Математические байки

То направление, в котором растёт эта змейка — собственное направление матрицы замен (1 1 1) (1 0 0) (0 1 0), применение которой пересчитывает буквы A, B и C в исходном слове в количество букв в его образе, с собственным значением, большим 1.

Вот это и есть тот самый фрактал Рози.

И если спроецировать её на перпендикулярную её асимптотическому направлению плоскость, то точки заметут фигуру, которая разделится на проекции красных (А), синих (B) и зелёных (C) точек:

Если посчитать, сколько по отдельности букв A, B и C из первых k букв слова Трибоначчи — получится "змейка", растущая уже в трёхмерном пространстве:

А именно — нужно взять другие правила замен, уже из трёх букв: A -> AB B -> AC C -> A И точно так же много-много раз их применять к исходному слову из одной буквы А. Все получающиеся слова будут префиксами одного и того же слова Трибоначчи ABACABA...

Теперь уже можно сказать (хотя пока конструкция "повиснет в воздухе"), откуда берётся фрактал Рози, который мы заявили, как цель.

Окажется, что проекции красных точек заметают один отрезок, проекции синих другой, и эти отрезки не пересекаются.

Очень естественно, что красные точки в целом ниже/правее синих. Но что будет, если мы их спроецируем на перпендикулярный отрезок?

Если последняя посчитанная буква А — поставим красную точку, если Б — синюю. Вот, что получится:

Но интереснее другое: давайте точки ещё и раскрасим.

А прямые, которые её ограничивают — проходят через точки (-1,0) и (0,-1); и вся эта змейка, какой бы длины она не была, не выходит за рамки этой весьма неширокой полосы.

И всё равно; давайте посмотрим, насколько хорошо точки ложатся на какую-то прямую — попробовав заключить их в полосу. Оказывается, что это полоса вполне небольшого размера:

Но буквально так мы что-то говорим только про слова w_n — а они становятся всё длиннее и длиннее, и формально мы пока ничего не сказали про подслова длиной между |w_n| и |w_{n+1}|.

Сразу кажется, что она очень хорошо "выдерживает направление". Кстати, коэффициент наклона того направления, в котором она идёт (если предположить, что он есть) — золотое сечение, точнее, обратная к нему величина 1/Ф (букв А больше, а традиционно Ф^2=Ф+1). Потому что отношение последовательных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению, а мы знаем, что в подслове w_n количество букв А и Б это последовательные числа Фибоначчи.