Зачем мне эта математика

По хорошей традиции сегодня у нас будет очередная задача о зарплатах 👀 🔸Условие: в некоторой стране суммарная зарплата 10% самых высокооплачиваемых работников составляет 90% зарплаты всех работников. 🔸Вопрос: может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10% работников составляет не более 11% всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе? Подсказок не будет, но по задаче вы можете догадаться, на какую тему мы хотим сделать следующий пост. А пока ждём ваши ответы в комментариях под спойлером, пожалуйста! Решить ещё одну задачу о зарплате▶️тык #задача

5 уровней математической абстракции Представьте изображение очень плохого разрешения: вблизи видны лишь отдельные пиксели. Но стоит отдалиться — и, пусть не идеально, появляется целостная картинка. С абстракцией происходит то же самое. Уходя не вглубь, а «наружу», мы попадаем в более крупные миры, где предыдущие оказываются частными случаями. Законы этих больших миров часто проще и удобнее для рассуждений. Отсюда и парадокс математики: задачи, формулируемые в одну строку, требуют сотен страниц доказательств. Чтобы понять, почему так происходит, предлагаем посмотреть на историю математики как на движение через несколько уровней абстракции:

👟 1️⃣ уровень: визуализации 👟 Если нужно сложить 2 и 3, можно просто загнуть два пальца, а потом три и сосчитать, сколько пальцев мы загнули. Если пальцев не хватает, мы просто берём две кучки одинаковых предметов в нужном количестве, складываем их в одну кучу и пересчитываем. Проблема очевидна: такие операции масштабируются плохо. Посчитать десятки ещё можно, сотни — уже трудно, тысячи — почти невозможно. Любая серьёзная операция превращается в изнурительное пересчитывание.

👟 2️⃣ уровень: нотации 👟 Когда появляются числовые символы и обозначения, вместо груды камней у нас возникает запись 2 + 5. Вместо угла — набор букв, которыми мы обозначили углы. Операция, которая раньше занимала минуты или часы, теперь выполняется за секунды. Причём не потому, что мы стали «умнее», а потому что абстракция спрятала сложность внутрь правил. Правила сложения с переносом разрядов вовсе не очевидны. Это математические теоремы. Но они настолько глубоко встроены в нотацию, что мы перестаём замечать их существование.

👟 3️⃣ уровень: переменные 👟 На этом этапе числа заменяются буквами. Теперь мы можем делать утверждения сразу про все числа, а не про отдельные примеры. Становится возможным говорить о решениях уравнений, о системах, о зависимостях, и манипулировать ими чисто алгебраически, получать формулы, в которые подставляются необходимые нам в моменте значения. Этот уровень абстракции нам знаком благодаря школьным программам. Он уже невероятно красивый и универсальный. Но по меркам современной математики всё ещё довольно низкий.

👟 4️⃣ уровень: структуры 👟 Теперь абстрагируемся не от чисел, а от самих числовых систем. Если нас интересует только операция сложения, зачем привязываться именно к целым числам? Можно рассматривать любые объекты, где есть «сложение» и выполняются знакомые свойства. Так возникают, например, абелевы группы или матрицы. И целые числа — лишь один частный случай, а сама группа становится чем-то вроде «переменной», обозначающей целый класс возможных структур. Главная сила этого шага — в фокусировке: мы сознательно оставляем только те свойства, которые действительно важны для доказательства, и отбрасываем всё лишнее. В результате утверждения начинают работать сразу для огромного множества объектов, а не для одного конкретного примера.

👟 5️⃣ уровень: категории 👟 Здесь уже можно смотреть не на отдельные структуры, а на всю вселенную структур и отображений между ними. Так появляется язык категорий: категория абелевых групп, категория топологических пространств и так далее. Более того, можно изучать связи между самими категориями, переходя ещё на уровень выше. Именно на этом уровне возникает возможность видеть глубинные закономерности, которые полностью скрыты на «низких этажах».

Эдсгер Дейкстра, автор знаменитого алгоритма, названного его именем и используемого всеми современными навигаторам, однажды сказал: ⏩️Введение подходящих абстракций — это единственное наше умственное средство для организации и освоения сложности⏪️ Почему реальность математики устроена именно так — вряд ли кто-то когда-либо объяснит. Но факт остаётся фактом: без этого странного могущества абстракции большая часть современной математики была бы просто невозможна. #это_база

#меммат Математическая редакция, когда нужно определиться с темой для поста:

Зачем природе эта математика❓ Мы привыкли думать, что природа любит непрерывность: диффузию, плавные изменения градиентов, дифференцируемость спектра. Но так ли она непрерывна на самом деле — или существуют явные дискретные переходы? ⏩️ Одним из первых исследований происхождения биологических узоров стала работа Алана Тьюринга «Химические основы морфогенеза» (1952). Он описал систему реакционно-диффузионных уравнений, показывающих, как из первоначально однородной среды самопроизвольно возникают разные формы за счёт локального взаимодействия и диффузии реагентов.

