Математика просто!
رفتن به کانال در Telegram
О математике - легко, весело, просто! И немного про образование вообще, немного про науку, чуть-чуть про педагогику...
نمایش بیشترکشور مشخص نشده استدسته بندی مشخص نشده است
215
مشترکین
اطلاعاتی وجود ندارد24 ساعت
+97 روز
+1430 روز
در حال بارگذاری داده‌ها
کانال‌های مشابه
هیچ داده‌ای
مشکلی وجود دارد؟ لطفاً صفحه را تازه کنید یا با مدیر پشتیبانی ما تماس بگیرید.
ابر برچسب‌ها
هیچ داده‌ای
مشکلی وجود دارد؟ لطفاً صفحه را تازه کنید یا با مدیر پشتیبانی ما تماس بگیرید.
اشارات ورودی و خروجی
---
---
---
---
---
---
جذب مشترکین
اکتبر '26اکتبر '26
اکتبر '26
+10
در 1 کانال‌ها
سپتامبر '26
+13
در 2 کانال‌ها
Get PRO
اوت '26
+8
در 1 کانال‌ها
Get PRO
ژوئیه '26
+8
در 1 کانال‌ها
Get PRO
ژوئن '26
+9
در 0 کانال‌ها
Get PRO
مه '260
در 2 کانال‌ها
Get PRO
آوریل '26
+15
در 2 کانال‌ها
Get PRO
مارس '260
در 1 کانال‌ها
Get PRO
فوریه '26
+40
در 1 کانال‌ها
Get PRO
ژانویه '260
در 1 کانال‌ها
Get PRO
دسامبر '25
+24
در 3 کانال‌ها
Get PRO
نوامبر '25
+10
در 1 کانال‌ها
Get PRO
اکتبر '250
در 0 کانال‌ها
Get PRO
سپتامبر '25
+37
در 1 کانال‌ها
Get PRO
اوت '250
در 1 کانال‌ها
Get PRO
ژوئیه '25
+68
در 1 کانال‌ها
| تاریخ | رشد مشترکین | اشارات | کانال‌ها | |
| 18 اکتبر | 0 | |||
| 17 اکتبر | 0 | |||
| 16 اکتبر | +3 | |||
| 15 اکتبر | 0 | |||
| 14 اکتبر | +2 | |||
| 13 اکتبر | +2 | |||
| 12 اکتبر | 0 | |||
| 11 اکتبر | +2 | |||
| 10 اکتبر | 0 | |||
| 09 اکتبر | 0 | |||
| 08 اکتبر | +1 | |||
| 07 اکتبر | 0 | |||
| 06 اکتبر | 0 | |||
| 05 اکتبر | 0 | |||
| 04 اکتبر | 0 | |||
| 03 اکتبر | 0 | |||
| 02 اکتبر | 0 | |||
| 01 اکتبر | 0 |
پست‌های کانال
| 2 |  بدون متن... | 23 |
| 3 |  بدون متن... | 23 |
| 4 | Дисперсия, стандартное отклонение и вывод
Продолжаем тему дискретных случайных величин. В прошлый раз мы разобрали математическое ожидание — среднее значение, вокруг которого группируются результаты. Теперь встаёт следующий вопрос. Две случайные величины могут иметь одинаковое ожидание, но вести себя совершенно по-разному. Одна почти всегда выдаёт значения близко к среднему, а другая скачет от очень маленьких до очень больших. Как измерить этот разброс?
Для этого вводят дисперсию.
Сначала пример
Представьте две лотереи.
Первая лотерея. Вы с вероятностью 0.5 выигрываете 0 рублей и с вероятностью 0.5 выигрываете 1000 рублей.
Вторая лотерея. Вы с вероятностью 0.5 выигрываете 499 рублей и с вероятностью 0.5 выигрываете 501 рубль.
Посчитаем ожидание для обеих.
Первая: 0 × 0.5 + 1000 × 0.5 = 500.
Вторая: 499 × 0.5 + 501 × 0.5 = 500.
Ожидание одинаковое — 500 рублей. Но ощущение от лотерей разное. В первой результат непредсказуем — либо ничего, либо тысяча. Во второй результат почти гарантированно около пятисот. Нужно число, которое измерит эту разницу.
