Зачем мне эта математика

А ещё мы вчера внезапно увидели Citroën 2CV — автомобиль, который когда-то прославил французский автопром! В Citroën трудился Поль де Кастельжо: тот самый конкурент Пьера Безье, который одновременно с ним придумал способ строить плавные кривые — об обоих мы уже рассказывали. Дизайн этой легендарной модели годами делали вручную, пока не пришёл де Кастельжо. Он придумал свой знаменитый алгоритм, благодаря которому процесс производства стал сильно проще. Плавные линии, такие как на фото, теперь можно было создавать в программе. Увидеть Citroën 2CV своими глазами — везение. Когда изучаешь математику, удивительные совпадения и открытия случаются каждый день 🔅

💨 Анимация в любимых мультиках: когда движение — тоже кривая В современной анимации так много интересного — кажется, жизни не хватит, чтобы посмотреть всё. Но что бы вы не выбрали — Pixar, Disney или мультфильмы от российских художников — везде за плавные движения будет отвечать математика. А если быть точнее, снова кривые Безье. ✅В основе современной анимации лежит концепция tweening — автоматической генерации промежуточных кадров между двумя ключевыми. Достаточно сказать: «в начале персонаж стоит в левой части кадра» и «в конце — в правой», и программа достроит движение между этими состояниями. Вот только мало «просто достроить». По умолчанию можно линейно двигать объект из точки A в точку B, но такой переход будет казаться механическим, неживым. Вот почему в профессиональной анимации важно не только где находится объект, но и как он туда попадает — с ускорением рывком, плавным замедлением или скольжением по инерции. Но как это контролировать? ✅Ответить на этот вопрос помогают кривые времени, и самой популярной моделью для них остаётся кривая Безье. Допустим, мы хотим, чтобы объект начинал движение медленно, потом ускорялся, а под конец снова замедлялся. Тогда мы рисуем график времени с помощью кривой Безье и программа «читает» его как инструкцию. Такой подход в анимации можно применять ко всему: движению персонажей, морганию глаз или движению волос, на которые подул ветер — как на гифке к посту. ✅В крупных студиях — Pixar, DreamWorks и других — аниматоры редактируют кривые движений вручную, добиваясь точности. Моргание может быть нервным или расслабленным, походка — напряжённой или уверенной. Всё это выражается через форму кривой. Вот так с помощью кривых Безье математика становится выразительным инструментом! Надеемся, после этого поста вам захочется пересмотреть любимый мультфильм и присмотреться к тому, как он устроен. #как_устроено

🔤 Почему буквы, которые вы читаете прямо сейчас — это код, и причём здесь кривые В любом тексте на экране мы видим буквы. Но что видит компьютер? Как появились современные шрифты и почему буквы — это на самом деле код? До 1980-х годов компьютерные шрифты были наборами картинок. Каждой букве соответствовал битмап — пиксельная картинка определённого размера. Нужно десять размеров букв? Держи десять файлов. Такая система была тяжёлой и плохо масштабируемой. Революция началась с векторных шрифтов. В них каждая буква — не изображение, а инструкция, как её построить. А контуры символов описываются кривыми — чаще всего квадратичными или кубическими кривыми Безье. Прорывом стал и формат TrueType, появившийся в 1991 году: там каждая линия в букве задаётся квадратичной кривой Безье. Это всего три точки: начальная, конечная и одна управляющая. Этого достаточно, чтобы задать элегантную плавную форму. Благодаря такому подходу буквы легко масштабируются, компактно хранятся и выглядят чётко на экранах разных размеров — от часов до 8K-мониторов. 🖥 Как буквы становятся пикселями Компьютерный экран — сетка пикселей, и чтобы отобразить векторную букву, нужно превратить кривые в пиксели. Этот процесс называется растеризацией. Работает он так: ➡️Контур буквы задаётся кривыми Безье. Как на гифке к посту. ➡️Для каждого пикселя выясняется, где он находится: внутри буквы или снаружи. ➡️Алгоритм проводит через пиксель горизонтальную линию и считает, сколько раз она пересекает контур. Нечётное число — пиксель закрашивается. Чётное — остаётся фоном. Получается буква! Благодаря кривым Безье шрифты адаптируются к контексту: это не просто форма, а гибкий алгоритм. И всё ради того, чтобы буквы выглядели идеально на любом экране (а дизайнеры спорили, какой шрифт лучше). А в честь Пьера Безье, кстати, до сих пор называют шрифты и даже дизайнерские компании 🤩 #как_устроено

