Зачем мне эта математика

Собственно, логарифм — это и есть нужный нам математический объект. Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. Обозначается как logₐb. То есть для уравнения вида a^x=b логарифм — это тот самый показатель x, превращатель числа из левой части (a) в число из правой части (b). В записи x=logₐb числа a и b должны быть строго положительным, при этом основание a ещё и не равно 1 (так как единичка в любой степени остаётся единичкой, ничего другого из неё всё равно не получится). Равенство 2⁴=16 можно также воспринимать как «логарифм 16 по основанию 2 равен 4», то есть log₂16=4. У этого логарифма хорошее целое значение — четвёрка. Ну а логарифм 10 по основанию 2 — это иррациональное число, поэтому его так и оставляют: log₂10. Именно это число будет решением уравнения 2^x=10 (потому что превращает 2 в 10). Значение логарифма не обязательно будет целым или положительным, ведь и показатель степени тоже не всегда красивый. Вычислим, например, log₃(1/9). Чтобы получить 1/9, тройку нужно возвести в степень -2, значит, log₃(1/9)=-2. А теперь следите за руками! Так как логарифм — это показатель степени, то его можно в этот самый показатель и записать: a^{logₐb}=b. Полученное выражение называют основным логарифмическим тождеством, оно также есть внизу иллюстрации. Степень logₐb обещает превратить число a в число b — так и происходит! А вот примерчики для вас: вычислите log₄64, log₈₁9, log₅(1/125). Ответы, как всегда, ждём в комментариях под скрытым текстом. В посте с вашими запросами было несколько как раз про логарифмы. Надеемся, что смогли прояснить картину. :) Если нет — то пишите в комменты, что ещё рассказать про логарифмы.

Мы обещали рассказать про логарифмы в рубрике #объясняем_школьное, и вот этот день настал! Начнём немножко издалека. Квадратными, кубическими и прочими уравнениями никого не удивить. Например, бывает нужно решить что-то такое: x⁵ = 20. Но х может быть не только основанием степени, но и показателем. Такие уравнения закономерно называют показательными, в простейшем виде они выглядят примерно так: 2^x=16. Они встречаются повсеместно, особенно много их, например, в биологии и ядерной физике. И вопрос к такому уравнению звучит как «в какую степень нужно возвести число слева, чтобы получить из него число справа». Решим же его! Обычно рецепт прост: представить обе части как степени с одинаковым основанием. Так как 16 — это 2^4, правую часть можно перезаписать, получим 2^x=2^4. Значит, x=4. Проблема в том, что число справа не обязательно будет таким классным. Например, посмотрим на 2^x=10. Уравнение есть, а рационального решения у него нет. Но иррациональное — есть, просто работать с ним неудобно: это же бесконечная непериодическая десятичная дробь. Значит, нужен математический объект, который позволит это решение как-то коротко назвать и записать.

Привет еще раз! 📣 Напоминаем, что 15 мая стартует наш бесплатный двухнедельный марафон по математике. За две недели мы пройдём темы множеств, комбинаторику и теорию вероятностей. Задачи, которые мы разберём, помогут вам в освоении цифровых профессий. Вам не потребуются специальные знания для участия — главное, ваше желание развиваться и открытость новому. 🥳 Для участия в марафоне понадобится примерно 1.5 часа ежедневно. Это отличная возможность интенсивно погрузиться в тему с головой — вас ждёт поддержка наших преподавателей и эфиры с разборами задач, а ещё сообщество других участников! Подробные условия — в этом посте. А вот форма для записи. Ждём вас! 😊

