Математические байки

И, собственно, их статья так и называется — "О квадратичных формах":

И закончу свой сегодняшний рассказ тем, как решётка E_8 была построена в исходных работах Коркина и Золотарёва (а это ещё 1873 год!). Оказывается, они строили не решётку внутри пространства, а "пространство вокруг решётки". А именно — брали Z^8 и на нём задавали другое "скалярное произведение" (квадратичную форму). Тогда достаточно, чтобы оно было положительно определённым, чтобы квадраты элементов Z^8 были бы чётными, и чтобы определитель задающей его матрицы был бы равен 1.

Да, возвращаясь к системам корней, раз мы уже посчитали кратчайшие вектора — я процитирую одну страницу из той же брошюры Жени Смирнова про группы отражений и правильные многогранники, что я уже упоминал:

Так вот, это — одно и то же число 240, и более того, эти ряды (ряд, пришедший из комплексного анализа, и ряд-производящая функция) совпадают!

А ещё можно посмотреть вот на такую функцию — ряд Эйзенштейна E_4 . Я не буду давать определение прямо сейчас, а ограничусь цитатой отсюда (https://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_series#As_theta_functions ):

Для решётки E_8 получаем 1 + 240 q + ... .

А ещё можно посмотреть на производящую функцию для (половин) квадратов длин векторов решётки:

Да — поскольку эти 240 векторов это кратчайшие вектора решётки, то контактное число в размерности 8 не меньше 240. Так вот, оно равно 240 — так что решётка E_8 в этом смысле оптимальна.

Каждый из них порождает 16*14= 224 прообраза длины \srqt{2} (потому что все возможные выборы знака). Да ещё (как и в случае с шахматной решёткой, их тоже надо не забыть!) 2*8=16 векторов вида (±\sqrt{2},0,...,0). Итого: 224+16=240.

Можно в конструкции через код Хэмминга: в расширенном коде Хэмминга один вектор нулевой, один состоит из восьми единиц, а остальные 16-2=14 веса 4.

Тогда будет: (8*7/2) * 4 = 112 векторов вида (±1,±1, 0,...,0), где ±1 стоят на произвольных двух местах; и ещё 128 векторов вида (±1/2,±1/2,....,±1/2), где число знаков "-" чётно. Итого 112+128=240.

Можно посчитать для конструкции через чётную сумму и сдвиг на (1/2,...,1/2).

Так вот, кратчайшие вектора решётки E_8 образуют систему корней E_8. И хорошее упражнение — посчитать, сколько их.

И если =2, то в правой части стоит просто u-*v. Поскольку чётная решётка автоматически целая, то это тоже вектор из той же решётки — поэтому такое отражение сохраняет всю решётку, в частности, набор её кратчайших векторов.

Кстати — если задана чётная решётка, то набор векторов длины \sqrt{2} в ней образует систему корней: конечное множество векторов, отражения относительно перпендикулярных им гиперплоскостей сохраняют это множество. (Это не полное определение — см. https://en.wikipedia.org/wiki/Root_system#Definition — но остальное в нашем случае будет выполнено совсем автоматически) И это следует из формулы для отражения: отражение относительно перпендикулярной к v гиперплоскости это

Что, конечно, совершенно не очевидно.