انجمن فیزیک دانشگاه هرات

بهترین کانال کتابکده👇👇 دوستان عضوش شوید هر نوع کتاب که خواسته باشید داخلش است پس تا پاکش نکردم عجله کنن 😔😔 https://t.me/daraddal

🔻هندسه ریمانی • شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعه فضای خمیده می‌پردازد. این فضاها، که به عنوان منیفولد ریمانی شناخته می‌شوند، با تعمیم مفاهیم آشنا از هندسه اقلیدسی، مانند طول، زاویه و انحنا، به این فضاهای پیچیده‌تر، به ما امکان می‌دهند تا هندسه آن‌ها را درک کنیم. در هندسه اقلیدسی، ما مفاهیم اولیه‌ای مانند خطوط مستقیم، زاویه‌های راست و دایره‌ها را داریم. انحنای یک منحنی را می‌توان با استفاده از شعاع دایره‌ای که در آن قرار می‌گیرد، اندازه‌گیری کرد. اما در فضاهای خمیده، این مفاهیم ساده دیگر کاربرد ندارند. خطوط مستقیم ممکن است وجود نداشته باشند، زاویه‌های راست ممکن است همیشه قابل تعریف نباشند و انحنا ممکن است در نقاط مختلف فضا متفاوت باشد. هندسه ریمانی راهی برای غلبه بر این چالش‌ها با معرفی ابزاری قدرتمند به نام تنسور متریک ارائه می‌دهد. تنسور متریک به ما امکان می‌دهد تا مفاهیم طول، زاویه و انحنا را به گونه‌ای تعریف کنیم که برای هر منیفولد ریمانی معتبر باشد. با استفاده از تنسورمتریک، می‌توانیم بسیاری از نتایج آشنا از هندسه اقلیدسی را به منیفولدهای ریمانی تعمیم دهیم. ♾ @physics_786

🔻منیفلد ریمانی • منیفلد ریمانی نوع خاصی از فضای منیفلد است که در آن یک متر ریمانی تعریف شده است. فضای منیفلد، فضایی هندسی است که به طور موضعی شبیه به فضای اقلیدسی ℝⁿ است. به عبارت دیگر، در هر نقطه از منیفلد می توان یک همسایگی پیدا کرد که هموتوپی به فضای اقلیدسی ℝⁿ باشد. متر ریمانی یک تابع روی منیفلد است که به دو بردار مماس در هر نقطه از منیفلد، یک ضرب داخلی (یا دایره داخلی) را نسبت می دهد. این ضرب داخلی همانند ضرب داخلی در فضای اقلیدسی ℝⁿ، خواصی مانند تقارن، مثبت-مشخص بودن و خطی بودن را دارا است. با وجود این که منیفلد ریمانی مفهوم انتزاعی ای است، کاربردهای فراوانی در فیزیک و هندسه دارد. به عنوان مثال، فضای زمان در نسبیت عام یک منیفلد ریمانی چهاربعدی است. همچنین، سطح زمین را می توان به عنوان یک منیفلد ریمانی دو بعدی در نظر گرفت، که در آن متر ریمانی متر متریک زمین نامیده می شود. ♾ @physics_786

🔻سهمی • سهمی یک منحنی دوبعدی است که با معادله زیر تعریف می‌شود: y = ax^2 + bx + c در این معادله، a، b و c اعداد حقیقی هستند و a ≠ 0 ا• a تعیین می‌کند که سهمی رو به بالا (a > 0) باشد یا رو به پایین (a < 0) ا• b محل برخورد سهمی با محور y را تعیین می‌کند. ا• c محل رأس سهمی را تعیین می‌کند. تعریف تابعی سهمی: از دیدگاه تابعی، سهمی را می‌توان به عنوان یک تابع f(x) در نظر گرفت که با معادله بالا تعریف می‌شود. دامنه: دامنه f(x) همه اعداد حقیقی است. برد: برد f(x) بسته به علامت a متفاوت است: اگر a > 0، برد f(x) شامل تمام اعداد y بزرگتر یا مساوی با c است. اگر a < 0، برد f(x) شامل تمام اعداد y کوچکتر یا مساوی با c است. مونوتونی: f(x) در هر بازه‌ای که a آن بازه مثبت باشد، صعودی و در هر بازه‌ای که a آن بازه منفی باشد، نزولی است. حداکثر یا حداقل: f(x) در رأس خود، که نقطه (h, k) با h = -b/2a و k = f(h) است، حداکثر یا حداقل مطلق دارد. محور تقارن: سهمی حول خط عمودی x = h که h = -b/2a است، متقارن است. تقاطع با محورها: سهمی محور x را در نقاط (0, c) و (-b/a, 0) قطع می‌کند. ♾ @physics_786