📝 Немного теории (совсем чуть-чуть) Мы тут подумали: вдруг кому-то не хватило математики в предыдущих постах? Несём немного теоретических пояснений. Надеемся, вы разделяете нашу любовь к формулам! Напомним, кривые Безье — это способ описания гладких кривых с помощью точек: начальной, конечной и нескольких управляющих. Эти управляющие точки «тянут» кривую, придавая ей форму. Сегодня чаще всего используются квадратичные и кубические кривые Безье — например, в компьютерной графике и реальном производстве. На картинках дали небольшие пояснения о каждой из них и формулы, которыми можно задать кривые. А в комментариях добавили ссылки на Desmos — заглядывайте, если хотите посмотреть, как устроены эти виды кривых, и построить их самостоятельно 🌀 #как_устроено

🔧⚙️ Как инженер Renault придумал язык для шрифтов, анимации и дизайна Кривые Безье — инструмент дизайнеров, создателей анимации и разработчиков интерфейсов. Но родились они не в художественной студии, а... в автомобилестроительной компании! Вернёмся в 1960-е и заглянем в чертёжную мастерскую французского автогиганта Renault. Там работал Пьер Безье — инженер, который отвечал за проектирование кузовов автомобилей. Кстати, формы машин тогда создавались вручную: с помощью шаблонов, лекал и физического моделирования. Безье захотел найти способ описывать плавные формы математически — так, чтобы можно было управлять ими и изменять их. Он предложил использовать систему контрольных точек, где кривая начинается в одной точке, заканчивается в другой, а промежуточные управляющие точки «тянут» линию, придавая ей изгиб. Кривая не обязана проходить через все точки: она приближается к ним. Для промышленности это было революционно! 💡 Безье не просто предложил форму — он ввёл алгоритм, который позволял строить кривую шаг за шагом. Сегодня этот метод известен как алгоритм де Кастельжо, в честь Поля де Кастельжо — математика из Citroën, конкурирующей компании. Он независимо от Безье предложил похожий подход, но держал это в секрете. Безье же своим открытием поделился, и именно его имя спустя годы стало нарицательным. 🔧 Интересно, что математическим фундаментом кривых Безье стали многочлены Бернштейна, описанные ещё в 1912 году советским математиком Сергеем Бернштейном. Использовав их, Безье сделал то, что мы так любим: изменил реальный мир с помощью математики. Вот так попытка «сгладить крыло автомобиля» обернулась тем, что мы теперь сглаживаем шрифты, маршруты и движения персонажей — и всё это с помощью кривых Безье. Подробнее об этом — в следующих постах. #история

🪄 Кривые, изменившие мир, или Что общего у Pixar, Apple, Photoshop и Times New Roman? Всё это — результат одной революционной математической идеи. Контуры, по которым бегают персонажи «Корпорации монстров», любимые дизайнерские шрифты, да и вообще, любой изгиб векторного изображения появились благодаря особому способу рисовать плавные линии через заданные точки. Вы точно с ними сталкивались. Просто не знали, что у них есть официальное название и целая история. Например, мы привыкли думать, что графика — это что-то нарисованное, но на самом деле большая часть визуального контента на экране не рисуется, а вычисляется. Компьютер не рисует круг — он строит траекторию по уравнению. Он не анимирует героя — он решает, по какой кривой тот должен пройти из точки A в точку B. Даже буквы в посте, который вы читаете прямо сейчас — это не просто набор пикселей, а инструкция из кривых! А когда вы нажимаете на красиво анимированную кнопку в любимом приложении, анимация её появления задаётся кривой Безье, которая контролирует скорость и характер движения. ✨ Этим постом мы начинаем целый сериал о кривых Безье. Смотрите в следующих сериях: ✅откуда взялись кривые Безье ✅какие формулы их описывают ✅как они повлияли на современные шрифты ✅и как им удаётся управлять анимацией А чтобы знакомство с темой прошло легко, предлагаем немного поиграть — у нас тут всё-таки нескучная математика. Наша сегодняшняя рекомендация — Bezier Game, интерактивная игра, в которой можно выполнять задания и управлять кривыми Безье. Попробуйте, чтобы понять, как устроен этот математический феномен и просто развлечься. #рекомендуем