Парадокс двух конвертов Сегодня поговорим об одной из классических задач, в которых математика помогает принять решение. Или не очень помогает. 😅 Есть два конверта с деньгами. Известно, что в одном из них в два раза большая сумма, чем в другом. Но неизвестно, какой из них какой. Конверты непрозрачные и по весу тоже ничего угадать нельзя. Вы открываете один из конвертов, в нём 1000 рублей. Значит, во втором либо 500, либо 2000. После этого вам делают предложение: вы можете забрать эту тысячу прямо сейчас или сменить конверт на другой. Но тогда уже всё, отправляетесь домой со вторым, что бы там ни оказалось. Что же здесь выгоднее: не менять исходный конверт или всё же рискнуть и сменить? Что на этот счёт говорит математика? В реальной жизни люди принимают решения исходя из того, насколько они вообще азартны и является ли первая сумма достаточно большой. Если в первом конверте окажется миллион — то, скорее всего, вы заберёте его, потому что это уже отлиычный выигрыш. Но если там всего 100 рублей, то почему бы не рискнуть? Разница между 50, 100 и 200 психологически не очень большая. Но ведь математика бессердечна, у неё должен быть один ответ для любых сумм. Есть версия, что ответ этот такой: всегда меняйте конверт на второй. Почему так? Если в первом конверте x рублей, то содержимое второго конверта описывается случайной величиной, которая может принимать лишь два значения: 0.5x или 2x. И вероятность каждого из них равна 0.5. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно 0.5x*0.5 + 2x*0.5 = 0.25x + x = 1.25x. Это больше, чем исходный x. Значит, если в первом конверте было 1000 рублей, то во втором конверте в среднем будет 1250 рублей, что больше. А значит, этот вариант выигрышнее, надо брать! На самом деле — нет. 👀 Потому что если вдруг вам дадут возможность сменить конверт сколько угодно раз, то вы как будто всегда должны это делать, ведь это обещает прирост в 25%. И снова, и снова, и конца этому не видно… Или вот пусть есть два человека, и каждому из них дали по конверту из исходной задачи. Стоит ли им оставлять свои конверты или обменяться ими? Стратегия гласит, что каждому из них выгоднее совершить обмен. Однако обмен не может быть выгоден сразу обоим игрокам, это противоречит здравому смыслу. Да что, чёрт побери, не так с этой задачей?! Поверьте, очень многое. :))) Проблем там в итоге больше, чем пользы. Лучшее (хоть и очень эмоциональное) видео на эту тему можно посмотреть здесь. Спойлер решения: всё тлен, разницы нет, можно не менять конверт. Дебаты всё ещё ведутся, но они скорее о том, почему всё неправильно и считать матожидание тут вообще некорректно. В общем, это был плохой парадокс. А скоро расскажем про хороший, где теория вероятностей работает нормально и даёт однозначный ответ.

Вот и подошла к концу короткая рабочая неделя. этого мы принесли вам торт! Или, скорее, кекс. Точнее, видео с алгоритмом его справедливой делёжки на троих человек. Алгоритм несложный, можно брать и применять в жизни, хотя в комментариях к видео люди шутят, что если дейтвительно начать, все уйдут и торт достанется вам целиком… Что ж, тоже неплохо! В общем случае для n человек алгоритм тоже есть, но максимальное количество разрезов будет ну очень большим. Но приятно, что решение есть. :) Подобные задачи на построение стратегий и алгоритмов относятся к теории игр. Это область математики на стыке с экономикой, у неё есть масса очень полезных практических приложений. Про них обязательно расскажем в будущих постах!

Оказывается, последнее число в строке всегда равно выражению (1 / первое число в следующей строке). Тогда можно постепенно сократить записанное: 8/5 = 1 + 3/5, 5/3 = 1 + 1/(1 + 1/2) ⇒ 8/5 = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/2)). Обычно это выражение записывают как многоэтажную дробь. Такое представление называется непрерывная дробь или цепная дробь — и действительно, итоговую дробь мы получили, как бы собирая по цепочке все промежуточные результаты. Через цепную дробь можно выразить любое(!) действительное число, но для рациональных чисел последовательность дробей будет конечной, а вот для иррациональных — бесконечной. Цепную дробь вида a₁ + 1/(a₂+1/(a₃+...)) можно коротко записать так: [a₁; a₂, a₃, a₄, ...] — гораздо более читаемая и компактная запись. С помощью цепных дробей можно находить достаточно точные приближения иррационалных чисел: например, если рассмотреть всего лишь первые два символа бесконечной цепной дроби, которая равняется числу π (то есть, дробь [3; 7]), получится число 22/7, которое приближает первые три знака числа π — достаточно хорошая точность. Приближения иррациональных чисел — не единственная задача, с которой помогают цепные дроби. Они применяются в комплексном анализе и в криптографии. Одним словом, полезная и красивая вещь! Чтобы закрепить, предлагаем вам посчитать представление двух рациональных чисел в виде цепных дробей: 415/93 и 740785/516901. Ответы, как всегда, ждём в комментариях под скрытым текстом.

