Зачем мне эта математика

Раскрасить ёлочку по-математически 🎄 Как вы, в дедлайнах? Предлагаем отвлечься на несколько минут и зарядиться новогодним духом — раскрасить ёлочку! Условия: 1) Любые две области с общей стороной должны быть разного цвета. Если у областей общая только одна точка, их можно раскрасить одинаково. 2) Фон картины — это тоже область, которую нужно закрасить. 3) Самое интересное — используйте не больше 4 цветов. Меньше — можно! Причём тут математика К раскраске есть теорема — теорема о четырёх красках. Она гарантирует, что для раскрашивания карты по этим условиям четырёх цветов будет достаточно. В теореме есть несколько формальных ограничений, но на вид карты — нет! Так что ёлочка — это вполне себе математическая карта. Сколькими цветами получится раскрасить её у вас? Раскрашенными елями делитесь в комментариях под спойлером. Ждём ваши ёлочки 🥰

🎶 Решим пятничную задачу про мюзиклы. Вероятности выигрыша и проигрыша в каждой номинации Так как у нас нет дополнительной информации, считаем, что вероятности выиграть одинаковы для всех претендентов. Всего их 4 в каждой номинации, значит: • вероятность выигрыша для каждого участника равна 1/4=0.25, • вероятность проигрыша равна 0.75. 1) Ситуация «выиграть хотя бы 3 Тони» Сделать это можно многими способами: можно одержать 3, 4 или любое другое большее число побед. А вот НЕ сделать это — проще: нам не подойдут ситуации только с 0, 1 и 2 победами. Так что исключим неподходящие варианты: P(выиграть хотя бы 3) = = 1 - Р(выиграть 0) - Р(выиграть 1) - Р(выиграть 2). Посчитаем каждое вычитаемое ❄️ Не выиграть ничего можно только одним способом — проиграть во всех номинациях. Вероятность 0.75¹². ❄️ Выиграть 1 премию можно 12 способами — выиграть в какой-то одной и проиграть во всех остальных. Вероятность 12⋅0.25⋅0.75¹¹ ❄️ Взять 2 награды — разными способами. Их количество — это число сочетаний из 12 по 2. Оно равно: (12⋅11)/2 = 66. Вероятность: 66⋅0.25²⋅0.75¹⁰. Соберём всё вместе P(выиграть хотя бы 3) = = 1 - 0.75¹² - 12⋅0.25⋅0.75¹¹ - 66⋅0.25²⋅0.75¹⁰ ≈ 0.609. Вероятность взять хотя бы 3 Тони — примерно 61%. Неплохо! И звучит логично: если у мюзикла 12 номинаций, то вряд ли он выиграет мало или вообще ничего. Но это в абстрактном математическом мире, конечно же. - - - Остальные случаи разобрали в комментариях. Подробнее о сочетаниях — в посте.

Задача про мюзиклы Мюзиклы «Заснеженные» и «Мышки» номинированы на премию Тони в 12 категориях каждый. Причём это одни и те же категории. В каждой из категорий — по 4 номинанта и может быть только 1 победитель. 1) Какова вероятность, что «Заснеженные» выиграет хотя бы 3 Тони? 2) Какова вероятность, что оба мюзикла выиграют ровно по 3 Тони? 3) Какова вероятность, что мюзикл «Мышки» выиграет больше премий, чем «Заснеженные»? Задача выглядит несложной, но тут есть, над чем подумать!  Ждём ваших решений в комментариях под скрытым текстом. Решение опубликуем во вторник.

