المنهج العلمي الواقعي | علي آل شُبَّر

[انتقاد دتلفسن الجزء الثاني: الرياضيات العامة عند القدماء والأوائل] تتناول الرياضيات العامة مطلق الكمية بوصفها موضوع النظر، وتتناول النسب الإضافية المختصة بالكمية بوصفها حيثية النظر. وللرياضيات العامة مبادئ أولى بدهية توضع هذه المبادئ – وقد وضعت – من قبل الأوائل في علمي الحساب والهندسة مخصصةً. منها أن: (١) الكميات المساوية لكمية واحدة متساوية، (٢) ومجموع كمية واحدة مع كل واحدة من الكميتين المتساويتين ينتج عنه مجموعات متساوية، (٣) وطرح كمية واحدة من كل واحدة من الكميتين المتساويتين ينتج عنه متبقيات متساوية، (٤) والكل أعظم من الجزء. وغيرها الكثير، منها: (٥) الأضعافُ المتساويةُ العدةِ لكمياتٍ متساويةِ كمياتٌ متساوية، (٦) وذوات أضعاف الكمية الأعظم أعظم من ذوات أضعاف الكمية الأصغر إن تساوى عدد الأضعاف. وغيرها الكثير والكثير والكثير... وهي قضايا مباشرة تصدق صدقًا أوليًّا وكليًّا على مطلق الكمية، فتصدق تبعًا على الخطوط والسطوح والأجسام والأعداد والأزمنة. ومن الأعراض التي تلحق مطلق الكمية لحوقًا أوليًّا وكليًّا بعض النسب مثل الأعظمية والأصغرية والمساواة، وأيضًا النسب الكمية التي تمثِّل الكميات النسبية بين كميتين. وهذه كلها لا تلحق إلا كميتين متحدتين في أحد الأجناس العليا تحت الجنس الأعلى، (بحيث كلاهما خط، كلاهما سطح، كلاهما جسم، كلاهما عدد، كلاهما زمان). فلا معنى لكون الخط أعظم من الزمن أو أصغر منه أو يساويه، ولا معنى لأن تكون هناك كمية نسبية بين كميتي الخط والزمان. ولقد غلط بعض المعاصرين من أساتذة الجامعات المتخصصين في الرياضيات غلطًا عظيمًا... إذ قسَّم الأستاذ النسبة إلى النسبة النقية والنسبة المختلطة؛ وذكر أن النسبة النقية هي النسبة بين كميتين متحدتين في الجنس، وأما النسبة المختلطة هي النسبة بين كميتين غير متحدتين في الجنس، وأن إقليدس تناول النسبة النقية فقط وأنه يمنع النسبة المختلطة. وقد أضاف ذلك الأستاذ أن نشوء مفهوم النسبة المختلطة (كالنسبة بين المسافة والزمن: التي تسمى السرعة) هو الذي أدى لتطور العلوم وهو الذي سمح للفيزيائيين الأوائل (مثل غاليليو) أن يطبقوا مبادئ الرياضيات العامة (في النسبة والتناسب) على الحركة. وهذا منه مغالطة؛ لأن النسبة بالذات لا تكون إلا بين كميتين متحدتين بالجنس كما ذكرنا، وأما النسبة التي تكون بين كميتين متباينتين فهي نسبة بينهما بالعرض لا بالذات، وذلك لأنها بالذات نسبة بين الكميات المنفصلة العارضة على الكميات المتصلة المتباينة بالجنس. فإن الكم المنفصل يعرض على الكم المتصل الذي هو المسافة، ويعرض أيضًا على الكم المتصل الذي هو الزمان، وبالتالي يمكن أن توجَد نسبة بين الكميتين المنفصلتين العارضتين على المسافة والزمان، وهي نسبة نقية. ولكن هذا شأن من لا يفرق بين الذي يكون بالذات والذي يكون بالعرض، ومن لا يفرق بين العارض والمعروض، وأن أحكام العارض بالذات أحكام للمعروض بالعرض. فإن عُدنا فلا شك أن هناك موضوع حقيقي لا نفعله ولا نخترعه نحن، وليس يقع تحت فعلنا الاختياري، وهو مطلق الكمية، وأن لمطلق الكمية مبادئ تصورية ومبادئ تصديقية، وأعراض ومسائل، وبراهين، وأن هذا كله متماشي مع المبادئ التي بينها المشائية في كتبهم المنطقية. ثمّ إن الأوائل قد وضعوا علمًا من هذا القبيل بالفعل، فإنك إن نظرت إلى المقالة الخامسة من أصول إقليدس، علمت أنها ليست مقالة في الهندسة، وليست مقالة في الحساب، فإنها مقالة في الرياضيات العامة، وموضوعها مطلق الكمية. ويسهل عليك النظر في براهين هذه المسائل، فتجدها لا تعتمد على شيء من مسائل المقالات السابقة. وهذا ما أردتُ بيانه في هذا الجزء، وسأكتب الأجزاء التالية عما قريب.