Долгое время тьюринговские структуры — полосы, пятна и кольца — связывали прежде всего с окраской животных. Однако в 2015 году российские биологи показали: микроструктура роговицы глаз насекомых удивительным образом совпадает с предсказаниями модели Тьюринга, несмотря на большое эволюционное расстояние между видами (см. карточку 1). Здесь речь идёт не о «красивых узорах». В случае роговицы структуры напрямую связаны с оптической функцией глаз — снижением отражения и улучшением зрения.

⏩️ Позже, в 2017 году, в журнале Nature вышла работа швейцарских учёных совместно с исследователями из СПбГУ и Сколково. Авторы показали: математическая модель окраски способна меняться внутри одного вида по мере взросления особи (см. карточку 2).

Молодые особи выглядят скромно: коричневые с белыми пятнами — типичный тьюринговский узор. Дальнейшая эволюция окраски лучше всего описывается клеточным автоматом фон Неймана. Каждая чешуйка меняет цвет в зависимости от состояния соседей, а итог задаётся локальными правилами. То есть: в ходе онтогенеза непрерывная диффузионная модель уступает место дискретной.

⏩️ Напомним: клеточные автоматы получили известность благодаря игре «Жизнь» Джона Конвея — упрощённому наследнику идей Джона фон Неймана о самовоспроизводящихся машинах. Исследования проявлений клеточных автоматов в природе ведутся давно, и здесь уместно вспомнить классические примеры из их теории.

Один из самых известных — Правило 30 Стивена Вольфрама: простой одномерный автомат, порождающий сложные, во многих отношениях случайные структуры из элементарных и жёстко заданных правил. Структуры, визуально похожие на узоры Правила 30, встречаются на раковине широко распространённого тропического моллюска Conus textile (см. карточку 3).

Мы часто противопоставляем непрерывные и дискретные модели: дифференциальные уравнения — автоматам, анализ — комбинаторике. Тем интереснее ситуации, когда природа использует обе, но по очереди, когда разные математические объекты соответствуют разным фазам одного и того же реального биологического процесса. И где-то между юной пятнистой ящерицей и взрослым лабиринтом из чешуек скрывается момент, когда непрерывность уступает дискретности. #как_устроено

Мы привыкли думать, что оптимальные решения достаточно рациональны и структурированы. Вспомните задачи о плотности упаковки, о которых мы рассказывали: строгие формы кристаллических решёток снежинок или оптимальное, идеально симметричное заполнение пчелиных сот. ❓Но императорские пингвины с этим не согласны. But why... Каждую антарктическую зиму сотни тысяч птиц выходят из океана и отправляются вглубь материка гнездоваться. Пока самки добывают пищу, самцы сутками балансируют яйцо на лапах — без еды, без укрытий, при экстремальных температурах. Снаружи это выглядит как полный хаос: плотная, случайным образом распределённая и постоянно шевелящаяся масса птиц. Но если присмотреться внимательнее — а этим как раз и занялись математики и физики, — оказывается, что внутри скрыта идеальная оптимизация:

▶️Пингвинья «куча» — это модель без стратегии, сигналов и договорённостей, где каждый заботится только о себе. Пингвину холодно — он ищет место теплее. А температура в центре скопления может доходить до +38 °C. Там пингвины почти не двигаются. ▶️Тот, кто оказался с наветренной стороны, рано или поздно «сдаётся» и начинает пробираться к подветренному, более тёплому краю (прикрепляем скрин из исследовательской статьи). ▶️Причём движутся они асинхронно. Нет общего «шага вперёд». Каждый отдельный пингвин совершает локальное, эгоистичное действие — и именно из этого вырастает глобальный порядок.

И как не удивительно, такая «упаковка пингвинов» очень близка к гексагональной решётке — той самой, которую математики давно знают как самую плотную упаковку одинаковых объектов на плоскости. Но почему отбился пингвин-нигилист, мы вам не ответим… Если знаете, расскажите в комментах. Если нет, просто посылайте ему тепла — 🔥 #как_устроено

Завершаем празднование дня рождения Льюиса Кэрролла ❤️ Спасибо за вашу активность. Рады видеть такое количество реакций на постах и ваши комменты. Не останавливайтесь! Оставляем решения вчерашних головоломок. Сохраняйте ответы и загадывайте друзьям длинными снежными вечерами...