Недавно мы говорили про алгоритм Евклида, который используется для поиска наибольшего общего делителя. Сегодня расскажем вам про концепцию, которая появилась как раз благодаря этому алгоритму. Давайте для начала немного переформулируем сам алгоритм. Для этого заметим такой факт: если мы вычитаем из числа b число a n раз, пока не получится, что 0

Друзья, у нас отличные новости! 🎉 С 15 мая по 30 мая мы запускаем бесплатный марафон по математике для подписчиков нашего канала. Это значит, что в течение двух недель у вас будет возможность в интенсивном режиме проходить задания тренажёра — с поддержкой наших преподавателей и в классной компании! Это отличный способ получить мотивацию для изучения новых тем, если вы ещё не знакомы с тренажёром по основам математики для цифровых профессий, сомневаетесь в своих знаниях и хотите подтянуть их для использования в таких областях, как анализ данных. На марафоне мы рассмотрим тему множеств, комбинаторику и теорию вероятностей в базовом понимании. Правда, если вы уже хорошо в них ориентируетесь, или проходили уроки из тренажёра «Основы математики для цифровых профессий», модуля «Спецкурс для аналитиков», много нового, возможно, на марафоне вы не узнаете. 🧠 Каждый день, включая выходные, вы будете проходить по одному уроку в специальном тренажёре. Участие потребует примерно 1,5 часа свободного времени каждый день. Отложить уроки на потом не получится — если вы не успеете в один день сделать урок, марафон придётся покинуть. Участникам марафона можно будет делиться ходом решения задач в чате, а команда преподавателей и куратор будут помогать вам на всех этапах. Во время марафона мы проведём несколько закрытых эфиров с разбором тем, и участники смогут задавать вопросы по урокам. Отвечать будут наши преподаватели, которые занимались составлением тренажёра. Самые упорные участники, которые пройдут марафон до конца, получат скидку на курсы по математике и анализу данных. 🏆 Хотите участвовать? Оставьте свои контакты в форме для сбора заявок. И мы добавим вас в закрытую группу для участников марафона.

Есть довольно много способов найти НОД, сегодня мы разберем довольно простой и, на первый взгляд, магический способ: алгоритм Евклида. Работает этот алгоритм так: 1) Пусть есть два числа, a и b, причем a<b, и мы хотим посчитать НОД(a, b). Посчитаем значение b-a, пусть оно равняется числу r. Алгоритм утверждает, что НОД(a, b) = НОД(a, r). 2) Дальше поступаем аналогичным образом: из большего числа вычитаем меньшее, и заменяем большее число на эту разность. 3) Остановиться нужно в тот момент, когда одно из чисел будет нацело делиться на другое — вот меньшее из этих двух и будет являться НОДом для исходной пары чисел. На словах сложновато, давайте рассмотрим пример. Каждый раз заменяем большее число на разность. НОД(1955, 714) = НОД(1241, 714) = НОД(527, 714) = НОД(527, 187) = НОД(340, 187) = НОД(153, 187) = НОД(153, 34) = НОД(119, 34) = НОД(85, 34) = НОД(51, 34) = НОД(17, 34) = 17. И действительно, 1955 = 5*17*23, а 714 = 2*3*7*17. Но как же это работает? У каждого числа существует разложение на простые множители. Мы его тут явно не используем, но оно есть. Давайте скажем, что у чисел a и b наибольший общий делитель равен k. Тогда пусть a=k*x, b=k*y. Если b-a=r, то можно выразить r так: r = k*y - k*x = k*(y-x). Получается, при такой операции мы сохраняем НОД чисел в качестве одного из множителей на каждом шаге. А вот разность y-x дойдёт до нуля, просто мы заканчиваем алгоритм раньше. Этот алгоритм работает не только для пар чисел: если их больше, то можно вычислить НОД первых двух, а потом НОД первого НОДа и третьего числа — и так далее. На прикладном уровне это нужно, к примеру, для решения диофантовых уравнений, а также для цепных дробей. А они используются в криптографических алгоритмах: защищают данные вашей банковской карты и фотографии в смартфоне. Про цепные дроби мы ещё расскажем подробнее. Задачка для вас — посчитать НОД(3105, 2254). Ответы пишите в комментарии под скрытым текстом.