[انتقاد دتلفسن الجزء الأول: كلام عام في العلوم وترتيبها] يتقوّم كل علم بموضوع يتميَّز به عن غيره من العلوم، ويتألف موضوع العلم من أمرين أحدهما ماديّ والآخر صوريّ، وأما الجزء الماديّ فهو موضوع النظر، وأما الجزء الصوريّ فهو حيثية النظر. يتقدَّم العلم الواحد على غيره إن كان أعرف بلحاظ العلم التام؛ والمقصود بالأعرفية ما يكون العلم به شرطًا للعلم بغيره، والمقصود بالعلم التام العلم التفصيلي غير المبهم وغير الناقص. والجنس أعرَف من النوع بلحاظ العلم التام، وذلك لأننا وإن كُنا نعرف النوع قبل معرفتنا للجنس، ولكن الجنس مأخوذ في الحدّ التام للنوع، فالنوع المعلوم أولًا معلوم بعلم ناقص غير تام، ولكننا بكل تأكيد لا يمكننا أن نعلم بالجنس أصلًا ما لم نقف على الأنواع، فيكون النوع أعرف من الجنس بلحاظ العلم الناقص، ولكن من جهة أن العلم التام بالنوع مشروط بالعلم بالجنس فإن الجنس أعرف بلحاظ العلم التام. فإن كان هناك علم موضوعه الجنس (مثلًا: الحيوان) وعلم موضوعه النوع (مثلًا الإنسان)، كان موضوع النظر في العلم الجنسي أعرف بلحاظ العلم التام من موضوع النظر في العلم النوعي. وأيضًا من الظاهر أن بعض الأعراض للعلم الجنسي (مثلًا: التكاثر) هي أجناس لبعض الأعراض في العلم السافل (مثلًا: التكاثر بالولادة أو التكاثر بالتبييض)، وهنا إن أعراض العلم الجنسي أعرف بلحاظ العلم التام من أعراض العلم النوعي. وفي هذه الحالة لا يجب فقط أن نتعقل موضوع العلم الجنسي حتى يمكننا أن ندرس العلم النوعي ويكون علمنا به تامًّا، بل يجب علينا أيضًا أن ندرس مسائل العلم الجنسي حتى يكون علمنا بمسائل العلم النوعي تامًّا. ولكن ماذا لو كان العلم النوعي (ولابد) يتضمن أعراضًا ليس لها أجناس هي أعراض للعلم العالي، بالإضافة إلى كون موضوع العلم العالي معلوم عندنا ابتداءً؟ هنا يمكننا أن ندرس العلم السافل من دون أن ندرس العلم العالي، ولكن بشرط أننا نتناول فقط تلك الأعراض التي لا يكون لها أجناس هي أعراض للعلم العالي، ونبحثها باستعمال المبادئ الخاصة المطلقة بالعلم السافل بالإضافة إلى مبادئ العلم العالي البدهية عند تخصيصها وجعلها مبادئ خاصة للعلم السافل. فإذن نقول يجب تقديم العلم العالي دائمًا إلا في حالة تحقق هذين الشرطين: (١) أن يكون موضوع العلم العالي معلوم بداهة وابتداءً، (٢) أن يكون للعلم السافل أعراض ليس لها أجناس هي أعراض في العلم العالي. فإذا تحقق هذان الشرطان، كان لنا أن نتخير أن ندرس العلم العالي أولًا ومن ثم ندرس السافل، أو ندرس العلم السافل أولًا ثم إذا استنفدنا طاقتنا في الأعراض التي ليس لها أجناس هي أعراض في العلم العالي، أن ننتقل إلى العلم العالي وندرسه، ومن ثم نعود إلى العلم السافل مرة أخرى وندرس الأعراض التي لها أجناس هي أعراض للعلم العالي. فلتعقل هذه المقدمة المعرفية إذ بها سننتقد ديتلفسن وجماعة كبيرة من المعاصرين الذين يرون رأيه، ولكن فليكن ذلك غدًا...