💡 1️⃣ Логическая задача 💡 Из (1): все младенцы нелогичны. Из (3): всех нелогичных людей презирают. Следовательно, всех младенцев презирают. Условие (2) говорит, что ни один человек, умеющий управляться с крокодилом, не может быть презираем. В контрапозиции это означает: если кого-то презирают, значит, он не умеет управляться с крокодилом. Поскольку всех младенцев презирают, ни один младенец не может управляться с крокодилом. ▶️Итак, вывод Кэрролла таков: младенцы не могут управляться с крокодилами.

💡 2️⃣ Арифметическая задача 💡 Пусть расстояние подъёма (и спуска) равно d милям, а L — длина ровного участка (туда и обратно). Время подъёма: d / 3 время спуска: d / 6 время по ровной местности: L / 4 в каждую сторону Общее время: d / 3 + d / 6 + 2·(L / 4) = 6 часов (с 3 до 9 вечера) Упрощаем: d / 3 + d / 6 = d / 2, значит: d / 2 + L / 2 = 6, откуда d + L = 12 Общее расстояние равно 2d + 2L. Но так как d + L = 12, получаем 2d + 2L = 24 мили — независимо от того, как именно делятся эти 12 миль между подъёмом и ровной дорогой. Кэрролл показывает, что всего они прошли 24 мили. Чтобы найти время подъёма на вершину: рыцари вышли в 3:00, общее время — 6 часов. Как объясняет Кэрролл, подъём должен был занять примерно 3½ часа после выхода, то есть около 6:30 вечера. Если бы все 12 миль были ровными, путь занял бы чуть больше 3 часов; если бы почти весь путь был в гору — чуть меньше 4 часов. В пределах получаса это даёт около половины седьмого. ▶️Ответ Кэрролла: 24 мили и 6:30 вечера.

💡 3️⃣ Парадокс вероятностей 💡 Изначально в мешке была либо белая W, либо чёрная B фишка — с равными вероятностями. После добавления белой фишки возможны два случая: WW (если исходная была белой) или BW (если исходная была чёрной), каждый с вероятностью 1/2. Мы вытаскиваем белую фишку. Перебор равновероятных случаев (как подробно делает Кэрролл) показывает, что остаются три равновероятных сценария, в которых вытянута белая фишка. В двух из этих трёх случаев оставшаяся фишка — белая. ▶️Следовательно, вероятность того, что оставшаяся фишка белая, равна 2/3. *️⃣Сам Кэрролл отмечал, что интуитивный «короткий» ответ 1/2 вводит в заблуждение, и приводил правильный «длинный» расчёт.

И надеемся, что не слишком утомили вас сказками. Пусть на первый взгляд они выглядят детскими, но при внимательном чтении в них открывается множество глубоких идей. Впрочем, как и бывает со многими трудами на стыке математики и других областей. Если было интересно, вот ссылочки на другие наши серии: ▶️про геймдев ▶️про искусство ▶️про дизайн #задача

Порешаем задачки от Льюиса Кэрролла❓ Как мы уже с вами поняли, Кэрролл был тот ещё затейник. Сегодня предлагаем вам разгадать некоторые его головоломки головоломки. Чур, не гуглить! 1️⃣ Логическая задача

(1) Все младенцы нелогичны. (2) Никого не презирают, если он умеет управляться с крокодилом. (3) Всех нелогичных людей презирают. Какой вывод можно сделать о младенцах и крокодилах?

2️⃣ Арифметическая задача

Два рыцаря выходят из гостиницы в 3:00 дня и идут через гору. В гору они идут со скоростью 3 мили в час, с горы — 6 миль в час, по ровной местности — 4 мили в час. В 9:00 вечера они возвращаются в гостиницу. Старый рыцарь спрашивает: «В котором часу мы вместе стояли на вершине?» — и обещает ответить «с точностью до последнего дюйма», сколько миль они прошли с 3 до 9 часов. Нужно найти: (a) время, когда они были на вершине (с точностью до получаса) (b) общее пройденное расстояние

3️⃣ Парадокс вероятностей

В мешке лежит одна фишка — чёрная или белая (какая именно, неизвестно). Мы добавляем белую фишку, перемешиваем и вытаскиваем одну — она оказывается белой. Какова теперь вероятность вытащить белую фишку?