Когда мы работаем с обыкновенными дробями, в числителе и знаменателе часто получаются очень большие числа, с которыми не очень удобно работать. На помощь приходит основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно разделить на одно и то же число, тогда дробь упростится, а значение её не изменится. Но как узнать, на что можно сократить нацело? На помощь приходит наибольший общий делитель этих чисел, или, сокращенно, НОД.

Другой взгляд на векторы Выходя из дома, вы делаете выбор, в какую сторону пойти. С точки зрения ваших ног разницы, куда шагать, нет. С точки зрения конечной цели — ещё какая. Чтобы дойти из пункта A в пункт B, нужно определить не только длину маршрута, но и его направление. В математике за это отвечают векторы. В частности, в геометрии вектором называют направленный отрезок, для которого известно, где его начало, а где конец. Такое представление о векторах вам, скорее всего, хорошо знакомо. Для обозначения вектора используют латинские буквы со стрелочкой над ними: либо одной строчной a, либо двумя заглавными AB, где первая буква означает начало, вторая конец. В отличие от отрезков, AB и BA — это разные векторы. Итак, вы стоите в пункте A. Как и любое другое место на плоскости или другой двумерной поверхности, его можно описать с помощью координат. Пункт B — другое место со своим набором координат. А разность координат этих двух точек — это координаты вектора AB. В некотором смысле, координаты вектора — это рассказ о том, чего этот вектор «добился»: куда и насколько сильно его конечная точка сместилась относительно начальной. Значит, вектор AB — это ещё и набор чисел, который описывает ваш путь. Так мы получаем ещё одно определение вектора. В алгебре вектор — это упорядоченный набор числовых данных, например: (5, 7, 18). Этими данными может быть что угодно: и координаты Марса в космосе, и время будильников, и оценки по математике, и закодированные с помощью чисел слова из отзывов на плюшевого мишку. Любая информация кодируется в наборы чисел — то есть в векторы. Почему же векторы так удобны? Во-первых, превращение данных в наборы чисел позволяет структурировать информацию. А во-вторых — с ними можно выполнять различные математические операции: складывать, вычитать, умножать, находить их длину и расстояние между разными векторами. Это бывает полезно. :) Именно поэтому векторы лежат в основе всего анализа данных! А про операции с векторами мы ещё поговорим в следующих постах.

Сложные раскраски В январе мы рассказывали вам про теорему о четырёх красках и предлагали раскрасить ёлочку. Сегодня продолжим и снова предложим порисовать. В Америке с 19 века и по сей день выпускается научно-популярный журнал Scientific American. В него писал заметки математик-любитель Мартин Гарднер, великий популярзатор. Вы можете знать его по комментариям к Кэрролловской «Алисе», но его вклад в математику поистине огромен: своими статьями он взрастил интерес к науке у целого поколения читателей. Его заметки выходили на протяжении 25 лет. Гарднер был большим фанатом теоремы о четырёх красках, у него даже есть фантастический рассказ «Остров пяти красок». Однажды в качестве первоапрельской шутки он опубликовал в журнале карту, которую якобы нельзя раскрасить лишь в 4 цвета. На самом деле, конечно, можно, хоть задачка эта и не из простых. Предлагаем вам раскрасить её и другие карты на сайте «Математических Этюдов». Там вас ждут пять несложных карт, затем та самая от Мартина Гарднера, и потом ещё одна — карта звёздного неба. Рекомендуем раскрашивать с компьютера. Присылайте свои варианты последних двух карт в комментарии (картинки тоже можно прятать под спойлер) — потом сравним результаты. :)

