عُـمـر isomorphism

برهان ثقيل على كون الجذور غير النسبيّة من نوع ( 2√, 3√,… ) هي أعداد حقيقيّة، هذا البرهان ينقض مذهب القدماء القائلين أن الجذور غير النسبية ليست أعداد، وهو يعتمد على تعريف الأعداد الحقيقية من خلال مسلمة الكمال الشهيرة… هيكل البرهان العام كالآتي : 1- نبني مجموعة كل الأعداد التي تكون عند رفعها للقوة النونية أصغر من x, حيث x هو العدد الذي يقع تحت الجذر أيّ : E = { t | tⁿ < x }. 2- نثبت أن هذه المجموعة غير خالية ومقيدة من الأعلى . 3- نستخدم خصيصة الكمال لضمان وجود أصغر قيد علوي sup للمجموعة E في R . 4- نبرهن بالتناقض أن القيد العلوي الأصغر عند رفعه للقوة n لا يمكن ان يكون أصغر من x ولا أكبر من x . 5- نستنتج من الخطوة (4) أن القيد العلوي الأصغر عند رفعه للقوة n يجب أن يساوي x . أي : (Sup)ⁿ = x . هذا يعني أن الجذر النوني للـx نفسه القيد العلوي الاصغر . 6- ولكننا نعرف حسب (3) أن القيد العلوي الأصغر عدد في R إذن الجذر النوني للـx هو أيضا عدد في R .

هذه المحاضرة غاية في الأهمية لكل من يريد أن يفهم التصور العام الذي يتبناه الرياضيون لمفهوم الأعداد الحقيقية. وفي المحاضرات القادمة سأعرض البناء التفصيلي لمجموعة الأعداد الحقيقية انطلاقًا من الأعداد النسبية وفق طريقة الأستاذ ريتشارد ديديكايند، وهي في حقيقتها برهان طويل ودقيق تُعرَّف فيه الأعداد الحقيقية بواسطة ما يُعرف بـ نظرية القواطع (Dedekind Cuts)، ثم يُثبت أن هذه المجموعة رفقة عمليتين تشكل حقلًا، ثم حقلًا مرتبًا، ثم يُثبت أنه يحقق خاصية الكمال المشهورة، بل وأكثر من ذلك، يُثبت أن هذا الحقل الكامل يحتوي الأعداد النسبية بوصفها حقلًا جزئيًا، وأنه يحقق جميع الخواص المتوقعة منه كنظام يمثل الخط المستقيم . هناك طريقة أخرى لبناء الأعداد الحقيقية، وهي طريقة جورج كانتور، المعتمدة على متتابعات كوشي وصفوف التكافؤ، وهذه الطريقة أكثر شهرة لعدة أسباب، لكنها مكافئة تمامًا لطريقة ديديكايند. ولعلي أشرحها أيضًا إذا تيسر الوقت. في ملحق هذا الدرس عرضت برهانًا أنيقًا على أن الأعداد النسبية ليست حقلًا كاملًا، يعتمد على استحالة وجود أصغر قيد علوي لبعض المجموعات في Q وذلك بالمزاوجة بين البرهان بالتناقض والبرهان بالحالات (Proof by Cases). ثم أوضحنا الفكرة الحدسية للبرهان من خلال أمثلة عددية، وبيّنا البنية التحتية لاستنتاج بعض الفرضيات التي تُعرض في الكتب بصورتها النهائية دون بيان منشئها. هذا النمط من العرض لا يقتصر على تعليم البرهان، بل يكشف للطالب ما وراء البرهان؛ ليكتسب ملكة التفكير الرياضي وصناعة البرهان بنفسه، لا أن يكتفي بفهم ما كتبه غيره. فالغاية أن يكون الطالب صانعًا للبرهان، لا مجرد مستهلك له.

منصتنا على يوتيوب : https://youtube.com/@alburhan_platform?si=GvysocSLfZzB0miG منصتنا على تليجيرام : https://t.me/alburhan_platform

لقد أطلقنا " منصة البرهان " للرياضيات أنا وزميلي الأستاذ الفاضل أحمد علي، نقوم بشرح دورات لموضوعات جامعية متقدمة، مثل التحليل الرياضي، الجبر المجرد وغيرها، نحن نركز على طرح محتوى عربي يتضمن مادة علمية رصينة بلغة عالية وبشكل مجاني تمامًا، وحيث إنني على يقين بأن النهضة الفكرية وتغيير الواقع لن تصنع بالشعارات وأن إصلاح الواقع العلمي المتردي أولى خطوات التغيير الحقيقية كما أنه لن يكون إلا من داخل الحلقات الدراسية لأن ما يبنى في حلقات الدرس أوثق وأبقى أثرًا من كل وهم يباع ويسوق باسم التغيير، فإنني أدعوكم للاطلاع على منصتنا ومشاركتها مع من يهمه الأمر من طلبة العلم والحقيقة أينما كانوا . هذه مساهمتنا والله ولي التوفيق .