Мы хотим понять, насколько сильно значения в среднем отклоняются от ожидания. Начнём с простого.
Возьмём первую лотерею. Ожидание 500. Смотрим на каждое значение и считаем, насколько оно отклонилось от ожидания.
Для 0: отклонение = 0 − 500 = −500
Для 1000: отклонение = 1000 − 500 = 500
Теперь попробуем усреднить эти отклонения. Умножим каждое на его вероятность и сложим.
(−500) × 0.5 + 500 × 0.5 = −250 + 250 = 0
Получился ноль. И так будет всегда. Потому что отрицательные и положительные отклонения гасят друг друга. Это особенность самого определения ожидания — оно находится ровно в центре, поэтому сумма отклонений в обе стороны одинакова.
Значит, просто усреднять отклонения нельзя. Нужно убрать минусы. Есть два способа: взять модуль или возвести в квадрат. В математике пошли по второму пути. Квадраты удобнее для дальнейших вычислений.
Поэтому мы делаем так. Сначала возводим каждое отклонение в квадрат. Потом умножаем на вероятность. Потом складываем.
Для первой лотереи.
Отклонение для 0: −500. Квадрат: (−500)² = 250000.
Отклонение для 1000: 500. Квадрат: 500² = 250000
Теперь умножаем на вероятности и складываем:
250000 × 0.5 + 250000 × 0.5 = 125000 + 125000 = 250000
Это число и есть дисперсия. Оно показывает средний квадрат отклонения от ожидания.
Считаем для второй лотереи. Мат ожидание тоже 500
Отклонение для 499: 499 − 500 = −1. Квадрат: 1.
Отклонение для 501: 501 − 500 = 1. Квадрат: 1.
Умножаем на вероятности и складываем:
1 × 0.5 + 1 × 0.5 = 0.5 + 0.5 = 1
Дисперсия равна 1.
Сравните: 250000 против 1. Теперь у нас есть число, которое показывает, насколько сильно различаются разбросы в двух лотереях.
Общая формула
Теперь соберём всё вместе. Дисперсия обозначается D(X). Формула выглядит так.
D(X) = (x₁ − E)² × p₁ + (x₂ − E)² × p₂ + ... + (xₙ − E)² × pₙ
Где xᵢ — возможные значения, E — математическое ожидание, pᵢ — вероятности.
Словами: берём каждое значение, вычитаем ожидание, возводим в квадрат, умножаем на вероятность этого значения, всё складываем.
Стандартное отклонение
У дисперсии есть одна неудобная особенность. Она измеряется в квадратных единицах. Если выигрыш в рублях, то дисперсия в квадратных рублях. Это трудно интерпретировать. Например, в первой лотерее дисперсия 250000 квадратных рублей. Много это или мало — непонятно.
Поэтому вводят ещё одну величину — стандартное отклонение. Это просто квадратный корень из дисперсии.
σ(X) = √D(X)
Для первой лотереи: σ = √250000 = 500 рублей. Для второй лотереи: σ = √1 = 1 рубль.
Вот теперь понятно. В первой лотерее значения в среднем отклоняются от ожидания на 500 рублей. Во второй — на 1 рубль. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама величина, поэтому его удобно использовать.
В следующий раз перейдём к непрерывным случайным величинам.
#углублённо | 22 |
| 5 |  بدون متن... | 29 |
| 6 |  بدون متن... | 27 |
| 7 |  بدون متن... | 34 |
| 8 |  بدون متن... | 31 |
| 9 |  بدون متن... | 37 |
| 10 |  بدون متن... | 42 |
| 11 |  بدون متن... | 1 |
| 12 |  بدون متن... | 95 |
| 13 |  Задача о кёнигсбергских мостах — это старинная математическая задача, в которой спрашивалось, можно ли пройти по всем семи мостам центра города, не проходя ни по одному из них дважды. Впервые её решил в 1736 году швейцарский математик Леонард Эйлер, доказав, что такой маршрут невозможен.
Город Кёнигсберг (ныне Калининград) располагался на берегах реки Прегель и двух островах. Части города были соединены семью мостами. Местные жители пытались найти маршрут, который позволил бы пройти по каждому мосту ровно один раз.
Эйлер совершил гениальный шаг — он абстрагировался от реальной географии, оставив только суть связей между частями суши. Он представил каждый участок суши в виде точки (вершины графа), а каждый мост — в виде линии (ребра), соединяющей эти точки.