Сегодня поговорим про два ряда: тот, что из анекдота и ещё один — он называется гармоническим. Кстати, название «гармонический» пришло в математику из музыки — такое вот смешение наук! Для обозначения длинных сумм используется заглавная греческая буква сигма, Σ. Наверняка такую запись вы уже видели: под сигмой записана нижняя граница (в данном случае, 0 или 1) над сигмой — верхняя, (в данном случае это ∞), а правее указан общий вид слагаемых. Кажется, что сумма бесконечного числа слагаемых всегда будет бесконечной — зачем вообще заниматься такими штуками? На самом деле, всё не так просто. Даже если рассматривать только ряды с положительными слагаемыми, будет много случаев, когда в итоге получится вполне конечная сумма — про такие ряды говорят, что они сходятся. Вернёмся к анекдоту из начала: можно заметить, что каждое следующее число было в два раза меньше предыдущего: 1, 1/2, 1/4, …. Если просуммировать все эти числа (которых будет бесконечное число!), то получится ровно 2. Есть разные доказательства этого факта, вот, например, видео, где приведены алгебраическое и геометрическое. Там правда рассматривают ряд, который начинается не с 1, а сразу с 1/2 — но и ответ на единичку меньше, так что всё в порядке. Вот мы и нашли бесконечный ряд, сумма которого — не бесконечность! А теперь посмотрим на очень похожую, на первый взгляд, сумму: сначала возьмём 1, потом 1/2, 1/3, 1/4 и так далее — в знаменатель последовательно ставим все натуральные числа. Сходится ли такой ряд? На самом деле, нет: начиная с какого-то момента сумма этого ряда будет больше любого числа, какое бы мы ни выбрали. Поверить в это сложно, ведь ряд растёт ну ооочень медленно: чтобы получить суммарный результат больше 100, нужно взять примерно 10⁴⁴ слагаемых. 😅 Классическое доказательство расходимости гармонического ряда приведём в комментариях, заглядывайте! Примечательно, что если бы числа в знаменателе были возведены в какую-то степень, большую 1 (подойдет даже степень 1.1), то ряд бы сошёлся — но это уже совсем другая история. ☺️

Заходит как-то бесконечное число математиков в бар. Первый просит кружку… скажем, яблочного сока. Второй — половину кружки. Третий просит четверть кружки. Бармен решил с этим не разбираться, налил им две кружки на всех и пошел обслуживать других клиентов. К чему был этот математический анекдот? К теме нашего сегодняшнего поста — ряды или, как их ещё называют, бесконечные суммы. Когда мы хотим найти сумму двух, трех, четырех, … — в общем, конечного числа слагаемых, все понятно: берём числа, по очереди прибавляем, ничего необычного. А что делать, если слагаемых бесконечное количество? Как посчитать их сумму? Так вообще можно делать? Давайте разбираться.

Как освоить новую сложную профессию без технического бэкграунда и найти хорошую работу? Выпускник Яндекс Практикума Иван Рычков, аналитик данных, делится своим опытом: «Я живое доказательство, что обычному человеку это доступно, даже если он не математик и не программист со стажем 10 лет. Бэкграунд у меня гуманитарный, творческий. Хотя профессия частично и техническая, я звукорежиссёр по образованию. Считаю, что мне очень повезло: чуть больше, чем за 2 года с начала обучения я попал на работу в Яндекс. Забегая вперёд, скажу так: самое главное — найти такое дело, которым ты не можешь не заниматься. Для меня этим делом стала аналитика, хотя я и не подозревал об этом раньше. А когда прошёл вводную часть курса — затянуло так, что не отпускает до сих пор». Попробуйте и вы! Вводная часть курса «Аналитик данных» бесплатна и доступна по ссылке.

На иллюстрации к посту изображён треугольник Серпинского. Этот фрактал строят так: - из закрашенного треугольника выкидывают «серединку» в виде перевёрнутого в два раза меньшего треугольника; - потом из трёх оставшихся кусочков тоже выкидывают треугольные перевёрнутые «серединки» — и так бесконечное число раз. 😅 Представим, что нам как-то удалось смастерить из железной пластинки такой фрактал. Пусть сторона треугольника Серпинского равна 1, а его масса равна x. Чему будет равна масса такого треугольника со стороной 2? Посмотрите на иллюстрацию к посту. На ней хорошо видно, что чтобы получить новый треугольник, надо объединить три одинаковых исходных треугольника. Получится один большой — тоже без серединки. Значит, и масса возрастёт в 3 раза. Не в 2, не в 4, не в 8, а в 3. Но ведь 3 — это не степень двойки… Ага, 3=2^{log₂3} — в показателе стоит логарифм числа 3 по основанию 2. И именно числу log₂3 равна размерность данного фрактала. Она нецелая и примерно равна 1.585. Вот такие пирожки с фракталами. Если интересно и хотите ещё про них — вот отличное видео.