على أن بعض الفلاسفة شككوا بقاعدة أعظمية الكل على الجزء ولزوم التساوي بينهما من مجرد التقابل، نورد منهم على سبيل المثال لا الحصر : 1- القاضي المبارك في حاشيته على سلم العلوم قال " والحق أن الأمور الغير متناهية لا تتصف بالزيادة والنقصان بالقياس إلى نظائرها؛ لأنها من عوارض الكم من حيث التناهي وبعد تعين المحدود، نعم يمكن الحكم عليهما بالتساوي مطلقًا، من حيث عدم انقطاع التطابق بين آحادهما إلى حد ومرتبة، وقولهم (الكل أعظم من الجزء في التناهي) مسلم، لا في غير المتناهي فلا يتم أكثر البراهين كـ(التطبيق والتضايف) وغيرهما " . 2- العلامة محمد السنبهلي في حاشيته على شرح الملا حسن للسلم وضح مقصود القاضي المبارك بقوله : " ثم أورد على القاضي في قوله بأن الزيادة والنقصان من عوارض الكم من حيث التناهي، نعم المساواة بمعنى عدم الانقطاع مسلمة في غير المتناهي لا ما هو معيار الزيادة والنقص، وبداهة الكل أعظم من الجزء في غير المتناهي غير مسلم بأن في الكل مرتبة ليست بإزائها مرتبة في الجزء، فالأعظمية بديهية مطلقاً. قلت: غرض القاضي أن التساوي يطلق على معنيين، الأول: الاتفاق في صفة واحدة هو الامتداد والتمادي إلى غير النهاية، وليس هذا معيار ما يتفرع عليه من الزيادة والنقص. والثاني: الاتفاق في الكم بمعنى مساواة المقدارين في الامتداد وهو لا يحصل إلا بعد القطع من الجانبين وتصوير المبدأ والمنتهى والوسط مع انطباقه بجميعه على الآخر، وهذا غير متصور في غير المتناهي وهو معيار الزيادة والنقص، هذا بعد التأمل الغائر حقيق بالقبول " ومن أراد الازدياد فليراجع حواشي السلم والمقاصد والمواقف والأسفار وغيرها من الكتب الفلسفية على أنني لا أشعر بالحماسة حيال تتبع أقوال ومناقشات الفلاسفة لعدة أسباب، واحد منها هو غياب النسق المسلماتي والاتكال على الحدس وقوة الذهن في إدراك التصورات وعلى أي حال، فإن تدقيق المسائل بهذا الأسلوب ليس مستحيلًا على ما فيه من إرهاق العقول وتضييع الأعمار بما يمكن طيه واختصاره .

جانب من بحث التخرج مسألة في اللانهايات إثبات أن مفهوم اللانهاية بمعنى : نفي النهاية هو مكافئ لمفهوم اللانهاية بمعنى : المجموعة التي تقابل مجموعة جزئية فعلية منها . في نظرية المجموعات تسمى الأولى باللانهاية الاعتيادية وتسمى الثانية بلا نهاية ديدكايند - نسبةً للرياضياتي ريتشارد ديدكايند - . إن لهذه المسألة خلفية تاريخية حافلة، إذ إن جمهور الفلاسفة رفضوا هذه النتيجة، وزعموا استحالة التقابل بين الكل وجزئه ضرورة استحالة تساوي الكل بالجزء، وإن غالبية براهينهم في إبطال اللانهاية وإبطال التسلسل اعتمدت على هذه المقدمة التي عدوها من البديهيات، ولكن على أي حال، فإنه من الواضح أن علاقة التقابل لا تستلزم التساوي بين المجموعة وجزئها، قصارى ما في الأمر أنها تستلزم التساوي بالحجم وإن شئت فقل التساوي بالـCardinality الذي يكون مناط تساويه هو التقابل نفسه، فلا يتم مقصودهم بالاستعانة بكون الكل أكبر من الجزء .

