Математические байки

Да, коллеги пожаловались, что непонятно, почему вторая, третья и так далее пары обходов вокруг m и M будут добавлять ту же константу — так что я отредактировал это сообщение. По смыслу — если в результате продолжения функции V(c) по какому-то пути мы пришли к V(c)+const, то дальше по тому же пути можно аналитически продолжать слагаемые по отдельности. Продолжение V(c) даёт V(c)+const, а продолжение константы это она и есть. Так что получается V(c)+2*const. И так далее. (Кстати — так ведёт себя комплексный логарифм ln z: набирает 2πi за каждый обход вокруг нуля в положительном направлении.) Надеюсь, теперь стало понятнее.

https://twitter.com/fermatslibrary/status/1373631751898157061 картинка по выходным: неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Вот. Ну и мне кажется, что это безумно круто, что вся эта наука возникает не просто так, повисая в воздухе — а естественно появляется, шаг за шагом, при атаке на вполне разумные геометрические (восходящие к Ньютону и к Арнольду) вопросы. И что всё это очень геометрично и за этим можно (и очень приятно) следить. И что в тексте получается дойти и рассказать доказательство полного результата для чётномерного случая, — того самого, который Васильев доказал после ЛШСМ-2013: V. A. Vassiliev, Newton's lemma XXVIII on integrable ovals in higher dimensions and reflection groups, Bulletin of the London Mathematical Society. Я очень люблю эту книгу. 🙂

Если мы попросим, чтобы f(r) = 0 при больших r=|z| (например, при r>2 \sqrt{ε}) и чтобы 1-f(r)=0 при больших ε/r=|w| (например, при r<\sqrt{ε}/2) — как раз вот такое скручивание и получится.

Потому что если c бежит по окружности радиуса ε, c(t) = ε e^{it}, то мы хотим как-то двигать z и w так, чтобы далеко от критической точки (то есть если либо |z|, либо |w| большие) за полный оборот вообще ничего не произошло. Ну так давайте двигать окружности вида |z|=r с постоянной скоростью, деля множитель e^{it} в каком-то отношении между z и w: z(t)=z(0) e^{i f(r) t} w(t)=w(0) e^{i (1-f(r)) t}

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

Ответ такой. Для простоты будем считать, что критическое значение это c=0. С комплексной точки зрения все невырожденные критические точки одинаковые (с точностью до локальной замены координат) — так выберем локальные координаты (z',w') так, чтобы в них. P(z',w')=z'w'. Тогда при малых c рядом с критическим значением поверхность уровня устроена как цилиндр. Так вот — этот цилиндр скручивается:

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

Ну и последняя пара картинок — иллюстрации к теореме Пикара-Лефшеца, здесь — в простейшем случае. Пусть мы смотрим на множество P(z,w)=c, где z и w — комплексные; соответственно, это с вещественной точки зрения двумерная поверхность. Если мы двигаем c, не заходя в критические значения P — то поверхность двигается "по чуть-чуть". А что будет, если мы захотим "обойти" вокруг критического значения? Например, если на поверхности нарисована замкнутая кривая, и она заходит в окрестность соответствующей критической точки — логично ожидать, что она как-то перестроится. А как?

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

А это объяснение того, почему в невыпуклом случае, начав движение из лунки рядом с минимумом на одной стороне, всегда получится прийти в лунку рядом с максимумом. А именно — самое важное в отрезаемой площади это отрезок, на который она опирается. Ну а если нарисовать множество возможных пар "первая точка, вторая точка", то это будет много замкнутых кривых + ровно одна кривая с двумя концами. Один из которых отвечает лунке над минимумом m, а другой — лунке над максимумом M. Просто потому, что нигде больше такая кривая не обрывается —

И дальше уже без проблем можно дойти до m=p_1, после чего, обойдя, пуститься в обратный путь...

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

(Image credit: В. А. Васильев, "Ветвящиеся объёмы и группы отражений", М.: МЦНМО, 2020.)

Для невыпуклых областей на плоскости (опять-таки, с алгебраической бесконечно гладкой границей) проходит аналогичное рассуждение — только крутиться приходится больше.

То есть, обойдя сначала вокруг M, потом вокруг m, мы к исходному отсекаемому объёму V(c) прибавили константу: удвоенную полную площадь всего овала (2V_0). Тогда, если сделать такой парный обход ещё раз, то мы добавим ещё столько же, те же 2V_0; например, потому, что продолжение 2V_0 + V(c) это всё равно, что константа 2V_0 плюс продолжение V(c). Сделав парный обход ещё раз — добавим ещё столько же, и продолжать так можно неограниченно. Но это как раз противоречит алгебраичности отсекаемой площади V(c) — если бы она была алгебраической, то любому c можно было бы сопоставить лишь конечное число значений — корней полинома P(c,V)=0, который задаёт "график" V(c). А у нас этих значений счётное число (потому что "парных обходов" можно сделать сколько угодно) — вот и получилось противоречение, которое доказывает теорему Ньютона.

Но можно обходить не только вокруг минимума m, но и вокруг максимума M. При подходе к M на площадь можно смотреть как на константу (площадь всего овала!) минус площадь "белой" луночки. А площадь белой луночки при обходе вокруг M меняет знак. Значит, после обхода будет площадь всего овала плюс площадь луночки у M. Но дальше — уже обойдя M — можно пойти к минимуму m. Где мы посмотрим на результат до обхода как на 2x(площадь всего овала) минус площадь луночки у m. После обхода m — минус меняется на плюс, и мы получили 2x(площадь всего овала)+луночку у m.

Точки B и C поменяются местами — поэтому граница отсекаемой области изменит ориентацию (отрезок "от B к C" поменялся на противоположный), и вся площадь изменит знак.