⏳Минуты? Часы? Дни? Выясняем, как долго герои «Офиса» ждали, когда логотип попадет в угол Как и обещали, возвращаемся с ответом на вопрос о значке DVD. Мы подошли к делу серьёзно и всё посчитали. Итак, допустим, логотип стартует из одного из углов экрана — скажем, правого верхнего. Попадёт он в угол или нет, зависит от размеров экрана и логотипа. Давайте обозначим размер логотипа как h×w пикселей и размер экрана — как H×W пикселей, и попробуем найти ответ. Объяснение упаковали в карточки: в них мы сначала рассказываем общий принцип подсчётов, а потом делаем расчёты по «Офису». А в комментарии добавили небольшой бонус: поясняющую гифку ❤️ Что думаете? Чисто интуитивно казалось, что ответ будет меньше или больше? #как_устроено

📀 Математика значка DVD Теперь, когда кого-то мы заставили поностальгировать, а кого-то привели в замешательство, расскажем, почему мы решили поговорить с вами про значок DVD. Сначала немного культурного контекста.

В нулевых почти в каждой квартире был DVD-проигрыватель. На нём была заставка по умолчанию: значок, который «плавал» от одной стороны экрана к другой, и редко, очень редко попадал в угол. Серьёзно, некоторые из нас так и не увидели, как это происходит.

Так от чего же зависит, попадет значок в угол или нет? Математика говорит, что дело в размерах экрана и самого логотипа. А ещё — в том, откуда стартует значок. Если он начинает движение из одного из углов, попадание — вопрос времени. А если это не так, логотип может бесконечно «гулять» по экрану, ни разу не достигнув углов. Именно поэтому в популярных скринсейверах начальные условия подобраны так, чтобы попадание в угол всё-таки случалось – авторы все предусмотрели! 🍿Кстати, наблюдение за значком DVD стало особенно популярным после выхода серии «Офиса», в которой герои смотрят за ним прямо на совещании — той, из которой взят первый фрагмент видео. Некоторые зрители болели так, будто смотрели главный футбольный матч века! Это хорошо видно на втором видео. Вот так обычный скринсейвер стал настоящим культурным феноменом. С математикой мы, кстати, не закончили: скоро вернёмся и расскажем, сколько времени на самом деле пришлось бы ждать героям «Офиса», чтобы увидеть значок в углу. Если у вас есть предположения, будем ждать в комментариях 🤩 #история

А вам удавалось увидеть, как значок DVD попадает в угол экрана? Устраиваем голосование эмодзи: 🤩 — да! 👀 — нет, до сих пор хочу увидеть. 🤔 — я родился/ась после 2005 и не понимаю, о чем речь.

🎶 Когда графики звучат как «Разделение» Узнаете музыку на видео? Да, это музыкальная тема из сериала «Разделение», который собрал миллионы фанатов по всему миру. Сейчас объясним, причем здесь математика и как графики могут зазвучать не хуже музыкальных инструментов. В ролике вы видите интерфейс Desmos — графического калькулятора, который обычно используют для построения функций. Desmos постоянно выручает школьников, студентов и математиков, а еще его можно превратить в полноценный синтезатор, и Марк Эвенштейн доказывает это в видео. 🎹 Как Desmos превращается в музыкальный инструмент Desmos умеет воспроизводить синусоиду, частота и амплитуда которой управляются параметрами графика. Всего один функциональный тон, который зависит от частоты и амплитуды, может творить чудеса.

