Математические байки

А именно — давайте возьмём в качестве точки P точку пересечения каких-нибдь двух из трёх высот, например, AH_A и BH_B.

И теперь у нас есть прекрасная возможность сослаться на теорему о высотах евклидовой геометрии!

А значит, угол прямой до проекции тогда и только тогда, когда после.

Так что если сохранится дуга большого круга на сфере — то сохранится и её проекция на плоскость π, и наоборот.

Но если прямая проходит через точку P, то мы можем взять всю картину — сферу+касательную плоскость π в этой точке — и отразить её относительно той плоскости, что высекает прямую m.

И доказательство у этого очень простое. Дело в том, что быть перпендикулярным прямой m — это всё равно, что сохраняться симметрией относительно этой прямой.

Дело в том, что прямые углы в одной ситуации сохраняются. Лемма. Две дуги большого круга, одна из которых проходит через точку P, перпендикулярны на сфере тогда и только тогда, когда перпендикулярны на плоскости прямые, являющиеся их центральными проекциями.

Но вот с углами будет твориться тихий ужас. И когда я в первый раз услышал это начало рассуждения, я не мог поверить, что тут что-то можно так сделать. Ан нет, можно.

Тогда дуги большого круга, которые высекаются на сфере проходящими через её центр O плоскостями, перейдут в прямые, высекаемые этими же плоскостями на π.

Давайте возьмём на сфере какую-нибудь точку P, проведём в ней касательную плоскость π и на эту плоскость всю картинку центрально спроецируем.

Это — "Арнольдовское" рассуждение. А вот второе, совершенно другое.

Всё, конец доказательства: три полюса лежат на одной дуге большого круга — три высоты пересекаются в одной точке.

Итак, нам нужно проверить, что три вектора -- "двойные" произведения [OCx[OAxOB]], [OAx[OBxOC]] и [OBx[OCxOA]] -- лежат в одной плоскости. Но тождество Якоби — собственно, чуть ли не самое важное тождество для векторных произведений, а потом и для алгебр Ли — утверждает, что их сумма равна нулю!

(Возможно, вам уже попадалось аналогичное утверждение из полюс-полярной двойственности: три прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда их полюса лежат на одной прямой; это, конечно, о том же.)

Теперь, три "экватора" пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда у содержащих их плоскостей в R^3 есть нетривиальное пересечение — и это равносильно тому, что прямые-ортогональные дополнения к этим плоскостям лежат в одной плоскости.

Опять рассматривая уже соответствующий ей полюса, видим, что они лежат на прямой, задаваемой векторным произведением [OCxOH_C]. А раз OH_C пропорционально [OAxOB], то эти полюса высекаются на сфере прямой (в пространстве), задающейся направлением-"двойным" произведением: [OCx[OAxOB]].

То есть высота CH_C — это та же прямая (на сфере), что и CP_C

А чем ещё хороши полюса? Тем, что перпендикуляры к экватору — это меридианы. И все меридианы проходят через полюса! Точнее, дуга большого круга перпендикулярна экватору тогда и только тогда, когда она проходит через полюс.

Как устроен полюс P_C, отвечающий "экватору"-дуге AB? Это направление, перпендикулярное плоскости OAB — то есть задаваемое векторным произведением [OAxOB].

А если есть экватор, то есть и полюса — и между парами противоположных точек на сфере ("полюсами") и экваторами, очевидно, есть взаимно-однозначное соответствие (а именно — прямая, проходящая через "полюса", это ортогональное дополнение к плоскости, высекающей экватор).