Математические байки

Во-вторых: можно начать увеличивать картинку множества Мандельброта вокруг той точки c_*, куда накапливаются бифуркации удвоения периода.

Так вот — константа δ тут та же самая, хотя семейство совершенно другое (одно полиномиальное, другое трансцендентное). И это явление называется универсальностью Фейгенбаума-Куле-Трессера.

Опять же, длины отрезков параметров, при которых система выходит на орбиту периода 2^n, "учащаются" в геометрической прогрессии:

Так вот, во-первых, можно взять другое семейство унимодальных ("похожих на шапку") отображений. Например, можно взять отображения отрезка [0,π], x -> μ sin x. Опять же, при μ<1 популяция вымирает, при μ=π (когда образ это весь отрезок) система уже точно в "полностью хаотическом" режиме, и увеличивая μ, мы сначала наткнёмся на каскад бифуркаций удвоения.

И они учащаются как геометрическая прогрессия: есть предел отношений длин отрезков параметров, на которых предельный режим это орбита периода 2^k:

При λ=3 происходит бифуркация удвоения периода, потом ещё одна, потом ещё одна...

Так, при λ<=1 популяция просто вымирает; при λ от 1 до 3 выходит на положение равновесия:

На этой — известной — диаграмме по оси абсцисс отложен параметр λ, а по оси ординат — "предельный режим", на который система при данном λ выходит.

В 1976 году в Nature появилась статья Р. Мэя (https://www.nature.com/articles/261459a0 ), в которой он его популяризизировал — в том числе, обсуждая каскад бифуркаций удвоения периода — и вскоре "началось". Кстати, тоже чисто историческое. В этой статье два рисунка (рис. 2 и 3) — "до" и "после" бифуркации удвоения периода — поменяли местами (но оставив на месте подписи). Представляю, как автору должно было быть обидно...

И давайте я напомню кусочек истории про логистическое отображение. Это отображение x-> λx(1-x). Его очень естественно использовать для популяционной динамики: если в этом году популяция равна x — то в следующем будет λx из-за размножения, "подправленное" на -λx^2 из-за того, что когда кроликов/белок/рыб/кузнечиков много, они мешают друг другу, съедая общую кормовую базу. Коэффициент перед x^2 можно сделать любым — это вопрос масштаба/единиц измерения; тут масштаб выбран таким, чтобы 1 было тем максимумом, до которого на следующий год вообще хоть кто-нибудь доживёт.

Продолжим про ренормализацию и универсальность?

... и вот уже в задаче об одновременном делении двух тел двумя плоскостями возникает класс Эйлера ...

А теорема о бутерброде применяется для аналогичного вопроса в размерности 3 —