быстрее. Это прямое следствие закона сохранения момента импульса: I ⋅ ω = const, где I — момент инерции, а ω — угловая скорость Уменьшая радиус (прижимая руки), спортсмен уменьшает момент инерции и увеличивает угловую скорость. Та же физика заставляет ускоряться балерину в фуэте или космонавта, меняющего положение тела в невесомости.

Кажется, что всё просто? Не хотим вас расстраивать... Скоро вернёмся ещё с кое-какими наблюдениями! А пока собираем по одному ⛄️ снеговику с каждого, кто в восторге от запрещённого сальто Малинина. #как_устроено

Начнём сразу с правильного ответа: выигрывает в этой игре первый игрок.

✅ Его первый ход выглядит почти случайным: он убирает 2 камня из кучки с 7 камнями. После этого на столе лежат две равные кучки — 5 и 5. А дальше игра превращается в зеркальный «танец». Что бы ни сделал второй игрок — скажем, уберёт 3 камня из одной кучки, — первый тут же убирает 3 камня из другой. Если второй возьмёт 1 камень, первый берёт 1 из противоположной кучки. Если второй решит забрать сразу всё, первый делает то же самое со второй кучкой. Симметрия больше не нарушается, а значит, последним ходит тот, кто эту симметрию создал, — первый игрок. Заметьте, что ключевой момент не в количестве камней — «2», — а в создании равенства. Очевидно, что если бы кучки были, например, по 2025 и 2026 камней или ещё больше, то решение не поменялось бы. Позиции вида (5,5), (100,100), (2025,2025) — проигрышные для того, кто ходит. Любой ход разрушает симметрию, и соперник может её восстановить. Поэтому правильная стратегия формулируется лаконично: нужно перевести игру в проигрышную позицию для соперника.

В случае двух кучек всё выглядит почти тривиально: проигрышные позиции — это просто равные числа. Но стоит добавить третью кучку — и зеркало ломается. Как зеркалить три разных числа? Что делать с позицией (1,2,3)? Или (4,7,10)? Тут начинается «взрослая» математика! Секрет скрывается не в симметрии как таковой, а в двоичной записи чисел. Нужно сложить размеры кучек «без переноса» — поби́тово, по модулю два. Эта операция называется XOR. Если результат равен нулю, позиция проигрышная. Если нет — выигрышная. Для двух кучек это правило говорит ровно то, что мы уже увидели: a XOR b равно нулю тогда и только тогда, когда a = b. Наша «зеркальная стратегия» оказывается частным случаем куда более общей арифметики.

🔄Так простая игра с камнями неожиданно приводит к бинарной системе счисления, к алгебре без переноса и к целой теории комбинаторных игр. В начале XX века Чарльз Бутон полностью описал стратегию для игр Ним. Это общее название игр, в которых два игрока по очереди берут предметы, разложенные на несколько кучек, и за один ход можно взять любое количество предметов (больше нуля) из одной кучки. В классическом варианте число кучек равно трём. Позже на её основе появилась теорема Шпрага-Гранди — фундамент современной теории игр такого типа🔄

Удивительно, что всё это начинается с почти детского вопроса: «Сколько камешков взять, чтобы точно выиграть?», согласны? #задача

Время разбрасывать камни Друзья, не устали ещё от задач? Мы к вам с новой порцией! Присылайте решения в комменты или просто выберите ответ в голосовалке ниже:

🔸 Условие: представьте простую игру, в которую играют двое. Перед ними две кучки камней — в одной 5, в другой 7. За ход можно выбрать любую кучку и убрать из неё сколько угодно камней, но только из одной. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. 🔸 Вопрос: кто выигрывает при правильной игре?

#задача

⠀ВАЛЕНТИНКА ОТ РЕДАКЦИИ всем влюблённым в математику ⠀⠀⠀⠀💚💚💚⠀⠀💚💚💚 ⠀⠀💚💚💚💚💚💚💚💚💚 ⠀⠀💚💚💚💚💚💚💚💚💚 ⠀⠀⠀⠀💚💚💚💚💚💚💚 ⠀⠀⠀⠀⠀⠀💚💚💚💚💚 ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀💚💚💚 ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀💚 Один и один — получается два. Все одиноки: здесь ты, а там я. Люди всегда одиноки вдвойне — Сами с собою наедине. Если б их что-то сблизить могло, Сразу б из двух получилось одно. Пусть математика сложит сердца, Чтобы проделать нам путь до конца. Уильямс Джей, «Герои Ниоткуда»