هيكلية الأعداد الطبيعية في مفهوم نيومان للجمع على الأعداد الطبيعية، فإن الجمع ما هو إلا دمج للشيء مع نفسه بتكرارات معينة، التعريف يبتدئ بإعطاء معنى للرمز n+1 كالآتي : n+1= n U {n} أي أن العدد اللاحق للعدد n هو مجرد n اتحاد { n } وهذا يعني إن جمع العدد 2 +1 ليس إلا 2 + 1 = 2 U {2} لاحظ في بناء فون نيومان فإن كل عدد طبيعي هو عبارة عن كل الأعداد الطبيعية التي تسبقه ( مُبرهنة ) لذلك فالعدد 2 هو 2={0,1} أي أن 2+1={0,1} U {2} = {0,1,2} وهذا يعني أنه يساوي العدد 3 بالضبط، إن هذا التعريف ينسجم مع النتائج الحدسية بشكل كامل، ولكن من المثير للاهتمام أننا لو حاولنا تعريف الـ1- بأنه العدد الذي يقع قبل الصفر سنحصل على تناقض صريح المفروض أن : -1 + 1 = 0 = ∅ -1+1 = -1 U {-1} = ∅ تذكر أن اتحاد أي مجموعة مع مجموعة تحوي عنصرًا على الأقل فإنه لا يساوي ∅ إذن -1 U {-1} ≠ ∅ . تفسير هذا التناقض أن العدد 1- لا يقع قبل الصفر مباشرة، بل لا يوجد عدد قبل الصفر أصلًا، إذ إن الأعداد السالبة لا تفسر بهذه الطريقة البدائية، بل تبتني على نظرية تعرف من خلالها الأعداد الصحيحة بناء على علاقة تكافؤ تجعل كل عدد سالب صف تكافؤ كامل ثم تعطي تعريفًا للجمع والترتيب مغاير لمفهومي (السابقية واللاحقية) كما نعهده، وتؤسس لمفهوم جديد هو (الفرق بين) لذلك فإن نظام الأعداد الصحيحة مختلف بنيويًا وجبريًا عن نظام الأعداد الطبيعية وهذا يعيد بنا الذاكرة لقولنا سابقًا أن الأعداد الطبيعية ليست جزئية من الأعداد الصحيحة وكنا قد فسرنا العلاقة الصحيحة بينهما في مقالة سابقة يستحسن للقارئ مراجعتها . إن الحقائق السابقة تذكرني بمقولة طريفة تنسب للرياضياتي الألماني ليوبود كونكر حين قال : " لقد خلق الله الأعداد الصحيحة وما سواها من صنع البشر " . ولكن يظهر أنه قد كان مخطئًا، إذ يبدو أن الله لم يخلق سوى الأعداد الطبيعية .

الرمز الأصلي كان أطول بكثير من الرمز الحالي، وهو يدل بوضوح على خطين متوازيين، لاحقًا تم اختزاله لأغراض تقنية .

الصورة المرفقة للطبيب الرياضياتي روبرت ريكورد، وهو أول من وضع رمز المساواة الحديث " = "، من الطريف أنه نحت الرمز من توازي خطين مستقيمين حيث اعتقد أنهما يدلان على المساواة والتماثل التام .

إطلاقات المساواة في المنطق ونظرية المجموعات 1- المساواة قد تستخدم للتسمية فحسب أي أن طرفي المساواة هو اسم ومعنى، على سبيل المثال : A = { 0 } لاحظ الطرف الأيسر هنا "A" ليس له أي معنى في حد نفسه، إنما يكتسب معناه مما بعد المساواة، فهو بحد ذاته مجرد رمز غير مشبع لا يدل على شيء وهذا النوع من المساواة عادة يكتب بالشكل A := { 0 } أو يكتب مختصر Def أسفل المساواة، يمكن القول أنه مجرد تسمية او وضع عنوان للمجموعة { 0 } نحن نعتبرها مساواة على سبيل المجاز وإلا فهي مجرد إعطاء أسماء للأشياء . 2- المساواة بين مجموعتين وهذا يختلف عن الأول، إذ يكون لدينا مجموعتين بالأصل كل منهما يدل على معنى في حد نفسه، على سبيل المثال : لتكن A مجموعة الأعداد التي تقبل القسمة على 2، ولتكن B مجموعة الأعداد التي تكون من مضاعفات الـ2 . في الحقيقة إن A = B صحيح أن لكل منهما صفة مميزة مختلفة، ولكن يمكن القول أنهما تحتويان ذات العناصر، في الحقيقة هذه القاعدة تسمى في نظرية المجموعات بـAxiom of extensionality وهي تقول ببساطة : تتساوى مجموعتان إذا كانت كل واحدة جزئية من الأخرى . 3- بديهية التوسيع السابقة تتحدث عن المجموعات ككائنات رسمية، لكنها لا تتحدث عن العناصر وطبيعة العلاقات فيما بينها، المشكلة تبدأ حين نتسائل عن طبيعة العناصر أو الأعضاء الـmembers هل تكون مجموعات أيضًا ؟ وإذا لم تكن مجموعات، فما هي بالضبط ؟ طبعًا من الواضح أن القائلين بأن العناصر هي أيضًا مجموعات سيقعون بإشكالات يكون الفكاك منها مزعجًا، نحن سنعتبر أن العناصر ليس بالضرورة أنها مجموعات، هي مجرد كائنات أو أشياء object ، وعليه ينبغي أن نصوغ قاعدة للحديث عن المساواة بين الأشياء لا المجموعات فقط، وهذه ما ستعرف لاحقًا بقاعدة لايبنتز وهي تنص على : (a=b) ⟹ ( ϕ(a) iff ϕ(b) ) . الفكرة الجوهرية للمساواة بين شيئين هو انهما مشتركان بجميع الخصائص دونما استثناء .