Ключевым стало подсчёт степени вершины — количества рёбер, выходящих из неё (в данном случае — числа мостов, ведущих к каждому участку суши). Для Кёнигсберга степени вершин получились такими:
остров Кнайпхоф — 5 мостов (нечётная степень);
остальные три части суши — по 3 моста каждая (нечётные степени).
Вывод Эйлера был таков: для того чтобы существовал маршрут, проходящий по каждому мосту ровно один раз (так называемый эйлеров путь), в графе не может быть более двух вершин нечётной степени. В Кёнигсберге же все четыре вершины имели нечётную степень. Следовательно, такой маршрут невозможен. | 45 |
| 14 | Математическое ожидание
Продолжаем тему дискретных случайных величин. Теперь, когда мы умеем строить закон распределения, можно задать главный вопрос. Какое значение случайной величины следует ожидать в среднем?
Ответ на этот вопрос даёт математическое ожидание.
🎰 Пример: лотерея
Начнём сразу с жизненного примера. Допустим, проводится лотерея. Билет стоит 100 рублей. Всего продаётся 1000 билетов. Один билет выигрывает 50000 рублей, два билета выигрывают по 5000 рублей, десять билетов выигрывают по 1000 рублей. Остальные билеты не выигрывают ничего.
Вопрос: стоит ли покупать билет?
Интуитивно хочется ответить: есть шанс выиграть 50000, значит стоит. Но на одной интуиции далеко не уедешь. Нужно посчитать, на какой выигрыш можно рассчитывать в среднем.
Сначала запишем все возможные значения выигрыша и их вероятности.
- 50000 рублей: 1 билет из 1000, вероятность = 1/1000 = 0.001
- 5000 рублей: 2 билета из 1000, вероятность = 2/1000 = 0.002
- 1000 рублей: 10 билетов из 1000, вероятность = 10/1000 = 0.01
- 0 рублей: остальные 987 билетов, вероятность = 987/1000 = 0.987
Теперь посчитаем средний выигрыш. Для этого каждое возможное значение выигрыша умножим на его вероятность и всё сложим.
50000 × 0.001 = 50
5000 × 0.002 = 10
1000 × 0.01 = 10
0 × 0.987 = 0
Складываем: 50 + 10 + 10 + 0 = 70 рублей.
Это и есть математическое ожидание выигрыша. 70 рублей. А билет стоит 100 рублей. Значит, в среднем каждый билет приносит убыток в 30 рублей.
🔺🔻🔺
Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, взятое с учётом вероятностей. Если провести опыт много раз, то среднее арифметическое полученных значений будет стремиться к математическому ожиданию.
В случае с лотереей это означает вот что. Если купить один билет, можно выиграть 50000, можно 5000, можно ничего. Но если купить тысячу таких билетов на тысячу подобных лотерей, то средний выигрыш на один билет будет около 70 рублей. И в итоге потеряешь примерно 30 рублей с каждого билета.
Ожидание не гарантирует результат в одном конкретном опыте. Один конкретный билет может принести и 50000. Но ожидание даёт ориентир для долгосрочной стратегии. Оно подсказывает: играть в такую лотерею невыгодно.
Формула
Теперь, когда смысл понятен, запишем общую формулу. Для дискретной случайной величины математическое ожидание считается так: Берём каждое возможное значение, умножаем на его вероятность и всё складываем.
E(X) = x₁ × p₁ + x₂ × p₂ + ... + xₙ × pₙ
Где x₁, x₂, ..., xₙ — возможные значения, а p₁, p₂, ..., pₙ — их вероятности.
В лотерее мы ровно это и проделали. Только в роли x были суммы выигрыша, а в роли p — доли билетов с таким выигрышем.
#углублённо | 49 |
| 15 |  بدون متن... | 936 |
| 16 |  #историческое
"Фитиль", 1968 год. "Звание - сила". Где-то в недрах ВАК | 49 |
| 17 |  بدون متن... | 57 |
| 18 |  https://x.com/eat_a_cucumber/status/2110083127624568970 | 44 |
| 19 |  بدون متن... | 135 |
| 20 |  Хотелось бы чего-нибудь целого и натурального🍟
Канифолька | 42 |