[تقرير كلام دتلفسن] لـمّا وقف ديتلفسن على تقسيم أرسطوطاليس العلوم الرياضية إلى الهندسة التي تتناول الكم المتصل والحساب الذي يتناول الكم المنفصل، ولـمّا وجد الأوائل تبعًا لـإقليدس يبدؤون بالهندسة أولًا ومن ثم ينتقلون منها إلى الحساب وضع هذا: أن القدماء يجعلون الهندسة أقدم من الحساب، ولـمّا أراد تفسير الأقدمية لم يجد إلّا أن المقادير منها مشاركة (Commensurable) ومباينة (Incommensurable)، والمقادير المشاركة نسبتها لبعضها البعض تساوي بالضرورة نسبة عددٍ صحيح إلى عددٍ صحيح آخر، وأما المقادير المباينة فيمتنع أن تساوي نسبها بعضها لبعض تلك النسب العددية الصحيحة. وحتى يفهم هذا بنحو جيد عند غير الدارسين للرياضيات: – المقادير المباينة هي التي يمتنع بينها الجزء المشترك، والمراد بالجزء خصوص الجزء الذي إن ضوعِف عددًا معينًا من المرات استنفد الكل وصار مساويًا له. وتسمى هذه الأجزاء بالأجزاء العادّة للكل (أو المقدِّرة للكل أو النافية للكل أو المستنفدة للكل)، فإذن يمتنع اتحاد الجزء العادّ للكل بين المقادير المتباينة. – وأمّا المقادير المشاركة فهي المقادير التي يجوز أن يتحد بينهما الجزء العادّ للكل، فينفي المقدار الأول عند تضعيفه بكذا من المرات، وينفي المقدار الثاني عند تضعيفه بكذا من المرات. – وأما النسبة بين الكميتين فهي الكمية الإضافية بينهما، وبتعبير آخر: كمية أحدهما عند الآخر. – وأما التناسب فهو مساواة الكميات النسبية، أي مساواة النسب. – فليُعقل التناسب على أنه هذا؛ فإنه هو التناسب الحقيقي، في قبال التناسب اليودوكسي الإقليدي وهو التناسب المشهوري. – ولي انتقاد على يودوكسوس وإقليدس، بل لجميع المهندسين من يودوكسوس إلى توماس هيث، وإن مئات الكتب التي كتبت في إثبات المساواة بين التناسب الحقيقي والتناسب اليودوكسي، باطلة كاذبة، وسيُنشَر هذا كله ضمن الكتاب المسمى "الشرح الواقعي لأصول إقليدس". فإذا تمهَّد هذا، فقد ادّعى ديتلفسن التالي: يصح أن نضع بإزاء كل نسبة عددية (خصوص الأعداد الصحيحة) نسبة مقدارية تساويها، ولا يصح أن نضع بإزاء كل نسبة مقدارية نسبة عددية تساويها، مما يشير إلى أن المقدار (الكم المتصل) أقدم وأولى وأسبق، ولذلك صارت الهندسة عند القدماء أسبق وأقدم من الحساب. وهو الأمر الذي سيدعي فيما بعد أن من خواصّ المذهب الصوري البدء بالعدد بدلًا عن المقدار. وأما الانتقاد الذي سيأتي في المنشورات القادمة: سأبين أن العلوم الرياضية عند القدماء تنقسم إلى رياضيات عامة، وهندسة، وحساب. وأن الهندسة الحسابية التي تدرس الكم المنفصل العارض على الكم المتصل من علوم الحساب لا من علوم الهندسة. وأن معيار ترتيب العلوم المختلفة معرفي محض، وهو بعينه معيار ترتيب مباحث العلم الواحد، وهو تقديم الأعرف بلحاظ العلم التام. وأنه كيف يجوز تقديم الهندسة على الرياضيات العامة معرفيًّا، مع أن الهندسة خاص والرياضيات العامة عام، مع ذكر سلبيّات هذا التقديم، وانتقاد إقليدس وبيان أنه لو بدأ بالرياضيات العامة لكان كتابه الأصول أفضل. وأن الهندسة العامة والحساب العام ليس واحد منهما بأعرف من صاحبه، ولكن الهندسة أعرف من بعض فروع الحساب، ولا شيء من فروع الحساب بأعرف من الهندسة.

[خاطرة قبل الانتقاد] كنت قد قرأت قبل عدّة أيام مقالة علمية بعنوان "الصورانية" (Formalism) للمتخصص في المنطق وتاريخ الرياضيات وفلسفتها مايكل ديتلفسن (Micheal Detlefsen)، وهذا المقال مطبوع ضمن: The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic. بدأ مقالته بتقرير الآراء التي سماها بوجهة النظر التقليدية (Traditional Viewpoint)، وكانت له أوهام وأغلاط كثيرة، فيما يخص: انقسام العلوم الرياضية، وترتيبها بالقياس لبعضها البعض، ومعنى الدقة البرهانية (Conception of Rigor) عند الرياضيين القدماء، وموقفهم من الحدس والخيال. وهذا في الحقيقة لا يستغرب فإن كثيرًا من المعاصرين يختزلون الأفكار القديمة اختزالًا جائرًا، ويعتمدون في فهمها على الاستصحاب المقلوب. بتعبير آخر: إنهم ينظرون في أفهام بعض المتأخرين المنقطعين عن التقاليد اللاتينية القوية (العقلية الواقعية)، ومن ثم فإنهم يعممون ما يجدون على القدماء كافة. وهذا وجدته مرارًا كثيرة، وقد وجدت دعاوى عريضة ملفّقة على "التقليديين" لا يمكن أن يقبلها عقل "تقليدي"، ولكن يقبلها المتأخرون المنقطعون. وقبل أن أكتب بعض انتقاداتي المرتبطة بما كتبه هذا الكاتب (وسأكتب البعض القليل منها)، فإنني أنبه على أنني لستُ تقليديًّا، ولست تراثيًّا. فأنا لا أطلب العلوم الرياضية القديمة من حيث إنها قديمة أو تراثية أو كتبها "علماؤنا العظام". وإنما أطلب العلوم الرياضية على الإطلاق، فكل مطلب رياضي صحّ عندي أعتقده، لا بشرط كونه قديمًا أو حديثًا، وكذلك في جميع العلوم. وأما القدماء ففي الحقيقة – وهذا أمر يجب عليّ أن أعترف به – أنا أستغلهم استغلالًا، فأكتشف الحق عندهم وآخذه، واكتشف الباطل عندهم وأبطله، وقد تتفق لي اكتشافات بفضل مسايرتهم، وفي آخر الأمر أشكرهم على سعيهم، وأقدر لهم مجهودهم، وأعترف أن لولاهم لن أصل إلى ما اريد أن أصل إليه، ومن ثم أمضي قدما إلى من بعدهم. وأنا مدرك أن المشترك بيني وبينهم هو حب العلوم والرغبة الحثيثة في اكتشاف الحقائق العلمية.