Функциональный тон, кстати, это звук, полученный одним типом волны и одним способом управления этой волной — через функцию, которая задает её частоту и амплитуду.

Эвенштейн выходит за рамки простого построения графиков: он использует ползунки, анимации и другие возможности Desmos, чтобы превращать функции в звуковые волны. 🎸 Тема из Severance как функция времени Музыка из сериала строится вокруг четырёхтактного цикла с постоянным басом на ноте «До». В Desmos это реализуется как кусочно-постоянная функция, где каждая «ступенька» соответствует определённой высоте звука. Координаты по оси y напрямую сопоставляются с частотами, а ось x — это время. Аккорды собираются в списках, и всё это звучит не одновременно, а в заданной ритмической структуре. А чтобы визуализировать гармонический цикл, автор использует круговую диаграмму с полярными координатами и движущимися точками, которые напоминают метроном. Громкость звука — отдельная тема. Её Эвенштейн моделирует с помощью косинусоид. 🥁Перкуссия: как из синусоиды извлечь удар Наша любимая часть этой истории — ударные! Desmos по умолчанию может воспроизводить только синусоиду, но автор использует случайные числа, которые создают «шумовые полосы». Энергия звука имитируется с помощью амплитудных огибающих, которые тоже задаются функциями времени. Увидеть «шумовые полосы» можно на скриншоте, который мы приложили: серый прямоугольник справа — это оно. Эвенштейн — не первый, кто начал делать музыку в Desmos, но его подход точно можно назвать необычным. Хотите серию постов о диковинных вещах реализованных в Desmos? #рекомендуем

Как проходит длинная рабочая неделя, когда на майских забыл, чем занимался на работе. Ставьте🙈, если так и было. #меммат

🔅 Решение задачи о числах А вот и решение. Кстати, задачу можно решить несколькими способами — поделились двумя из них в карточках и спрятали их под спойлер на случай, если хочется подумать ещё. Подсказка: в одном из способов нужно найти пропущенные множители. Как вам задача, получилось решить? Ставьте 😱, если решение показалось сложным, 🤓 — лёгким и ❤️ — если в самый раз. #задача

😊 Задача о числах: ищем правильный ответ Близится конец рабочей недели, и это повод немного сменить фокус — например, потренироваться решать задачи. У нас как раз есть подходящяя. ✅Условие. Известно, что: 2 + 3 = 8. 3 + 7 = 27. 4 + 5 = 32. 5 + 8 = 60. 6 + 7 = 72. ✅Вопрос. Чему в таком случае равно 7 + 8? Как обычно, предлагаем делиться рассуждениями и ответами в комментариях, а решение опубликуем уже завтра! #задача

🌀 Помните учёную, которая использовала вязание для демонстрации открытия в топологии? Пробуем объяснить, что она сделала (хотя бы примерно) Недавно мы рассказывали про Сусанну Хейккиля: учёную, которая совершила открытие в топологии и продемонстрировала результаты с помощью вязания, своего хобби. Нам так понравилась эта история, что мы решили вернуться с небольшим пояснением и попробовать рассказать, с чем вообще связано открытие Хейкилля. Итак, наглядно изобразить то, что сделала героиня предыдущего поста, практически невозможно. Четырехмерные многообразия, о которых идёт речь в работе Хейккиля, нельзя визуализировать в привычном нам трёхмерном пространстве. Её вязаная модель показывает, почему плоский диск нельзя аккуратно «натянуть» на сферу, не создав складок или разрезов. Этот факт относится к классическому результату о невозможности изометрического вложения плоскости в сферу. Звучит сложно, потому что так и есть: топология — одна из самых сложных областей математики, и объяснению она поддаётся трудно. В связи с историей о Хейккиля интересно вспомнить о Джеймсе Александере. Учёный, к слову, происходил из очень влиятельной американской семьи, был миллионером и предерживался чрезвычайно левых взглядов. А ещё он тоже изучал конструкции вложений в топологии, и две его идеи оставили серьезный след в топологии. ✅Первая идея — так называемый «трюк» Александера. ✅Вторая — знаменитая «дикая» сфера, известная как «рогатая сфера Александера» (кстати, в книге «Математический дивертисмент», которую мы советовали здесь, «дикой сфере» посвящена целая глава). Пример рогатой сферы показывает, как двумерную поверхность шара можно вложить в трехмерное пространство в виде вот такой страшной конструкции, как на гифке. Эта идея стала переломным моментом для геометрии и топологии в частности: она разрушила наивную геометрическую интуицию и заставила математиков уточнять формулировки. Этот пример не поможет понять, что именно сделала Хейккиля, но поможет оценить сложность стоявшей перед ней задачи: учёной нужно было классифицировать плоские (двумерные) объекты, которые можно специальным образом (сохраняя необходимые свойства) вложить в многомерное пространство (даже не трёхмерное, а аж четырёхмерное!). Здорово, что кто-то не просто понимает, как это устроено, а ещё и делает открытия в этой области 🌟 #история