Нецелая размерность фракталов Сегодня поговорим о том, про что уже давно было пора — про фракталы. Потому что, во-первых, это красиво! А во-вторых — очень увлекательно. Начнём с определения (одного из): фрактал — это бесконечная самоподобная фигура. Представьте, что у вас есть дерево, каждая веточка которого — точная уменьшенная копия этого дерева, сколько ни зумь! Но это в теории. В реальности же фракталы не столь идеальны и уж точно не всегда бесконечны. Занимательный факт про фракталы: у них нецелая размерность. Что это значит? Давайте сравним фракталы с одномерными, двумерными и трёхмерными фигурами. Представим, что эти фигуры сделаны из железа и обладают массой — она будет нам важна. Начнём с одномерного отрезка. Что его одномерность значит с математической точки зрения? Пусть тонкий железный прут длины 1 имеет некую массу x, тогда такой же прут длины 2 имеет массу в 2 раза больше. Во сколько раз увеличилась длина — во столько же и масса. Теперь возьмём тонкую квадратную пластину. Если мы увеличим сторону квадрата в 2 раза, то его площадь увеличится в 4 раза. И масса пластины, как следствие, тоже увеличится в 4 раза. Затем возьмём железный кубик. При увеличении его ребра в 2 раза, объём увеличится в 8 раз, поэтому масса тоже увеличится в 8. Каждый раз при увеличении ребра фигуры в 2 раза, масса увеличивалась в 2^{размерность пространства} раз. У отрезка в 2¹, у квадрата в 2², у кубика в 2³. Во всех случаях показатели степени были целыми числами. А в какую степень придётся возводить для получения массы нового фрактала? В каждом случае будет свой ответ, сегодня рассмотрим один известный.

Есть учёные, которые занимаются математикой из любопытства. Их увлекают теоретические исследования, абстракции и доказательства. Другие больше интересуются применением математики и моделируют реальные явления математическими инструментами. Но все вместе они создают огромный математический мир — прекрасный в своём многообразии. 🥰 Посмотрите видео, в котором рассказывают о карте математики, и убедитесь сами. 😇 Всем классных выходных!

Привет! Сегодня в 19:00 состоится разбор задач из первоапрельского квиза. Разбирать их будет Артём, преподаватель курса «Математика для анализа данных». Приходите послушать, даже если вы не решали задачи — всегда приятно поговорить о математике. К тому же, Артём классный и понятно объясняет. 😇 Вход по ссылке.

Число пи и ваш день рождения Вокруг числа π ходит так много легенд! Причина понятна — оно является бесконечной непериодической дробью (что уже непросто осознать), но при этом регулярно вылезает в геометрии, теории чисел и вообще почти любой области математики. Людям настолько нравится число π, что у него вычислены уже первые 100 триллионов знаков. Говорят, в нём сокрыт смысл всего мироздания… Насчёт этого не подскажем, но что точно спряталось в знаках после запятой, так это ваш день рождения! Не верите? Всё уже посчитано! Любой день рождения можно записать в формате шестизначного числа как ДДММГГ. И вот дело в том, что среди уже вычисленных триллионов знаков числа π встречается абсолютно любое шестизначное число. Это узнали скучным перебором (не вручную, конечно). А раз там есть любое шестизначное число — и ваш день рождения тоже найдётся! Узнать, где же именно спрятана ваша знаменательная дата, можно на сайте. Например, сегодня 12 апреля 2023 года (кстати, с Днём Космонавтики!). Число 120423 находится на позиции номер 734 470 после запятой. А что будет, если брать не шестизначные числа, а более длинные? Все ли они встретятся среди «хвоста» числа π? Никто не знает — пока не доказано, содержит ли десятичная запись π любое конечное число. Впрочем, не доказано и обратного.