Распределение Бернулли Это второй пост про распределения. В первом мы рассказали о равномерном дискретном. Два возможных исхода Подбросим монетку. У неё две стороны, поэтому такой эксперимент имеет всего два исхода: «орёл» и «решка». Исход эксперимента описывает случайная величина X. Пусть нас интересует выпадение орла. Тогда: - если орёл выпал, X примет значение 1; - если выпала решка, X примет значение 0. Ситуации с двумя исходами часто встречаются в жизни: пойдёт рынок акций в рост или нет, примут кандидата на работу или нет, будут ли сегодня в офисе сырки со сгущёнкой или нет и так далее. Успех и неудача Принято говорить, что событие {X=1} соответствует «успеху», а событие {X=0} — «неудаче» или «неуспеху». Эти названия условные и не связаны с бытовым пониманием успеха. Например, пусть X описывает, пойдёт ли снег. В математике снежная погода {X=1} будет успехом, а вот в жизни — кому как. 😁 Вероятность успеха равна числу p (причём 0⩽p⩽1), тогда вероятность неудачи равна 1-p. Сумма вероятностей обязательно должна быть равная 1. Такое распределение с двумя исходами называют распределением Бернулли. Обозначают X~Bern(p) или X~Bernoulli(p). Например, X~Bern(0.7) — случайная величина, определяющая, пойдёт ли утром снег. Значит, снег пойдёт с вероятностью 0.7 и не пойдёт с вероятностью 0.3. X~Bern(0.5) — случайная величина, описывающая выпадение орла на честной монетке. Нюанс Ситуации могут быть сложнее и, на первый взгляд, иметь больше 2 исходов. Но это как посмотреть. 😉 Например, в киндере могут попасться 15 разных бегемотиков, но мы ждём конкретного для коллекции. Если обнаружим именно его — обрадуемся, а любого другого — нет. Кажется, что исходов много, но нас интересует только нужный бегемотик или его отсутствие — так что исхода 2. Ещё пример — погода может быть разной, а фермера интересует только, будет град или нет, потому что именно он наносит критический ущерб. Все эти ситуации описываются распределением Бернулли. Вопрос А где вы сегодня встречались с распределением Бернулли? Делитесь в комментариях своими ситуациями! Мы начнём ⤵️

Первый День математика в России В этом году у нас впервые будет официально отмечаться День математика! Когда Датой праздника выбрано 1 декабря (завтра). Это день рождения выдающегося русского математика Николая Лобачевского. Мероприятия запланированы на целую неделю! Если математики что-то начинают, то делают это обстоятельно. Что будет Много чего! Будут и конференции, и олимпиады, и мероприятия на широкую аудиторию. И даже в разных городах: в Москве, Нижнем Новгороде, Казани, Майкопе и др. Часть мероприятий пройдут онлайн, так что можно отпраздновать и из дома, если погода вам не по душе 😉 Подробнее о мероприятиях — на сайте. Что делать Участвовать! В это серое время года любой праздник прекрасен, а уж математический — тем более! 🥰

Вчера мы поговорили про НОД, а теперь встречайте НОК! Что это такое НОК — наименьшее общее кратное нескольких чисел. То есть такое наименьшее число, которое делится нацело на всех присутствующих. Например, НОК(7; 11) = 77, а НОК(12; 8) = 24. И если НОД был «самым большим среди маленьких», то НОК — «самый маленький среди больших». Как найти НОК 1. Разложить все числа на простые множители. 2. Одно число взять целиком. 3. Из второго и всех последующих добирать только недостающие множители. Пример Найдём НОК(12; 8). Разложим: 12 = 2⋅2⋅3; 8 = 2⋅2⋅2. Берём первое число целиком — 2⋅2⋅3. Из второго добираем недостающее — это третья 2. Значит, НОК (12; 8) = 2⋅2⋅3⋅2 = 24. Жизненная аналогия Поиск НОК похож на покупку продуктов по длинному списку. В первом магазине вы возьмёте всё, что найдёте. А в остальных магазинах уже будете докупать недостающее. При этом если вам нужно было две упаковки макарон, но в первом магазине была только одна — вы её купите, но докупить вторую тоже будет нужно. Зачем это надо При сложении и вычитании быкновенных дробей нужно находить их общий знаменатель — и это как раз НОК исходных знаменателей. Часто для несложных вычислений типа 1/12 + 1/8 в качестве общего знаменателя берут 12⋅8. Такой знаменатель точно будет общим, хоть и не наименьшим — однако на небольших числах это не критично. Но когда в знаменателях стоят 6615 и 2079 — НОК точно будет полезен. А ещё НОК пригодится в жизни — смотрите в задачах! Задачи 1) Компания из 5 друзей собирается в кафе. Один участник не уверен, что придёт, так что на встрече могут оказаться всего 4 человека. На сколько кусков нужно разрезать пиццу, чтобы их можно было поровну распределить и на 4, и на 5 человек? 2) Какой наименьшей длины должна быть подарочная лента, чтобы её можно было без обрезков разрезать на кусочки и по 56 см, и по 68 см? 3) В звёздной системе есть три планеты. Их периоды обращения вокруг этой звезды равны 8, 20 и 27 лет. Раз во сколько лет будет случаться парад планет?