Кто решил — пишите свои догадки в комментариях! Авторские ответы опубликуем завтра. А на карточках вы найдёте ещё больше парадоксов Льюиса Кэрролла. #задача

В честь дня рождения Льюиса Кэрролла — сегодня ему 194 года! — давайте посмотрим на его сказочные тексты глазами математика 🔄В книгах о приключениях Алисы Кэрролл постоянно вплетает в текст математические и логические шутки, аллюзии и пародии. В «Алисе в Стране чудес» и особенно в «Алисе по ту сторону зеркала» он обыгрывает и высмеивает математику своего времени🔄 И вот целых пять примеров:

❄️ 1️⃣ Арифметика и системы счисления ❄️ В знаменитой сцене, где Алиса уменьшается, она пытается умножать и получает странные результаты: «4×5 = 12, 4×6 = 13…». В десятичной системе это выглядит ошибкой, но Кэрролл сознательно смещает основание счёта. Если считать не в десятичной системе, а, например, с основанием 18 или 21, такие равенства становятся корректными: 4×5 = 20(10) = 12(18), 4×6 = 24(10) = 13(21).

❄️ 2️⃣ Геометрия и пропорции ❄️ Как вы помните, многие персонажи меняют форму: Кролик растёт, Алиса то уменьшается, то вытягивается, и любой математик бы спросил, сохраняют ли персонажи форму? Когда Гусеница произносит фразу «keep your temper», учёный XIX века слышит в ней не совет «держать себя в руках», а призыв «сохранять пропорции» — temper как средняя мера. В евклидовой геометрии фигура после гомотетии остаётся подобной самой себе, если сохраняются соотношения сторон. Но если пропорции нарушаются, форма ломается, и объект перестаёт быть самим собой. Тут Кэрролл иронизирует над идеями алгебраической геометрии и символической алгебры.

❄️ 3️⃣ Принцип непрерывности ❄️ Сцена с младенцем Герцогини, который внезапно превращается в поросёнка, отсылает к принципу непрерывных превращений, связанному с идеями Понселе. Согласно этому принципу, бесконечно малые изменения сохраняют некоторые свойства объекта. Кэрролл доводит идею до гротеска: при превращении может получиться либо ребёнок, либо свинья — никакого «промежуточного существа» не существует. Автор насмешливо подчёркивает абсурдность механического переноса математического принципа в физическую реальность.

❄️ 4️⃣ Шахматы и бинарная логика ❄️ В книге «По ту сторону зеркала» вся история разворачивается как партия в шахматы, подчёркивая строгую, почти формальную структуру мира. Для викторианцев шахматы считались «игрой для математиков», и Кэрролл активно использует этот предрассудок. В зеркальном мире всё переворачивается: ходы работают наоборот, выводы инвертируются, логика ломается. Диалоги героев при этом отсылают к идеям алгебры Буля и двоичного мышления — к спорам о «0» и «1», лжи и истине. Кэрролл превращает серьёзные логические концепции в игру слов и парадоксов.

❄️ 5️⃣ «Запутанная история» (1885) ❄️ Хотя это отдельная книга, её невозможно не упомянуть. В ней Кэрролл пишет пять «узлов» — коротких историй, внутри которых он прячет математические задачи. Читателю предлагают распутывать эти «узелки»: решать уравнения, задачи на сочетания и вероятность. Ответы автор выносит в конец книги.

Вот так! Произведения Кэрролла оказываются насыщены скрытой математикой. И он сознательно отражает развитие алгебры и геометрии через сатиру и сказочные образы. Как мы писали, он был консервативным геометром, но как писатель он с иронией показывал новые абстракции как нечто странное и нелепое. Вдохновили вас на то, чтобы перечитать сказки про Алису? Ставьте 🕊, если да! #история

«Алису в Стране чудес», конечно, мог написать только математик… 📚 Когда читаешь книгу, редко задумываешься, кем был её автор за пределами литературы. А зря! Льюис Кэрролл, например, был не просто писателем, а человеком, который всю жизнь занимался математикой.

🐛 Что мы о нём знаем? 🐛 🔸Настоящее имя писателя — Чарлз Лютвидж Доджсон. Он окончил Оксфорд с отличием по математике и в 1856 году стал лектором, проработав в этой должности 25 лет — до 1881 года. 🔸Особое место в его научных интересах занимала евклидова геометрия — строгая система аксиом и доказательств, которую он считал образцом научного мышления. 🔸За свою жизнь он издал около десяти математических книг, в том числе две по формальной логике. В 1890-е годы Доджсон публикует знаменитый текст «Что Черепаха сказала Ахиллесу» — его до сих пор обсуждают специалисты по логике, — а затем выпускает учебник «Символическая логика».