بعض مقررات أسس الرياضيات تتجاهل هذه المبرهنة وتتعامل معها وكأنها تعريف إجرائي للقضية الشرطية، يُقال للطالب لإثبات (إذا p فإن q) افترض p وأثبت q، هذا الأسلوب عملي، لكنه يشكل لبسًا بالنسبة للطلبة . في الحقيقة ينبغي توضيح اشتقاق المبرهنة أو بالأحرى كيفية برهان قضية من نوع إذا كان فإن . البرهان في الأنظمة الرسمية قد يكون نحويًا ومعقدًا بعض الشيء، بالنسبة للطلبة غير المهتمين بالمنطق يمكننا الاعتماد على جدول الصدق أو التفسير السيمانطيقي لأغراض التوضيح وكتفسير موازي لا أكثر سيكون التوضيح كالآتي : لأجل صدق العبارة المركبة p →q فإن لدينا حالتان إما أن p كاذبة، وهكذا فالشرطية صادقة على أي حال . أو أن p صادقة، وهنا لا بد أن تكون q صادقة لضمان أن الشرطية صادقة في هذه الحالة سيحق لنا فرض p ابتداءً باعتبارها قضية صادقة . وهكذا فإننا سنفرض دائمًا أن p صادقة لإثبات أن q صادقة، هذا يعادل وينسجم مع قولنا إذا كانت p فإن q لأن الحالة الأخرى التي تكون فيها p كاذبة ستكون الشرطية فيها صحيحة دومًا .

The Deduction Theorem من المبرهنات المشهورة في المنطق الرياضي، ولعلها المبرهنة الأكثر تطبيقًا في الرياضيات . بشكل غير رسمي تنص المبرهنة على أنه لأجل إثبات عبارة شرطية من نوع : p →q داخل نظام ليكن اسمه Γ سنفرض العبارة p داخل النظام Γ مؤقتًا ويجب أن نستنتج q أي أننا سنعتبر p قضية معطاة ومفروضة يمكن الاستفادة منها في إجراء البرهان، فإذا نجحنا في استنتاج q نقول أثبتنا q ابتداءً من p .

إن أصعب ما في هذا النوع من الأسئلة ليس الإجابة عنها، إنما اختيار الإجابة التي ترضي الأستاذ الذي يصحح الورقة الامتحانية . وفي الحقيقة فإنك من المطلوب أن تمارس نوعًا متقدمًا من السياسة حيث تقوم بدراسة وتشريح عقلية الأستاذ عوضًا عن المادة العلمية فقط، وذلك من أجل اختيار الأجوبة التي تتوقع أنها تناسب ميله وذوقه . إنني في هذه المقال لا أشير ولا ألمح إلى انتقاد اللجنة المحررة التي وضعت هذا النموذج فلهم كل الاحترام والتقدير .

تحليل عقدي 1 الصورة المرفقة هي ورقة أسئلة امتحان الـComplex analysis 1 في جامعتي، والذي لاحظته هو كون الأسئلة يغلب عليها الطابع المفاهيمي الـTheoretical عوضًا عن الطابع الحسابي، السؤال الأول طريف، وهو يطلب إثبات أن الأعداد المعقدة تمثل مجموعة مفتوحة، خطرت في ذهني 4 طرق لإثبات هذه الدعوى سأرفقها جميعًا .

أثناء كتابتي صياغة رسمية ومجردة لمعنى وشروط التعميم Generalization في أسس الرياضيات وجدت مقالة قديمة كتبتها عن تعميم الدالة الأسية إلى الدالة الأسية العقدية، ففضلت أن أشاركها عوضًا عن حذفها .