НОД и НОК — звучат похоже, а означают разное! Сегодня расскажем про НОД, а завтра — про НОК. Что такое НОД НОД — наибольший общий делитель нескольких чисел. Например, числа 12 и 18 делятся на 2 и на 6. Вот 6 как раз и будет наибольшим общим делителем. Если чисел три, то надо найти максимальное число, на которое делятся все три. Например, НОД для 12, 18 и 21 будет равен 3. Иногда у чисел нет совсем ничего общего — как у пары 5 и 21. НОД таких чисел равен 1, на единицу-то все делятся. Запись Записывают так: НОД(12; 18)=6, НОД(12; 18; 21)=3, НОД (5; 21)=1. Аналогия НОД — это такой максимальный «базовый» множитель, который есть во всех представленных числах. Он — как дорожная косметичка. Базовый набор из зубной щётки, пасты и дезодоранта берём всегда, а вот остальное закидываем в чемодан по ситуации. Почему наибольший Наименьший общий множитель нескольких чисел всегда равен 1 — это тривиальный случай, изучать его бессмысленно. А вот найти наибольший — интересная и полезная задача! В чём польза 1) Находить общее у двух разных чисел — это красиво. Эдакая математическая романтика. 2) Вычисления становятся проще. Например, НОД помогает сокращать дроби. 3) НОД помогает найти взаимно простые числа. Если наибольший общий делитель чисел равен 1, то числа взаимно просты. 4) НОД помогает нам с… конфиденциальностью! Работа шифрования с открытым ключом, электронных подписей и т.п. завязана на алгоритме Евклида. И он как раз построен на нахождении НОД. Куда же без задач 😇 1) На стене квадратной плиткой выложили мозаику размерами 195x156 см. Чему равна максимальная сторона плитки? 2) Планета вращается вокруг собственной оси. Астроном заметил, что через 84ч и через 315ч после начала наблюдения планета оказалась в одинаковом положении. Какова максимальная длина суток на этой планете? 3) Сушист готовил роллы и потратил на них 280г морских водорослей, 490г риса и 455г рыбы. Какое число максимально больших одинаковых он мог получить из этих продуктов? Ответы пишите в комментариях под скрытым текстом.