وأما كبرى الحجة الخامسة فهي قضية لا تحتاج إلى تقرير أو توضيح أزيد من الذي ذكرته في التقرير الأصل؛ وبهذا تكون الأدلة كلها قد توضحت من جهة الصغرى والكبرى معًا. [وهذا ما أردت نشره قبل أن أتطرق لآراء معاصري بيكولوميني]

[تقرير كبرى الحجة الرابعة] قال بيكولوميني: الأكبر في البرهان المطلق يساوي الأصغر. قلت: بسبب شرط الأولية، وهو شرط الغاية الأولى وبالذات من وضعه تحقيق الضرورة المزدوجة وهي الضرورة المطلقة، والغاية الثانية وبالعرض من وضعه تحقيق الحد التام للعرض. ودليل دعواي هذه: أن أرسطو عندما اكتشف شرط الأولية، اكتشفه في الفصل الرابع من المقالة الأولى من التحليلات الثانية، ولم يكتشفه في الفصل الثاني من المقالة الأولى من التحليلات الثانية. وذلك لأن اكتشاف شروط البرهان يكون بالتحليل عندما يوضع البرهان صورة وغاية، أن تُحلَّل تلك الغاية، فتكتشف الأسباب الفاعلة لتلك الغاية، والأسباب الفاعلة لتلك الغاية هي مادة البرهان، التي هي شروطه. البرهان الذي انتقل منه أرسطو في الفصل الثاني إلى شروطه، هو البرهان الذي غايته العلم المطلق، فهو البرهان المطلق، وتلك الشروط شروط البرهان المطلق. أما البرهان الذي انتقل منه أرسطو في الفصل الرابع إلى شروطه، فهو البرهان الذي غايته الضرورة المطلقة، فهو مطلق البرهان، وتلك الشروط شروط مطلق البرهان، أما أن الغاية هي الضرورة المطلقة (المزدوجة) لا مطلق الضرورة فظاهر من طبيعة الشروط. ولذلك كانت الأولية شرطًا في براهين الوجود أيضًا، وهي ليست براهين مطلقة، فلما كانت الأولية شرطًا في مطلق البرهان، والبرهان المطلق فرد من مطلق البرهان، كانت الأولية من شروط البرهان المطلق أيضًا.

[تقرير كبرى الحجة الثالثة] قال بيكولوميني: البرهان المطلق على المسألة الواحدة واحد يمتنع غيره. قلت: وذلك لأن البرهان المطلق الأوَّل من حيث هو برهان مطلق يُفيد تمام جواب المطلب التصوري (ماهو الحد التام؟)، وذلك لتتميم الأوسط فيه الجزء الناقص والأخير من الحدّ التام. فإذا فرضنا برهان مطلق آخر، يجب بالضرورة أن يختلف الأوسط فيه عن أوسط البرهان الأول، والبرهان المطلق الثاني من حيث هو برهان مطلق يفيد تمام جواب المطلب التصوري أيضًا من جهة أن الأوسط فيه داخل في حدّ العرض ومتمم لنقصانه الأول، فإن هذه خاصة البرهان المطلق. فيلزم للعرض الواحد أكثر من حد تام واحد، التالي باطل، فالمقدَّم مثله. – إذن المسألة الواحدة لها برهان واحد والعرض الواحد له حد واحد.

[تقرير كبرى الحجة الثانية] قال بيكولوميني: الحدّ الأوسط في كل برهان مطلق علّة قريبة للعرض. قلت: وذلك لأن البرهان المطلق عند أرسطو قياس يفيد العلم بالشيء من طريق علته من حيث هي علة له وبحيث يمتنع أن يكون الأمر بخلاف ذلك. ولكن الشيء المطلوب العلم به هو العرض. فإذن البرهان المطلق قياس يفيد العلم بالعرض من طريق علته من حيث هي علة له وبحيث يمتنع أن يكون الأمر بخلاف ذلك. وأما وجوب أن تكون العلّة قريبة: فلأن العلّة البعيدة [حتى وإن فرضناها مساوية ويلزمها معلولها البعيد بالضرورة] لا تُجيب عن تمام مطلبي (ماهو الشيء؟) و(لـم هو الشيء؟) – أمّا المطلب التصوري فلأن الحدّ التام للعرض يتألف من العلة القريبة، فإن لم تكن معلومة ولا موسَّطة، لم يكن العرض معلومًا بالحد التام، ومتى لم يكن العرض معلومًا بالحد التام، أمكن السؤال: ماهو الحد التام؟ – أما المطلب اللمي فلأن العقل لا يقف عن طلب اللمية إلا عندما تكون الكبرى مباشرة، أي لا يكون هناك وسط في العلية بين الأوسط والأكبر. ومتى لم يكن البرهان مجيبًا عن جميع المطالب العلمية، فليس برهانًا مطلقًا. قال بيكولوميني: فإما أن تكون فاعلية أو غائية أو مادية أو صورية. قلت: هذا مبني على المشهور وهو جواز وقوع أي من العلل الأربعة وسطًا في البرهان المطلق. وهو بخلاف رأي زاباريلا المانع توسيط العلتين المادية والصورية: – لأن المادة عنده هي الموضوع الذي هو الأصغر، والصورة نفس صورة العرض التي هي الأكبر. فيلزم على تقدير توسيط أي من العلتين الصورية أو المادية المصادرة على المطلوب، بصيرورة الأوسط إما بعينه الأصغر أو بعينه الأكبر.