🔻تعریف هندسی سهمی: • Parabola سهمی را می‌توان به عنوان مجموعهٔ تمام نقاطی تعریف کرد که فاصلهٔ هر یک از آنها تا یک نقطهٔ مشخص (کانون) با فاصلهٔ آن نقطه تا یک خط مستقیم (محور مماس) برابر باشد. کانون: نقطهٔ مشخصی است که در سهمی نقش محوری دارد. محور مماس: خط مستقیمی است که سهمی هرگز با آن برخورد نمی‌کند، اما به آن تقرباً مماس می‌شود. به عبارت دیگر، اگر نقطه‌ای به نام P روی سهمی داشته باشیم، فاصلهٔ آن تا کانون (F) را f و فاصلهٔ آن تا محور مماس (D) را d بنامیم، آنگاه خواهیم داشت: f = d @physics_786

🔻تعریف ضرب مستقیم خارجی گروه ها در جبر: • External Direct Product فرض کنید G1​،G2​،...،Gn​ گروه هایی با عمل دوتایی * باشند. ضرب مستقیم خارجی این گروه ها، گروهی به شکل G1​×G2​×...×Gn​ را تشکیل می دهد که به صورت زیر تعریف می شود: عناصر: عناصر این گروه، n-تایی های مرتب (g1​،g2​،...،gn​) هستند، که در آن gi​∈Gi​ برای هر i=1،2،...،n برقرار است. عمل دوتایی: عمل دوتایی در این گروه با ضرب دوتایی در هر گروه به صورت مجزا تعریف می شود. به این معنی که برای دو n-تایی مرتب (g1​،g2​،...،gn​) و (h1​،h2​،...،hn​) عمل دوتایی به صورت (g1​∗h1​،g2​∗h2​،...،gn​∗hn​) تعریف می شود، که در آن gi​∗hi​ عمل دوتایی در گروه Gi​ برای هر i=1،2،...،n است. #جبر_مجرد ♾ @physics_786

🔻مکانیک لاگرانژی - لانگرانژین • Lagrangian • مکانیکِ لاگرانژی، روشی کاملا متفاوت با مکانیکِ نیوتونی است که در آن فقط با توابع انرژی سیستم کار می شود. این نوع بررسی سیستم های مکانیکی در مواردی که نیروهای موثر بر سیستم پیچیده و غیر قابل تحلیل می باشند بسیار موثرتر و ساده تر می باشد. در این روش تابعی به اسم لاگرانژین سیستم تعریف می کنیم که برابرِ با تفاضلِ تابعِ انرژی جنبشی و تابع انرژی پتانسیلِ سیستم می باشد. اثبات می شود مسیر حرکت ذره در یک بازه زمانی، همواره آن مسیری ست که به ازای آن انتگرال لاگرانژین در آن بازه ی زمانی کمترین مقدار شود. از مینیمم کردن این انتگرال (به روش آنالیز وردشی) روابطی بدست می آید که به معادلات لاگرانژ معروف است. با حل این معادلات دیفرانسیل می توان معادله ی حرکت سیستم را بدست آورد. این روش قابلِ تعمیم به حالتهای دارای قید (مثلا حرکت روی یک سطح مشخص) و حالتهای دارای نیروهای اصطکاکی (یا کلا غیر پایستار می باشد). 🔹کانال تخصصی ریاضیات ♾ @physics_786

🔻لگاریتم • Logarithm • ریشه‌ لگاریتم را می‌توان در دوران باستان به تمدن‌های هند و بابل ردیابی کرد، جایی که از روش‌هایی برای محاسبه مقادیر مشابه لگاریتم‌های امروزی استفاده می‌شد. با این حال، مفهوم مدرن لگاریتم در اوایل قرن هفدهم با کارهای دو ریاضیدان به طور مستقل توسعه یافت: جان نپر : نپر، یک اسکاتلندی، در سال ۱۶۱۴ اولین اثر منتشر شده را در مورد لگاریتم‌ها به نام "Mirifici Logarithmorum Canonis" منتشر کرد. لگاریتم‌های نپیر که به عنوان "لگاریتم‌های نپری" شناخته می‌شوند، بر اساس نسبت‌ها بودند. یوست بورگی: بورگی سوئیسی، تقریباً در همان زمان نپر روی لگاریتم‌ها کار می‌کرد و در سال ۱۶۱۵ اثر خود را با عنوان "Logarithmus Artificialis" منتشر کرد. لگاریتم‌های بورگی که به عنوان "لگاریتم‌های معمولی" نیز شناخته می‌شوند، بر اساس توان‌ها بودند. کارهای نپر و بورگی تأثیر عمیقی بر ریاضیات و علم داشت و محاسبات را به طور قابل توجهی ساده‌تر کرد در قرن هجدهم، لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی، مفهوم لگاریتم طبیعی را معرفی کرد، که بر اساس عدد ثابت e (تقریباً 2.71828) است. ♾ @physics_786

🔻مفهوم پوش در معادلات دیفرانسیل • envelope • در معادلات دیفرانسیل، مفهوم پوش به طور کلی به قابلیت پوشش هر نقطه در صفحه xy توسط حداقل یک منحنی از یک دسته منحنی‌های یک پارامتری اشاره دارد که معادله دیفرانسیل مورد نظر را ارضا می‌کنند. به عبارت دیگر، یک دسته از منحنی‌های یک پارامتری گفته می‌شود پوش دارند اگر برای هر نقطه دلخواه در صفحه xy، یک منحنی منحصر به فرد از آن دسته وجود داشته باشد که از آن نقطه عبور کند. پوشش یک منطقه توسط دسته منحنی‌های راه‌حل، نشان می‌دهد که راه‌حل‌ها در آن منطقه پیوسته هستند و هیچ "گپ" یا "ناحیه‌ای بدون راه‌حل" وجود ندارد. همچنین، پوش نشان‌دهنده تراکم منحنی‌های راه‌حل در آن منطقه است. اگر پوش کامل باشد، به این معنی است که هر نقطه در منطقه توسط یک منحنی منحصر به فرد از دسته پوشش داده می‌شود. ♾ @physics_786

🔻برای تشخیص خطی یا غیرخطی بودن یک معادله دیفرانسیل، می توان به موارد زیر توجه کرد: ۱. بررسی ضرایب متغیرها:    - اگر ضرایب متغیرها ثابت باشند، معادله خطی است.    - اگر ضرایب متغیرها تابعی از متغیرها باشند، معادله غیرخطی است. ۲. بررسی درجه مشتقات:    - اگر معادله فقط شامل مشتقات خطی باشد (مانند مشتق اول یا مشتق دوم)، معادله خطی است.    - اگر معادله شامل مشتقات غیرخطی باشد (مانند مشتق مرتبه بالاتر از دو)، معادله غیرخطی است. ۳. بررسی ترکیب متغیرها:    - اگر متغیرها به صورت خطی ترکیب شده باشند، معادله خطی است.    - اگر متغیرها به صورت غیرخطی ترکیب شده باشند (مانند ضرب یا توان)، معادله غیرخطی است. ۴. بررسی غیرخطی بودن شرایط مرزی یا اولیه:    - اگر شرایط مرزی یا اولیه غیرخطی باشند، معادله غیرخطی است. در مجموع، اگر معادله دارای ضرایب ثابت، مشتقات خطی و ترکیب خطی متغیرها باشد، آن معادله خطی است. در غیر این صورت، معادله غیرخطی است. ♾ @physics_786