Статистика — самая точная из всех лженаук Так зачастую шутят студенты математических факультетов. И на это есть много разных причин. Приведём некоторые из них: 1️⃣ Проблемы с процентами Если показатель вырос с 1 до 2 случаев на миллион — это: +0,0001% в абсолютных числах +100% в относительных Обе формулировки верны. Но заголовки «Риск вырос на 100%» и «Риск увеличился на одну десятитысячную процента» создают совершенно разное восприятие. Вот пример: ⠀

▶️Алкотестеры полицейских в 5% случаев показывают ошибочное опьянение, когда водитель трезв. Однако действительно пьяного они всегда определяют правильно. Один из 1000 водителей за рулём пьян. Полицейский случайным образом останавливает машину и предлагает водителю пройти тест. Тест показывает, что водитель пьян. Какова вероятность, что это действительно так? Большинство ответит, что примерно 95%, однако правильная вероятность — лишь около 2%.

⠀ 2️⃣ Корреляция — не причина С помощью статистического теста очень легко установить, что две вещи коррелируют, но причинно-следственную связь (привет, феллеси!) обнаружить куда сложнее. Тем не менее люди очень быстро делают вывод, что A влечёт за собой B, просто потому что A коррелирует с B. Так возникает ошибка третьей причины. Вот вам целых шесть примеров: ⠀

▶️Быстро вращающиеся ветряные турбины положительно коррелируют с сильным ветром: когда одно растёт, растёт и другое. Но означает ли это, что турбины вызывают ветер? ▶️Дети, которые играют в видеоигры со сценами жестокости, более агрессивны. Означает ли это, что игры делают детей жестокими? Или агрессивные дети просто выбирают жестокие развлечения? ▶️В Средние века люди замечали, что у здоровых людей часто есть вши, а у больных — нет, и делали вывод, что вши полезны для здоровья. На самом деле вши чувствительны к температуре и покидают организм при лихорадке. ▶️Продажи мороженого не вызывают рост числа тепловых ударов — и наоборот, — хотя они коррелируют. Общей причиной в данном случае является жаркая погода. ▶️Мнение, что курящие школьники учатся хуже, может означать, что курение приводит к снижению успеваемости. А может — что плохие оценки и стресс на учёбе подталкивают к курению. Разумно? ▶️В 1950-х Фредерик Вертхем объявил комиксы причиной подростковой преступности, потому что опрашиваемые им малолетние преступники читали комиксы в детстве. Но тогда комиксы читали почти все. Игнорируя масштаб выборки, Вертхем запустил общенациональную кампанию против комиксов, которая закончилась цензурой.

⠀ 3️⃣ Проблема «средних» С этим вы точно сталкивались: когда кто-то говорит о среднем значении чего-то, мы можем предположить одно — и не заметить, что показывают нечто другое. ⠀

Например, список зарплат в крупной компании. Если кто-то спросит, какова средняя зарплата, мы можем посчитать: ▶️среднее арифметическое — сумму всех значений, делённую на их количество ▶️медиану — зарплату человека ровно в середине распределения ▶️взять моду — значение зарплаты, которое встречается чаще всего В зависимости от того, какой вариант мы выберем, результат может радикально отличаться. Поэтому сохраняйте скептицизм, когда делаете выбор по средним показателям.

⠀ Парочка рекомендаций по теме: 🔸Крылатое выражение, которое мы вынесли на картинку (и нет, это не цитата Марка Твена), является эпиграфом к книге Дарелла Хаффа «Как лгать при помощи статистики» — одной из самых многотиражных публикаций о статистике за всю вторую половину XX века. 🔸Это же выражение стало заголовком ещё одной книги — «Ложь, наглая ложь и статистика. Приёмы, которые помогут видеть правду за цифрами» Тима Харфорда. Статистика — наука точная, но вероятностная природа процессов, которые она описывает, даёт о себе знать. Любой статистически подтверждённый вывод может являться результатом случайности. ✍️ — предупреждён и вооружён

Открываем тему превратностей статистики 🔍 На её написание нас, кстати, вдохновил подписчик вот под этим постом. Кстати, докидывайте в комменты вопросы. Мы всё берём в работу! И устраивайтесь поудобнее, кейсов будем приводить столько, сколько позволят ограничения телеграма. 🔄Итак, в 1960-х годах в США рассматривалось дело об ограблении. Пожилая женщина возвращалась домой из магазина, когда её внезапно толкнули на землю и вырвали сумку. Она успела заметить, что преступницей была блондинка с хвостом. Поблизости также находился мужчина, который услышал увидел, как воришка села в жёлтую машину, за рулём которой был темнокожий мужчина с бородой и усами🔄 Вроде ничего особенного, но этот случай стал знаменитым примером использования статистики в суде. Рассказываем, почему, в трёх частях:

⠀ 1️⃣ Статистика борется с опасностью ⠀ Через несколько дней полиция задержала Джанет Коллинз и её мужа Малкольма — они не могли подтвердить своё алиби и подходили под описания свидетелей: ▶️блондинка с хвостом ▶️жёлтая машина ▶️темнокожий водитель с усами и бородой Поскольку основные доказательства основывались только на показаниях потерпевшей и очевидца, в суд пригласили математика. Он вычислил вероятность того, что случайно выбранная невиновная пара обладает всеми этими признаками. Предполагая независимость событий, он перемножил вероятности и получил совместную вероятность. Оказалось, что шанс того, что такая пара окажется невиновной, — меньше одного к 12 миллионам. Присяжные вынесли обвинительный приговор. Но был нюанс...

⠀ 2️⃣ Опасность борется со статистикой ⠀ Верховный суд отменил приговор, критикуя статистическое обоснование за игнорирование зависимостей между описаниями свидетелей. Так дело «Люди против Коллинз» стало ещё более резонансным. Но его главным следствием стал разговор об «ошибке базового процента», она же — «ошибка прокурора». *️⃣Пример: если известно, что у преступника и у обвиняемого группа крови B, и лишь у 1% населения страны эта группа крови, то «ошибкой прокурора» будет утверждение, что только на этом основании вероятность вины обвиняемого составляет 99%. История с ограблением — тоже пример такой ошибки: путаницы между вероятностью «A при условии B» и «B при условии A». Фактически суд подменил вероятность описаний при невиновности вероятностью невиновности при совпадении описаний.⠀

⠀ 3️⃣ «Условность» вероятности ⠀⠀ Представьте, что за занавеской спряталось животное с четырьмя ногами. Это — исходное условие. Какова вероятность, что это собака? Один шанс из ста, из тысячи, из миллиона? Но если вместо этого в условии за занавеской находится собака, то это уже исходное условие. Какова вероятность, что у неё четыре ноги? Здесь ответ почти гарантирован, ведь у большинства собак четыре ноги. ❗️Здесь мы сталкиваемся с условной вероятностью: P(невиновен | набор признаков) ≠ P(набор признаков | невиновен) Стоит поменять местами исходное условие и вопрос — и вероятность может радикально измениться. Присяжные фактически поменяли местами исходное условие и вопрос, оставив той же вероятность. А мы только что увидели, что это может быть совершенно неверно. ▶️Если в городе десять пар подходят под описание, то, выбрав одну из них случайно, вероятность виновности — 1 из 10, а вероятность невиновности — 9 из 10, а вовсе не один шанс из 12 миллионов.⠀

Аплодируем стоя тем, кто дочитал до конца. Надеемся, было понятно. На самом деле эта история — лишь эпиграф к примерам неточности статистических интерпретаций, с которыми каждый из вас сталкивается ежедневно. И вероятность того, что мы вам о них расскажем, повышается с каждым лайком — ❤️ #как_устроено

Зарплату будем считать в у.е., прямо как в нулевых Да, можно считать зарплату равной числу 1, или 1 условной единице (у.е.), а потом, если захочется чего-то более правдоподобного, заменить эту у.е., например, на 100 тыс. рублей. Поскольку нам не дано никаких требований по количеству регионов и количеству человек в каждом, рассмотрим следующую конструкцию: 🔄Пусть страна состоит из 2 регионов: в первом работает 90 человек, которые получают зарплату 1, а во втором регионе — 10 человек, которые получают некоторую достаточно большую зарплату S. Заметим, что эти 10 человек являются в точности 10% самых высокооплачиваемых работников страны🔄 Продолжение решения скрываем в цитате:

▶️Исходя из того, что суммарная зарплата 10% самых высокооплачиваемых работников составляет 90% зарплаты всех работников, найдём S: 10S = 0,9 · (10S + 90) ⇒ 10S = 9S + 81 ⇒ S = 81 ▶️Теперь в первом регионе 10% работников — это 9 человек, чья суммарная зарплата равна 9. Общая зарплата всего региона — 90. Тогда требуемое отношение выполняется: 9/90 = 0,1 ≤ 0,11 ▶️Во втором регионе 10% работников — это 1 человек, чья зарплата равна, как мы вычислили выше, 81. 81/810 = 0,1 ≤ 0,11, т.е. региональное условие для этого региона также выполнено.

Это же решение можно распространить и на большее количество регионов, сохраняя одинаковые зарплаты во всех, кроме одного «богатого». Но можно ли решить задачу иначе, не разбивая страну на «богатый» и «бедные» регионы, а, например, подмешивая «богатых» работников в каждый из регионов? Присылайте свои соображения или ставьте 🔥, если хотите узнать наши соображения на этот счёт. #задача