Интересно, что современники считали Доджсона консерватором. Он отстаивал классическую геометрию Евклида и с осторожностью относился к реформам, которые, по его мнению, разрушали строгость доказательства. Но именно любовь к форме, порядку и логике сделала его тексты — и научные, и художественные — такими точными и запоминающимися. 🔄Почему мы вообще об этом вспомнили? Потому что завтра — день рождения Льюиса Кэрролла!🔄 Будем говорить о его логических задачах и о том, где в «Алисе в Стране чудес» прячется математика. Накидайте ❤️, если любите эту запутанную историю! #история

А вот и решение вчерашней задачи!

1️⃣В первой части решения будем анализировать только левую часть мобиля. Начнем с простого — самого нижнего подвеса, из равновесия которого нетрудно заключить, что F = 2D. Заметим, что у нас есть одна большая горизонтальная балка сверху (вес которой, разумеется, никак не может повлиять на решение), а также несколько одинаковых между собой балок поменьше. Будем для краткости обозначать их вес просто X. Тогда из нижней части левой половины можем заключить, что B + F = X+ 2D + F. Упрощая это выражение, получим B = X+ 2D, а учитывая то, что 2D = F, получаем B = X + F. Далее, искомая # = 2X + 2F + 2D + B = 2(X+F) + 2D + B = 2B + 2D + B = 3B + 2D. Теперь финальное соотношение для всей левой части: B + 2E = 3X + # + B + 2F + 2D. Упрощаем: 2E = 3X + 3F + # = 3(X+F) + # = 3B + 3B + F = 6B + F = 6B + 2D E = 3B + D Тогда # = 3B + 2D = E + D.

*️⃣ Здесь можно было бы и закончить решение, так как нам удалось корректно заменить # всего двумя грузами! Меньшим количеством — то есть одним — в этой задаче, конечно, не обойтись.

2️⃣В то же время, специально для наших читателей, подробно проанализируем вторую (правую) половину мобиля. Сперва заметим, что C = A + 3D. Далее: 3A + D + 2F = X + A + 3D + C => 2A + 2F = X + 2D + C ▶️Подставим C: 2A + 2F = X + 2D + A + 3D Упрощая, получаем: A + 2F = X + 5D ▶️Подставим F: A + 4D = X + 5D откуда A = X + D => C = A + 3D = X + 4D. И финальное соотношение на всю правую часть: A + 4C = 2X + 4A + 4D + 2F + C => 3C = 2X + 3A + 4D + 2F Подставим C: 3A + 9D = 2X + 3A + 4D + 2F. Упрощаем: 5D = 2X + 2F. Подставим F: 5D = 2X + 4D => D = 2X. Таким образом, мы получили следующие соотношения: D = 2X A = X + D = 3X F = 2D = 4X B = X + F = X + 2D = 5X C = X + 4D = 9X E = 3B + D = 15X + 2X = 17X

Нам удалось выразить все веса грузов через вес балки. Найденный нами в первой части решения вес # = E + D = 19X. Из расположения в порядке возрастания веса можно увидеть, что оптимальная замена его имеющимися весами будет именно такой, какую мы и нашли выше ⚡️ #задача

Соскучились по задачам? Тогда смотрите на картинку 🔍 Эта конструкция называется мобиль — как детские мобили, которые подвешивают над кроватками. 📃 Здесь «|» — невесомые подвесы, но балки (обозначенные крестиками) имеют массу. Буквы (A, B, C, D, E, F) обозначают разные веса (массы). ❓ Какой вес должен быть оптимально подвешен в месте, помеченном «#»? Под «оптимально» подразумевается, каким набором из имеющихся у нас грузов нужно заменить «#», чтобы не нарушалось равновесие системы и при этом использовалось как можно меньшее количество самих грузов. Пишите решение в комментариях, а завтра мы опубликуем верное. #задача

🔄🔄Последняя наша история о fallacy, как мы и обещали, будет самая математическая. Monte Carlo fallacy, она же gambler’s fallacy, «ошибка игрока». Речь не про азартных людей, а про одну из самых устойчивых иллюзий человеческого мышления. 📏 Monte Carlo Fallacy: когда случайности «помнят прошлое» Это классическая ошибка в понимании независимых событий. Вероятность не имеет памяти, но интуиция упорно ищет «баланс»: если событие долго не происходило, кажется, что оно «должно» случиться. Дальше — погружаем в контекст и рассказываем о зеркальной ошибке.

*️⃣История из казино Монте-Карло 18 августа 1913 года в казино Монте-Карло произошло историческое событие: за столом рулетки чёрное выпало 26 раз подряд. Игроки массово ставили на красное, считая, что серия обязана «исправиться». В результате люди теряли огромные суммы, хотя вероятность каждого следующего броска оставалась неизменной. Вероятность такой последовательности меньше, чем 1 к 68 миллионам — редкое событие, но не невозможное.

