Grawlix

Лучшая моя заметка на данный момент. Первая работа с поэтическим абстрактом

Делюсь прогрессом

Буду переписывать эту идею. Напишу в сонатной форме

WIP

Выходит, что эту секцию я писал 11 минут

Завершил работу над первой частью опуса! На этом с фортепиано пока всё. Это финальная композиция для данного инструмента (фортепианная секция занимает 11 минут). Дальше планирую писать части в других жанрах и для других составов. А следующий сборник будет масштабным: более часа музыки

Продолжаю тему Любое сравнение в математике в конечном итоге сводится к пространству. Мы знаем, что число 3 больше числа 1, потому что мысленно располагаем их на числовой прямой. Это уже пространство (только одномерное). Чем правее точка, тем больше число. Когда объектов становится много и они обладают множеством свойств, одной прямой уже недостаточно. Тогда каждое свойство становится отдельной координатой, а сам объект превращается в вектор. Именно этим и занимается линейная алгебра: она изучает векторы и пространства, в которых они живут. В таком пространстве сравнение объектов превращается в геометрию. Если два вектора находятся близко друг к другу, значит, и объекты похожи. Вместо слов «похож» или «не похож» математика использует расстояния, углы и проекции. Свяжу это с леммой Джонсона-Линденштраусса. Она утверждает, что такое пространство часто можно сильно уменьшить: заменить векторы с тысячами координат на векторы с сотнями координат, почти не изменив расстояния между ними. Мы жертвуем размерностью, но сохраняем геометрию, а значит, и возможность корректно сравнивать объекты Это очень красиво. Это удивительно. Подумать только! Интересно, что такой подход близок и к тому, как работает наш мозг. Исследования (которые я не приведу) показывают, что у человека существуют специальные нейронные системы, отвечающие за пространственную навигацию. Есть основания полагать, что мозг нередко использует похожие принципы и для более абстрактных понятий, представляя их как расположенные в пространстве (даже в многомерном). Однако это не означает, что вся математика возникла именно по этой причине. Скорее, пространственные модели оказались очень естественным и мощным способом описывать самые разные задачи. В физике тоже используются подобные математические модели, но об этом уже в других заметках

Как легко понять лемму Джонсона-Линденштраусса?Я придумал простой пример. Представьте обычный 3D-шар. Если спроецировать его в 2D, мы получим плоский круг. Если этот круг сжать дальше в 1D – получится отрезок ( то есть диаметр). Суть леммы в том, что даже после такого жесткого сжатия из трехмерного пространства в обычную линию, мы не теряем ключевую информацию. Измерив этот финальный диаметр, мы можем точно понять, каких размеров был исходный 3D-шар. Сохраняем суть данных жертвуя размерностью Моя аналогия удачная, но есть одна важная неточность. Для одного шара действительно достаточно знать только его диаметр. А лемма Джонсона-Линденштраусса вообще-то не про один объект, она про множество точек Представьте не один шар, а множество точек внутри обычного 3D-пространства. Если спроецировать их на плоскость, а затем на прямую, пространство станет гораздо проще. Казалось бы, расстояния между точками должны сильно исказиться. Но лемма утверждает: если проекция выбрана удачно (например, случайным образом), то большинство расстояний между точками почти не изменится. Сохраняется геометрия данных, и это важно