[تقرير كبرى الحجة الأولى] قال بيكولوميني: الحدّ الأوسط في البرهان المطلق إمّا مأخوذ في حدّ العرض أو مأخوذ في حدّ الموضوع. قلتُ: هذه مسألة بحثها جاكوبو زاباريلا بالتفصيل في المقالة الأولى من كتاب (الحد الأوسط في البرهان). — والأصل فيها السؤال عن الحد الأوسط في البرهان المطلق بالقياس إلى الموضوع والعرض بلحاظ العلية والأخذية في الحد. — مذهب زاباريلا ما يلي: – الحد الأوسط في البرهان المطلق علّة للعرض في نفسه، ومأخوذ في حدّ العرض، بالضرورة. – خلافًا لـإبن سينا والفارابي إذ لم يشترطا الضرورة: إذ ذهب ابن سينا في برهان الشفاء إلى إمكان أن يكون الأوسط معلولًا للعرض في نفسه بشرط أن يكون علة لوجود الأكبر في الأصغر. – خلافًا لـجون دانز سكوتس: إذ ذهب في شرح التحليلات الثانية إلى امتناع أن يكون الأوسط مأخوذًا في حدّ العرض. – ولكنه (١) إمّا أن يكون أيضًا علّة للموضوع في نفسه، ومأخوذًا في حدّ الموضوع. – خلافًا لـآيجيدوس: إذ ذهب إلى امتناع أن يكون الأوسط علة للأصغر في نفسه ومأخوذًا في حدّ الأصغر. – خلافًا لـهيرونيموس بالدوينوس: إذ ذهب لامتناع أن يكون الأوسط علة بالذات مأخوذة في الحدّ للموضوع والعرض معًا، وأوجب أن يكون ذلك لأحدهما بالذات وللآخر بالعرض. – ورأي بالدوينوس هو رأي بيكولوميني، وهو مبني على سوء فهم لعبارة إبن رشد التي قال فيها إن كون الأوسط علة للموضوع زيادة على كونه علّة للعرض أمر بالعرض. وأراد إبن رشد أولًا أنه ليس بشرط للبرهان المطلق وثانيًا أنه أقلي التحقق، وهما فهما أن العلية نفسها بالعرض. – أو يكون (٢) معلولًا للموضوع في نفسه: – خلافًا لبعض معاصري زاباريلا: إذ ذهبوا إلى أن وجوب أن يكون الأوسط علّة للموضوع والعرض معًا بالذات. – فإمّا أن (٢.١) تكون صورة الموضوع علّة قريبة له، فتكون صورة الموضوع مأخوذة في حدِّه. – أو (٢.٢) تكون صورة الموضوع علّة بعيدة له فيكون المأخوذ في حدِّه عرض أقدم منه معلول لصورة الموضوع. – في كلا الشقين: خلافًا لمن يشترط أن تكون الصغرى مباشرة غير ذات وسط في البرهان المطلق. – أو (٣) غير معلول للموضوع في نفسه، ولا شيء منهما بمأخوذ في حد الآخر. – خلافًا لمن لا يعتقد بأن البراهين التي تكون بتوسيط العلل الفاعلية الخارجية (التي تفعل لا بالإفاضة) تقع من ضمن البراهين المطلقة. فلأجل تدارك كل هذه الاختلافات وضع بيكولوميني قضية عامة مرددة إما الموضوع أو العرض، حتى يُلزِم ويُفحِم الجميع، وهذا من الأساليب الجدلية الجيدة.