*️⃣В чём логическая ошибка Ошибка возникает, когда человек наблюдает цепочку независимых случайных событий и начинает верить, что прошлые результаты влияют на будущие. Если монета пять раз подряд выпала орлом, кажется, что решка теперь «более вероятна». Здесь путают две разные вероятности: 1️⃣ Вероятность всей последовательности до начала эксперимента. 2️⃣ Вероятность следующего шага при уже известном прошлом. Вероятность шести орлов подряд действительно мала, но вероятность орла в шестом броске, если пять уже выпали, по-прежнему равна 1/2.

*️⃣Причём здесь закон больших чисел Часто в защиту интуиции вспоминают закон больших чисел: в длинной серии бросков частота орла стремится к 50%, а красное и чёрное встречаются примерно поровну. Проблема в том, что этот закон работает асимптотически — на очень длинных сериях. Он не «исправляет» результат в следующем броске. Даже 26 бросков остаются короткой последовательностью, в которой никакой компенсации не обязано происходить.

*️⃣Почему ошибка живёт не только в казино Эта fallacy встречается далеко за пределами азартных игр: 🔸«Акция падала три дня подряд — пора покупать, скоро отскочит». 🔸«Пять раз подряд были плохие новости — значит, хорошие уже близко». Во всех этих случаях прошлое ошибочно используют как аргумент о будущем, хотя события независимы.

*️⃣Зеркальная ошибка: Hot Hand Fallacy Существует и обратная версия — Hot Hand Fallacy. Здесь серию успехов воспринимают как признак того, что успех продолжится: игрок забил несколько раз подряд — значит, забьёт и следующий. Но если события независимы, прошлое не влияет на будущее ни в одну сторону. В спорте эффект «горячей руки» иногда объясняют психологией, но это уже не случайный процесс, а влияние состояния человека на результат.

*️⃣Почему эта fallacy так устойчива Monte Carlo fallacy имитирует разумное рассуждение и эмоционально убедительна. У нас есть внутреннее чувство «справедливости» случайности, а мышление эволюционно настроено на поиск закономерностей. Чистый шум мы переносим плохо, поэтому мозг достраивает структуру даже там, где её принципиально нет.

✏️ Именно поэтому люди продолжают ставить против чёрного, даже когда оно выпадает в двадцать шестой раз подряд. А в карточках — бонус! Вы же спрашивали, что делать с ошибками мышления и как не попадаться в ловушку.

⏩️⏩️ В прошлый раз мы говорили о нескольких классических fallacy, а сегодня разберём ещё несколько — чуть более изощрённых и особенно запоминающихся ⏩️⏩️

❄️ ❄️🔸Sunk cost (ловушка невозвратных затрат) ❄️ Исследования Хэла Аркеса показывают: в ситуации невозвратных затрат люди чаще выбирают дорогой и невыгодный вариант, чем выгодный и дешёвый. Прошлые вложения влияют на решения сильнее, чем рациональная оценка будущей пользы. Например, вам советуют сменить профессию, но вы отказываетесь, потому что уже потратили на неё годы, деньги и силы. Хотя рационально это не аргумент, именно прошлые вложения часто мешают принять выгодное решение.

❄️ ❄️🔸No true Scotsman («ни один истинный шотландец») ❄️ Термин был выдвинут философом Энтони Флю в книге 1975 года «Размышление о размышлении: Искренне ли я хочу быть правым?». В чём суть? Человек читает в газете о преступлении и говорит: «Ни один шотландец на такое не способен». Когда позже в той же газете появляется история о скандале с конкретным шотландцем из Абердина, он не признаёт ошибку, а заявляет: «Ну значит, он не настоящий шотландец». Факты меняются, а утверждение сохраняется за счёт подмены критериев. В математическом контексте выглядело бы так: — Ни один математик не допустит такой ошибки. — Но вот профессор Иванов допустил. — Значит, он не настоящий математик.

❄️ ❄️🔸Slippery slope (скользкий склон) ❄️ Рассматривает утверждения в виде цепочек причинно-следственных связей, которые кажутся аргументированными и убедительными, но на деле — бездоказательными. Если ИИ будет писать тексты, то люди перестанут думать. Потом перестанут читать, и культура исчезнет. Каждый шаг выглядит правдоподобным, но неизбежность переходов не доказана: возможность не равна неизбежности.