Каждый раз, когда π принимают за 3, где-то просыпается в холодном поту один математик. #меммат

📕 Книги о математике для тех, кто готов к чему-то посложнее Мы не удержались и сделали вторую подборку книг. Если хочется глубокого погружения и сложных тем, она для вас! А книги полегче — здесь 🙂 1️⃣ Математический дивертисмент. Сергей Табачников, Дмитрий Фукс Это сборник из 30 лекций, посвященных сюжетам из алгебры, комбинаторики, геометрии и топологии. Например, там можно найти лекции о рогатой сфере Александера, математических бильярдах в эллипсах и геометрии клетчатой бумаги. Общая цель лекций — показать красоту математических рассуждений. Читать их, кстати, советуем с карандашом и бумагой наготове: возможно, над чем-то захочется серьезно поразмышлять. Книгу можно найти в свободном доступе по этой ссылке. 2️⃣ Математическое понимание природы. Владимир Арнольд Книга как раз для читателей нашего канала: в ней о том, как математика проявляет себя в реальном мире. Вы узнаете о приливах и явлении Гиббса, о глубине воды и картезианской науке, об инверсии в цилиндрических зеркалах метро и эксцентриситете кеплеровой орбиты Марса. И всё это — через призму научного видения математика Владимира Арнольда. Электронную версию книги издательство распространяет бесплатно. 3️⃣ Математика как метафора. Юрий Манин Третья книга в подборке — тоже настоящий челлендж. Ее написал Юрий Манин, видный специалист по алгебраической геометрии. Специальные математические знания для её понимания не нужны, но Манин предлагает разобраться в философских аспектах математики, а это может быть не так просто. В сборник вошли очерки по истории и философии математики и физики, теории культуры и языка, отрывки из воспоминаний, стихи и даже стихотворные переводы. И да, эта книга из нашей подборки тоже есть в открытом доступе. А вы какие книги о математике посоветовали бы почитать? #рекомендуем

🧶 Как вязание помогло ученой с решением задачи, над которой математики бились десятилетиями Кто-то разводит комнатные растения, кто-то пишет музыку, а Сусанна Хейккиля из Финляндии любит вязать. Именно это хобби помогло ей продемонстрировать результаты своего открытия в топологии. 📝 Небольшая справка:

Топология — один из самых абстрактных разделов математики. Он изучает свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных деформациях.