[تقرير أدلة بيكولوميني على أن الأدلة الهندسية ليست براهين مطلقة] – استدل بيكولوميني على مطلوبه بخمس أدلة، كبرياتها منطقية، وصغرياتها رياضية. – سأشرح هذه الأدلة بنحو تفصيلي: المقدمات الرياضيات سأوضحها في هذا المنشور، وأما المقدمات المنطقية ففي منشور لاحق سيأتي. [الحجة الأولى] – المقدمة الكبرى: الحدّ الأوسط في كل برهان مطلق إما مأخوذ في حدّ العرض أو مأخوذ في حدّ الموضوع. – المقدمة الصغرى: لا شيء من الحدود الوسطى في الأدلة الهندسية كذلك. – دليل المقدمة الصغرى: الاستقراء التام لجميع الكتب الهندسية. قال بيكولومني: [أصول] إقليدس، و[أكر] ثيودوسيوس، و[جميع كتب] أرشميدس. قلتُ: والقطوع المخروطية لـأبولونيوس، والأشكال الكرية لـمانالاوس. [الحجة الثانية] – المقدمة الكبرى: الحد الأوسط في كل برهان مطلق علّة قريبة للعرض. – المقدمة الصغرى: لاشيء من الحدود الوسطى في الأدلة الهندسية كذلك. – دليل المقدمة الصغرى: لو كانت الحدود الوسطى في الأدلة الرياضية عللًا قريبة لكانت إما فاعلية أو غائية أو مادية أو صورية. – لكنها ليست فاعلية؛ لأن الحركة في الهندسة مجازية لا حقيقية. – لكنها ليست غائية؛ (١) بداهة، (٢) ولأنه لا يوجد فعل في الهندسة وإذ لا فعل فلا غاية، (٣) ولما ذكره أرسطوطاليس في (ما بعد الطبيعة) وأيده الإسكندر وإبن رشد. – لكنها ليست مادية؛ لأن موضوعات الهندسة مجرَّدة عن المادة، وأما المادة العقلية فهي بعينها الصور من حيث إنها متخيلة. – لكنها ليست صورية؛ إذ المقادير ليست فاعلة (بالإفاضة) وليست مبدأ للفعل. [الحجة الثالثة] – المقدمة الكبرى: ليس لوجود العرض الذاتي في موضوعه إلا سبب واحد قريب مناسب، وهو الحد الأوسط الذي منه يكون البرهان المطلق. – المقدمة الصغرى: المسألة الهندسية الواحدة ليس لها حد أوسط واحد يكون هذا شأنه. – دليل المقدمة الصغرى: ليس للأعراض الهندسية الكثيرة للموضوع الهندسي الواحد ترتيب طبيعي بحيث يلزم من الواحد منها واحد. – ثم تنبيهًا على ذلك؛ إن المسألة الهندسية الواحدة تتبرهن بحدود وسطى كثيرة مختلفة، فالمسألة الواحدة لها براهين كثيرة، كل واحد من تلك البراهين على درجة واحدة وفي رتبة واحدة من التمامية، وذلك بشهادة جميع المهندسين. [الحجة الرابعة: دليله على الصغرى جدلي] – المقدمة الكبرى: في كل برهان مطلق الحدّ الأكبر يساوي الحدّ الأصغر. –المقدمة الصغرى: "مساواة الزوايا الداخلية الثلاثة للقائمتين" لا يساوي المثلث مستقيم الأضلاع. – دليل المقدمة الصغرى: سُلطة سيمبليسيوس. قُلتُ: لقد أقسم بيكولوميني بأن الصغرى قضية كاذبة وأن كلام سيمبليسويس كاذب، ومع ذلك استدل بسلطته. [الحجة الخامسة: شبه جدلية] – المقدمة الكبرى: لا شيء من العلوم التي تكون براهينها مطلقة يمكن أن تكون مسائلها مبادئ لبعضها البعض. – المقدمة الصغرى: المسائل الهندسية يمكن أن تكون مبادئ لبعضها البعض. – دليل المقدمة الصغرى: سلطة برقلس. – قلتُ في تفسير كلام برقلس: يمكننا إثبات المسألة A بمبادئ متقدمة ثم نستعمل المسألة A في إثبات المسألة B، ويمكننا من طريق بديل، إثبات المسألة B بمبادئ متقدمة ثم نستعمل المسألة B في إثبات المسألة A، فلو كانت هناك عليّة حقيقية في الهندسة لما أمكن ذلك، لأن الشيء لا يكون علة لنفسه، وللشيء الواحد حد واحد كما يقول أرسطو، هذا مراده. [إشارات وتنبيهات جيدة ذكرها بيكولوميني مع تصرف بسيط (من جهة تفصيل المجملات فقط)] – براهين الخلف [أو الردّ إلى المحال] منتشرة في الهندسة ومعتمدة عند المهندسين. – لكن بإجماع المشائين لا شيء منها ببرهان مطلق؛ لأنها لا تثبت المطلوب من جهة السبب، فلا تفيد العلم المطلق، والقياس غير المفيد للعلم المطلق ليس ببرهان مطلق. – والعلم المطلق [الذي هو العلة الغائية الداخلة في حدّ البرهان المطلق] كما عرفه أرسطو في الفصل الثاني، هو: العلم بالشيء من طريق العلة من حيث هي علة وبحيث يمتنع أن يكون بخلاف ذلك. – مع ذلك بإجماع المهندسين لا فرق علميّ بين إن أثبت المسألة بالمستقيم أو بالراد إلى المحال. [وهذا ما أردت بيانه في هذا المنشور]