❄️ ❄️🔸Texas sharpshooter (ошибка меткого стрелка) ❄️ Название происходит из истории про техасца, который сначала стреляет по амбару, а потом, в месте с наибольшим числом пробоин, рисует мишень и объявляет себя метким стрелком. Подобные вещи часто происходят в аналитике данных — то, что называют «подгонкой под результат» (data dredging): сначала анализируются данные, затем в них выбирается наиболее удачный паттерн, который объявляется закономерностью. «Я нашёл закономерность в этих данных. Посмотрите, эти пять точек почти идеально ложатся на кривую!» Выбор паттерна после анализа данных, а не до него — классика… но что не сделаешь, когда начальству нужен результат?

❄️ ❄️🔸Red herring (отвлекающий манёвр или уловка копчёной селёдки) ❄️ Распространённая ошибка в спорах и дискуссиях. Вместо ответа по существу вводится посторонняя тема, чтобы увести разговор в сторону. — Ваше доказательство теоремы содержит ошибку в третьем шаге. — Но посмотрите, какие красивые приложения у этого результата! И вообще, эта область очень важна для физики. Замечание о корректности доказательства остаётся без ответа. Внимание переключается на что-то другое — пусть важное, но логически не связанное с исходным вопросом. Корректность доказательства никак не зависит от полезности результата. Название происходит от старой практики сбивать охотничьих собак со следа запахом копчёной селёдки 🐟 (red herring).

❄️ ❄️🔸Motte-and-bailey (мотт и бейли) ❄️ Относительно современный пример, придуманный философом Николасом Шейси в 2025 году. Название пошло из Средневековья: 🔸motte — укреплённая башня на холме; 🔸bailey — открытый двор вокруг. Суть: человек выдвигает спорное, смелое утверждение (bailey), но когда его критикуют, отступает к безопасному, очевидному утверждению (motte), а потом снова возвращается к исходному. Bailey (смелое): «Интуиция важнее формальных доказательств в математике». Критика: «Но без доказательств это не математика, а гадание». Motte (защищённое): «Я просто говорю, что интуиция играет роль в процессе открытия, это же очевидно!» [После критики снова]: «Вот видите, интуиция действительно важнее доказательств». Так создаётся иллюзия победы — слабую позицию прикрывают сильной и ведут себя так, будто защитили первую.

Продолжение следует 👀

Это труднопереводимое слово fallacy Сегодня и в ближайшие дни будем рассказывать вам о fallacy. Возможно, математики о нём и не слышали, но могут часто замечать его у себя. Fallacy можно перевести как «заблуждение», но по смыслу это было бы примерно то же самое, если бы слово mathematics переводилось просто как «работа с числами». 🔄Это рассуждение, которое выглядит правильным, ощущается убедительным, часто использует знакомые логические формы, но при этом ведёт к неверному выводу. Это ошибка, замаскированная под аргументацию, ложная по тем или иным обстоятельствам. Fallacy оказывается на пересечении логики, риторики и психологии🔄 Оно не обязательно совершается намеренно — чаще рефлекторно. Классические fallacies:

▶️Circular reasoning (круговое рассуждение или «порочный круг») Вывод используется как предпосылка. Например: Этот метод работает, потому что он даёт правильные результаты. Откуда мы знаем, что результаты правильные? Потому что их дал этот метод. Иначе говоря, это логическая ошибка, при которой рассуждение начинается с того, чем планируется закончить. Логически здесь нарушается направление обоснования. В математике такое рассуждение мгновенно объявляется некорректным, но в повседневной речи круги маскируются под «очевидность». Хотя в данном случае даже математика не без греха: именно к этому типу относятся попытки доказательства пятого постулата Эвклида.

▶️Post hoc ergo propter hoc Классическая путаница корреляции и причинности. Частный случай более широкой категории false cause. С тех пор как число пиратов в мире сократилось, глобальное потепление усилилось. Это классический пример корреляции без причинности: обе тенденции могут иметь место, но никак не быть связаны. Логика требует структуры «A ⇒ B». Fallacy возникает, когда временное следование подменяет причинную связь. В статистике это одна из самых устойчивых ловушек.

▶️Equivocation (эквивокация или подмена смысла слова) Если упрощать, эквивокацией называют использование одного и того же слова с разным значением в одном рассуждении. На самом деле спектр значений этого понятия шире, но самый распространённый из них — тот, что в классической логике ещё называется quaternio terminorum («учетверение терминов»). Математика описывает мир. Мир — это отсутствие войны. Значит, математика описывает отсутствие войны. «Мир» как вселенная/реальность vs «мир» как противоположность войне. Формально структура аргумента корректна, но семантика «плывёт». В логике это пример того, как язык ломает строгие формы рассуждений.