В 1981 году математик Михаил Громов задался вопросом: можно ли любую гладкую, замкнутую многомерную фигуру без «дыр» — например, четырехмерную сферу — получить путем плавных искажений и растяжений плоского евклидова пространства? И если нет, то с какими фигурами это возможно? Проблема оказалась настолько сложной, что ее не могли решить четыре десятилетия. Лишь в 2019 году Александр Прайвес представил контрпример в четырехмерном пространстве и доказал, что с любой фигурой так поступить нельзя. Хейккиля из Университета Хельсинки пошла дальше и выяснила, какие именно четырехмерные формы можно получить, деформировав плоское пространство. Она дала классификацию таких фигур, а это отвечает на вопрос Громова! 🌀 А причем тут все-таки вязание? Хейккиля использовала его для визуализации результатов. К публичной защите диссертации в начале 2025 года она подготовила вязаные модели: 🟠 Первая — полотно с шахматным узором и квадратами с разноцветными углами. 🟠 Вторая — «мяч», сфера с разноцветными полусферами. Если натягивать полотно на мяч так, чтобы разноцветные углы совпали между собой, останется зазор между квадратами там, где эти углы прикрепляются друг к другу. Зазор можно устранить за счет растяжения ткани, что иллюстрирует суть работы учёной. Хейкилля уверена, что вязание помогает понять топологию: петли и узлы показывают, как одни фигуры преобразуются в другие без разрывов и склеиваний. Кажется, хобби, которые помогают занять руки и спокойно порассуждать — отличный способ делать маленькие и большие открытия. Что думаете? #история

Если достаточно долго думать о математике, можно начать везде видеть математику. Ставьте 🤯, если вы уже на этой стадии, и 🤗 — если еще нет! #меммат

📕 Три книги о математике, которые точно стоит прочитать Майские — хороший повод начать новую книгу. Выбрали для вас самые интересные и рассказали, почему они нам нравятся. 1️⃣ Математическая составляющая. Редакторы-составители: Николай Андреев, Сергей Коновалов, Никита Панюнин Must read и первейшая рекомендация для тех, кто интересуется математикой, но не готов браться за слишком трудный материал. Если бы наш канал был книгой, это была бы «Математическая составляющая». Книга состоит из трех частей. Первая — о математике и достижениях цивилизации. Например, о том, как задача о Кёнигсбергских мостах (рассказывали о ней здесь) пригождается при расшифровке генома. Вторая часть — о математике в повседневных вещах. Вы узнаете, почему футбольный мяч устроен именно так и почему у бумаги формата А4 такие длины сторон. В третьей части собраны тексты посложнее: объемные и со множеством деталей. Кстати, электронную версию книги можно бесплатно прочитать и скачать на официальном сайте. 2️⃣ Апология математики. Владимир Успенский Это не совсем книга, а скорее сборник статей профессора Владимира Успенского — математика, лингвиста и ученика великого Колмогорова. «Апология математики» объясняет, какое огромное место математика занимает в нашей жизни, и помогает проникнуться ее красотой. А еще — связывает математическое и гуманитарное. Например, одна из глав называется «Параллельные прямые в мифологии, в реальности и в математике», и практически весь первый абзац этой главы посвящен... Пушкину! 3️⃣ Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир. Нелли Литвак, Андрей Райгородский Книга о том, как математика работает внутри поисковиков, онлайн-рекламы, шифрования и даже очередей в супермаркете. Она объясняет, почему современный мир буквально существует благодаря математике (нам такая точка зрения очень близка!). Книга написана для широкой аудитории, но в ней есть математические приложения и даже строгие математические формулировки с доказательствами теорем. Кстати, все три книги — лауреаты или финалисты премии «Просветитель». Вот такая просветительская у нас получилась подборка 😊 #рекомендуем

🧊Задача о муравье и кубе: решение Как мы уже сказали, задача связана со случайными блужданиями, и хотя куб — довольно простая фигура, решить ее может быть непросто. Давайте разберем задачу шаг за шагом. Прежде чем приступить к решению, разобьём вершины куба на группы: 🟠 A — вершина, откуда стартует наш муравей. 🟠 группа B — три вершины, соединенные гранями с A. На одну из них муравей попадёт после первого шага. 🟠 группа C — три вершины, до которых можно добраться из группы B. Это промежуточные вершины, не конечные. 🟠 группа D — целевая вершина, противоположная начальной. Попасть туда из вершин из группы C можно только одним путём. Так, с вершинами разобрались. Остальное решение — в карточках. Традиционно спрятали их, чтобы не проспойлерить ответ тем, кто пока не закончил разбираться. Получилось ли решить задачу? Ставьте 😱, если решение показалось сложным, 🤓 — лёгким и ❤️ — если в самый раз. #задача