قسَّم بيكولوميني كتابه (تفسير يقينية العلوم الرياضية) إلى إثني عشر فصلًا: – الفصول الستة الأولى في صناعة البرهان. تناول فيها مباحث كثيرة، منها: الغاية من المنطق، المعقولات الثانية والمنطق، الغرض من كتاب المقولات، التقسيم والتحليل والحد والبرهان، أقسام البرهان، الفرق بين البرهانين المطلق والسبب، شروط البرهان المطلق، المباشرة شرط للكبرى فقط، المباشرة والأولية شرط واحد، أصناف العلل الواقعة حدًا أوسطًا في البرهان المطلق، وجوب أن يكون الأوسط مأخوذًا في حد العرض ولا يجب أن يكون مأخوذًا في حد الموضوع، المطالب العلمية والعلاقة بينها، إجابة البرهان المطلق عن جميع المطالب العلمية معًا. وأكثر الذي تناوله هنا عبارة عن مسائل كانت محل نقاش في جامعة بادوا، وهي المسائل التي كتب جاكوبو زاباريلا موسوعته المنطقية للإجابة عنها. – الفصول الستة الأخيرة في عدم انطباق صناعة البرهان على العلوم الرياضية. تناول مباحث كثيرة منها: الهندسة تبحث المقدار المجرد عن المادة [لا بالتجريد الأفلاطوني]، الفرق بين المسائل العملية والمسائل النظرية، الفرق بين التحليل الهندسي والتركيب الهندسي، عدم وجود علل غائية أو علل فاعلية في الهندسة، الحركة ممنوعة، عدم وقوع أي من العلل الأربعة كحدود وسطى في البراهين الرياضية، إمكانية برهنة المسألة الهندسية الواحدة ببراهين كثيرة تختلف حدودها الوسطى مع كون تلك البراهين في رتبة واحدة، لا تكون الحدود الوسطى عللًا قريبة، لا توجد في الهندسة حدود وسطى مأخوذة في حدّ العرض الذي يطلب برهنته للموضوع، ولا حدود وسطى مأخوذة في حدّ الموضوع، بطلان مذهب إبن سينا في الصور الجسمية.

أليساندرو بيكولوميني (تـ 1579 م) رياضيّ وفيلسوف إيطالي، يعدّ من أكابر المشائين في عصر النهضة، دَرَس في جامعة بادوا الإيطالية. وليس هو فرانسيسكو بيكولوميني (تـ 1607 م) المنافس العلميّ لـ جاكوبو زاباريلا (تـ 1589 م) صاحب المناهج. كان أليساندرو بيكولوميني أول من افتتح أحد الصراعات المعرفية الكبرى في عصر النهضة، المرتبطة بالعلوم الرياضية – لاسيما الهندسية – وعلاقتها بنظرية البرهان والتحليلات الثانية لأرسطو. وقد كتب كتابًا يبيِّن فيه أن العلوم الرياضية تخلو من البراهين المطلقة، ومن براهين الأسباب [على تقدير تثليث أصناف البراهين تبعًا لمذهب إبن رشد]، ومع ذلك تبقى علومًا يقينية. وقد ترجمت الكتاب باستعمال (Gemeni) من اللاتينية إلى الإنجليزية، وانتخبت منه المهم والمفيد من أول الكتاب إلى آخره، حتى أنني أظن أن الذي يقرأ هذه المنتخبات مع فهمها حق الفهم فإنه يستغني عن قراءة الكتاب. وكل الذي ذكره هذا الفاضل واضح لمن مارس العلوم الرياضية ممارسة يعتد بها، فإن جل الذي ذكره قد انكشف لي مسبقًا بنحو مستقل أثناء بحثي هذه المسائل.

We concede that the mathematical disciplines hold the first rank of certainty, but we deny that the cause for this rank was correctly identified by the Latin commentators. What, then, is the true cause of this certainty? It is precisely that which Aristotle posits in the sixth book of the Ethics and the seventh book of the Metaphysics, and which the Greek authors have confirmed. When Aristotle asks in the Ethics why children can become mathematicians but cannot become prudent, wise, or natural philosophers, he immediately identifies the cause: mathematics is based on abstraction, whereas the principles of other faculties are assumed through experience. Children lack experience, but they are perfectly suited for abstraction. These are Aristotle’s very pregnant words. Natural principles and natural things—as well as metaphysical ones—are known from their effects through long experience perceived by the senses; this requires a long time, immense labor, and constant observation. It is no wonder children are denied entry into these fields, as they cannot be experienced due to their age. Mathematical things, however, because they exist by abstraction, offer themselves fully and intimately to our senses. They reveal themselves entirely: not only their passions but even their subjects and forms are perfectly manifest to our sense, because they are all quantities. ... It is clear, then, from Aristotle's words, that the cause of mathematical certainty is the subject matter. Simplicius feels the same in the first book of De Anima, saying the cause of mathematical certainty is that they deal with quantity; for quantities are sensible things and have sensible causes and are therefore known to us. Aristotle confirms this in the seventh book of the Metaphysics, saying natural things cannot be abstracted like mathematical ones because they have determinate matter, actuated and limited by a specific form—a limitation we cannot know without long use and observation. Mathematical things, being abstractable, do not claim such limited matter for themselves. A circle does not require gold, wood, or any other determinate material. Since the ease of abstraction arises from the greater or lesser determination and limitation of matter, it follows that those things that are not determined by any matter in act, but are coeternal with naked matter, are the most abstractable. Thus, they are easy to know, certain, and manifest. Quantity, because it is a "common sensible" and is not tied to any limited matter, holds no secrets; it explains and manifests itself to us entirely. Alxenadri Piccolominei | Commentarium De Certitudine Mathematicarum Scientiarum

I could bring forward many more reasons to conclude that mathematical demonstrations are not most powerful, but these should suffice, especially given the remarkable authorities we have. First, we have Proclus, that illustrious man in mathematics, who says in the first book of the Elements, page 21, that several Elements—that is, various Euclidean propositions—can be elements to one another. This would surely not be possible if they were demonstrated through true causes, for nothing can be its own cause, and a single thing has only one definition according to Aristotle in the sixth book of the Topics, Chapter 3. Alxenadri Piccolominei | Commentarium De Certitudine Mathematicarum Scientiarum