Равномерное дискретное распределение 🎲 Это самый простой вариант — когда вероятности всех значений одинаковы. Например, при броске кубика выпадения каждого числа равновероятны. Во всех случаях вероятности значений одинаковы. Пусть X — случайная величина, k — какое-то конкретное значение, которое она приняла. Формула. P(X=k)=1/n, где n — количество возможных значений случайной величины X. Например, для кубика P(X=k)=1/6. Если же наши данные (возможные значения) лежат в промежутке от a до b, то формула выглядит немного иначе: P(X=k)=1/n, где n=b-a+1 — количество возможных значений величины X. Обозначают равномерное распределение так: X~U(a, b) от английского Uniform — «равномерный». Например, вы раздаёте лотерейные билеты с номерами от 100 до 999. Найдём вероятность, что случайный билет выиграет: a=100, b=999, n=b-a+1=999-100+1=900, P(X=k)=1/900. Применение. Распределение простое, но очень полезное! С его помощью: - Генерируют случайные числа — например, для розыгрышей в соцсетях. - Начинают моделирование. Бывает, система сложная и непонятно, как всё учесть. Начинают с простого — как раз с равномерного распределения. Изучают результаты, а затем становится понятно, как и куда улучшать модель. Такой подход используют в сетевом анализе, телекоммуникациях и логистике. Когда не подходит. Тоже всё просто — если вероятности исходов не одинаковые. Например, нам попался кубик с одной тяжёлой стороной, на котором с вероятностью 0.5 выпадает 5 очков. --- Это первый пост из серии о распределениях, постепенно расскажем про все основные!

Как анализировать данные в статистике Есть два подхода: эмпирический и теоретический. Эмпирический путь — это сформировать выборку и измерить показатели. Например, мы взяли 600 жирафов и измерили у каждого длину шеи. По измерениям можно оценить вероятности для разных наблюдений. Подход эффективен, когда легко получить измерения. Проблема подхода в том, что нужно много данных, чтобы получились надёжные результаты. Например, если у нас всего 6 жирафов, то измерений будет мало и сделать разумные выводы по ним сложно. Теоретический подход — это построить теоретическую модель. То есть определить, какая формула позволит достаточно точно оценить вероятность событий. И использовать уже эту формулу. Преимущества подхода — модель определяется небольшим числом параметров, не нужно много измерений. Сложности — корректно подобрать формулу. Выбор конкретной формулы зависит от распределения и типа данных. Часто случайная величина принимает только целые (или даже натуральные) значения, например количество людей в очереди. Сегодня рассмотрим одно из распределений ⬇️

Бесконечная или конечная? В математике немало парадоксов — ситуаций, когда вычисления на первый взгляд расходятся со здравым смыслом. 🥦 Вот, например, фракталы. Их периметр бесконечен. Казалось бы, и площадь должна быть бесконечной — а вот нет! Она ограничена конечным числом. 📊 Или несобственные интегралы. Страшные звери, но красиво парадоксальные. Если простым языком — это когда кривая бесконечна, а площадь под ней — внезапно конечна. В 3D тоже есть такие парадоксы 📯 Пусть есть длинная объёмная фигура, похожая на горн (чего только не изучают эти математики 😅). Площадь этой фигуры бесконечна, то есть покрасить её — никакой краски не хватит! А вот объём конечен, более того — он равен… числу пи. Подробнее об этом горне — в замечательном видео. Небольшое уточнение Если вы такие же душнилы, как и мы у вас возникнет вопрос, почему мы во второй раз не интегрируем снова по dx, отвечаем: так тоже можно, это чуть грубее (так как мы будем рассматривать ровные куски цилиндра), но ответ всё равно будет бесконечный. Дружественные ссылки • Наше видео про фрактальность береговой линии Великобритании, • Платный курс «Математика для анализа данных», в котором вы подробно разберётесь во всяких интегралах (в том числе несобственных!) и научитесь применять их в анализе данных и Data Science.

Решим пятничную задачу про успокаивающий плейлист. Пользователи образуют множества, их можно представить диаграммой — как на иллюстрации к посту. Нам известны какие-то фрагменты данных, но они пересекаются! Надо найти общее количество пользователей без пересечений. С формулой Задачу легко решить с помощью формулы включений-исключений! Понадобится обозначение: через |X| обозначается мощность множества X, в данном случае это просто количество элементов в этом множестве. Для трёх множеств формула включений-исключений выглядит так: |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|. По ней общее количество пользователей в статистике равно: 100+85+90-48-15-39+10=183. Без формулы тоже можно! