Математические байки

Давайте доработаем пример — возьмём две его копии, и соединим "туннелем" между областями A.

Но вернёмся к исходному вопросу. Пока мы увидели пример, показывающий, что если поставить свечку в область B, то не будет освещена область A, а если в A, то будет темно в области B. То есть куда угодно, и даже почти куда угодно, источник света ставить нельзя. Но ведь если свечку поставить совсем наверху, то оттуда-то мы сможем всё осветить, оттуда и A, и B видно!

Кстати, если запускать бильярд просто в эллипсе — то луч, продолжая отражаться, всегда будет касаться либо одного и того же софокусного эллипса (пересекая большую ось за фокусами), либо одной и той же софокусной гиперболы (пересекая ось между фокусами). Вот хорошая картинка (отсюда: https://mat-web.upc.edu/people/amadeu.delshams/articles/pebnonli.pdf ) —

(Справа на фото можно увидеть траекторию луча, стартовавшую из B — ниже оси она всегда приходит в B)

И для этого рассуждения используется только то, что происходит выше оси эллипса — области A и B ниже могут быть какой угодно формы.

Как мы знаем, луч, вышедший из одного из фокусов, попадает в другой. Поэтому луч, вышедший из отрезка между фокусами (то есть из области A), вернётся тоже на отрезок между ними, уйдя обратно в область A: сравните с лучом, отражающимся в той же точке эллипса и приходящем из одного из фокусов. Наоборот, луч, приходящий из области B, уйдёт тоже в область B (с другой стороны). Значит, где бы мы ни поставили свечку в области A, она не осветит ничего в области B.

Верхняя её часть это половина эллипса, а большая ось этого эллипса касается нижней части границы в фокусах — отсекая тем самым отмеченные A и B области.

Оказывается, что нет — и пример был опубликован в 1958 году отцом и сыном Пенроузами. Контрпример ко второму (более слабому вопросу) это вот такая фигура —

Получается, как мне кажется, очень удачный жанр (большая аудитория у нас обычно заполняется полностью). Так вот — Элиза во вторник рассказывала и там, и рассказывала про задачу о зеркальной комнате и теорему о волшебной палочке. Вопрос: пусть у нас есть комната, ограниченная идеальными зеркалами. Можно ли там поставить точечный источник света так, чтобы в результате комната была освещена целиком? Или, может быть, свечку вообще можно ставить почти куда угодно — ведь свет всё отражается и отражается?

Ещё одна байка с прошлого раза — это рассказ Elise Goujard (в тот же день) на "пятиминутке Лебега". В Ренне раз в неделю есть жанр популярных рассказов коллегам и широкой публике — на пять минут. Буквально — с таймером, тикающим обратным отсчётом от 5:00. Рассказывают как присутствующим — так и выкладывают в интернет: https://www.lebesgue.fr/5min или https://www.youtube.com/watch?v=184oPJA-CPw&list=PLZ5ZEffH1cUAkodxGDs0SNif_wScXNTU0

Ну и на этом я хочу на сегодня прекратить дозволенные речи...

Последнее — преобразования перекладывания отрезков это совершенно огромная область (с чем только не связанная). Даже перечислять не буду, а то до завтра не закончу. И индукция Рози (а Рози тот же) как раз оттуда. И похожий на треугольник Серпинского (и даже ему гомеоморфный, но определяемый с помощью проективных отображений) Rauzy gasket, который появлялся в левом верхнем углу на том фото, где описывалось поведение траекторий — оттуда же.

Да, "работа над ошибками" — я поторопился в начале сказать, что для квадратного паркета периодичны все траектории. Это для паркета из правильных треугольников так, а для квадратного, если луч соединяет две противоположные стороны, то он как раз линейно убежит на бесконечность.

Особенно красив второй случай: если с одной из сторон такая траектория втыкается в вершину, то из этой вершины растёт цветок из шести таких траекторий, и посещают все треугольники они уже все вместе.

Теорема о том, что траектория через центр окружности в исключительном бильярде проходит через все плитки:

(перекладывания со сдвигом и переворотом)