▶️False dilemma (ложная дилемма / дихотомия) Предлагается только два варианта, хотя пространство решений богаче. Ты критикуешь капитализм, следовательно, ты коммунист. Логически это ошибка редукции множества возможностей до бинарного выбора. В математике это выглядело бы как утверждение, что функция может принимать только 0 или 1 просто потому, что так удобнее спорить.

▶️Appeal to authority (апелляция к авторитету) Аргумент строится не от структуры доказательства, а от источника. Это верно, потому что так сказал Гаусс. В математике авторитет не играет роли для истинности утверждения. Теорема верна не потому, что её доказал Гаусс, а потому что доказательство корректно. И даже Гаусс мог ошибаться — хотя, кажется, крайне редко, как в случае с распределением простых чисел, хотя это уже отдельная история. Ссылка на эксперта может быть разумной эвристикой в условиях неопределённости — мы не можем проверить всё сами. Fallacy возникает, когда авторитет подменяет логическое обоснование, а не дополняет его.

И всё же: при чём здесь математика? Процесс математического мышления, особенно на этапе поиска решения, полон тех же ловушек. История науки знает немало «интуитивно очевидных» утверждений, которые оказывались ложными, и «доказательств», в которых ошибка пряталась годами. *️⃣Ошибка возникает не в форме, а в месте её применения или в незаметном нарушении условий. В этом смысле fallacy — это тени логики. Они появляются там, где форма сохранена, а условия применимости забыты.

Хороший математик = ленивый математик Это не мы сказали, а препод из Оксфорда своим первокурсникам. Мы лишь поддерживаем и распространяем прекрасную мысль в русском переводе! 🤝 — согласиться и съесть ещё оливье #меммат

Ответ на вчерашнюю задачу: 62 Получить этот ответ можно, конечно, и честным перебором, аккуратно пройдясь по всем кубикам и «руками» пересчитав покрашенные грани, но это — путь сильных и смелых. Математики же, по своей натуре, люди ленивые, из-за этого и придумывают всякие умные ухищрения — как бы что сделать попроще… У кубика 6 граней, и если он состыкован с двумя другими кубиками, то свободных граней остаётся 4, если с одним — то 5, а если с тремя — то 3, и т. д. Тем самым нам достаточно посчитать только те кубики, которые состыкованы не с двумя другими. Таких кубиков 6. А значит, ответ: 68 − 6 = 62. ❤️ Все, кто решил, — молодцы! И в качестве награды ловите бонусный факт: 2026 — счастливое число. И это не просто фигура речи. В математике счастливыми называют числа, у которых цикличная замена числа на сумму квадратов его цифр сходится к 1. Числа, для которых процесс не заканчивается единицей, считаются несчастливыми числами и ещё называются грустными числами.

Проверим число 2026 непосредственно: 2² + 0² + 2² + 6² = 4 + 0 + 4 + 36 = 44 4² + 4² = 16 + 16 = 32 3² + 2² = 9 + 4 = 13 1² + 3² = 1 + 9 = 10 1² + 0² = 1

Убедились? 2026 — счастливое! Всего, кстати, в нашем веке счастливых годов не так много: были 2003, 2008, 2019 и будут ещё 2030, 2036, 2039, 2062, 2063, 2080, 2091, 2093. Так что желаем, чтобы каждый ваш день в этом счастливом 2026 году циклично и уверенно вёл вас к успехам. 🎉 — запустить последнюю хлопушку и начать уже работать... #задача

Друзья, начинаем потихоньку входить в режим ❤️ Первая задача 2026 года будет максимально дружелюбной. 🔸Условие: Саша составил число 2026 из 68 кубиков, как на рисунке выше. После этого он покрасил всю поверхность конструкции краской. 🔸Вопрос: у скольких кубиков оказалось покрашено ровно четыре грани? Не торопимся. Рассуждения и вопросы принимаются в комментариях… Ответ и разбор пришлём завтра. #задача

Друзья, мы подготовили для вас новогодний стол! Собрали на нём всё самое вкусное и заботливо подписали блюда — надеемся, каждый найдёт здесь что-то своё. Математика ведь такая же: яркая, многогранная, иногда интригующая — и от этого особенно любимая. В этом году нам безумно нравилось разбираться в ней вместе с вами. А вас, кстати говоря, стало намного больше. Спасибо, что подписываетесь, читаете, решаете, шутите и остаётесь с нами. Желаем вам в новом году лёгких доказательств и элегантных решений. С наступающим! Ваша редакция ❤️ #меммат

Хороший математик = ленивый математик Это не мы сказали, а препод из Оксфорда своим первокурсникам. Мы лишь поддерживаем и распространяем прекрасную мысль в русском переводе! 🤝 — согласиться и съесть ещё оливье #меммат