Since the entire weight of the previous argument regarding the minor premise depends on the fact that quantity is not an active power, this point must be examined more closely. I maintain that since all action occurs by virtue of a form introduced into primary matter—for primary matter, as such, performs no action—it follows that for a subject to act, it must be endowed with a substantial form. ... Since this is how the matter stands, and since quantity is the most imperfect of all accidents—for it alone among accidents follows matter eternally without the mediation of a form, according to Averroes in De substantia orbis, the first book of the Physics, commentary 63, and the Epitome of Metaphysics—it follows that no principle of action can be attributed to quantity. ... This happens because quantity is coeternal with matter, yet it is indeterminate and naturally prior to every substantial form. We do not accept that chimerical "form of corporeity" which some place in the predicament of substance, nor that "metaphysical body" which Albertus Magnus posited in imitation of Avicenna. No Greek author posited such a thing, nor did Averroes. Therefore, among legitimate Peripatetics, the form of corporeity is simply indeterminate quantity within primary matter. Matter considered in this way, prior to every substantial form, is what Ammonius calls the underlying subject. Thus, quantity cannot be a principle of action. Alxenadri Piccolominei | Commentarium De Certitudine Mathematicarum Scientiarum

[Major Premise] Thirdly, we may reason as follows: for a passion in a subject, there ought to be only one immediate and true middle term from which a most powerful demonstration is constructed. [Minor Premise] But mathematical passions do not have such unique, immediate middle terms. The major is clear because the middle is the cause; therefore, there is only one true middle because there is only one proper cause for each thing according to Aristotle in the second book of On Generation and the second book of the Physics. The minor is proven because mathematical passions are discovered in their subjects without any fixed order of priority. The true order of passions arises from their flowing from the subject and its form. When such a flow occurs, an order of natural priority is established, because one thing, insofar as it is one, can only immediately produce one thing. Mathematical passions, however, cannot have such an order, process, or flow from the subject, because quantity is not among the active principles according to Averroes in the fourth book of the Physics, commentary 84. The truth of this is seen in the fact that mathematicians demonstrate the same passions about the same subjects using various assumed middle terms. Theon and Euclid show that a triangle has three angles in one way; Campanus in another; and Proclus in yet another. ... Themistius also in the first book of the Physics, commentary 89, explicitly affirms that the same conclusion in mathematics can be demonstrated through several different premises. Simplicius promises the same in the second book of the Physics. If someone should say that although several demonstrations of the same passion are possible, only one will be the most powerful through the immediate middle, we can respond that this is false. Proclus openly asserts that diverse, equally perfect demonstrations can be made for mathematical passions. Furthermore, we have Plato (as cited by Philoponus in the first book of the Posterior Analytics), who always proposed some Problem to be demonstrated to his students. No matter how diversely they demonstrated it, provided they did demonstrate it, he praised them equally—as he did with the discovery of the two mean proportionals for the duplication of the cube. Plato knew, therefore, that the nature of the mathematical faculties was such that their passions could be demonstrated in various ways. Alxenadri Piccolominei | Commentarium De Certitudine Mathematicarum Scientiarum

[Major Premise] Furthermore, every most powerful demonstration has a middle term that is the immediate cause of the effect (the passion). [Minor Premise] But no mathematical demonstration is found to be such. The major is evident from Aristotle in the second book of the Posterior Analytics, who says that while an effect—such as the shedding of leaves in trees—may have several causes—being broad-leaved and the freezing of moisture only one is the proper, immediate, and convertible cause, namely the freezing of moisture. The minor is proven because mathematical passions cannot flow from an extrinsic cause, as we declared slightly above. And as for the form—since we have already excluded matter how will they depend on the form, if in quantity there is no action or principle of action? Thus, no one can say how, in the nature and form of a triangle, there exists the fact that the exterior angle is greater than either opposite interior angle—a passion proven by Euclid in Book I, Proposition 17. [Proposition 16 in Heiberg] Alxenadri Piccolominei | Commentarium De Certitudine Mathematicarum Scientiarum

For example, if we examine the much-cited Theorem 32 of Euclid’s first book, we find that the exterior angle, which is used as the middle term to declare the passion—that the triangle has three angles equal to two right angles—is the definition of neither the triangle (the subject) nor the passion itself. Neither the triangle nor "having three angles equal to two right angles" requires an exterior angle in its definition. The triangle exists, and has those angles, even if the exterior angle is not present. This will be clear in almost all other theorems and problems of Euclid; thus the minor is proven, and consequently our conclusion. Alxenadri Piccolominei | Commentarium De Certitudine Mathematicarum Scientiarum

[Major Premise] Every most powerful demonstration uses either the definition of the passion or the definition of the subject as its middle term. [Minor Premise] Mathematical demonstrations do not have such a middle term. The major premise is accepted by everyone: though some believe the subject's definition is the middle and others the passion's, all concede it must be one of the two. The minor is proven by induction through all the theorems of Euclid, Theodosius, Archimedes, and others. Alxenadri Piccolominei | Commentarium De Certitudine Mathematicarum Scientiarum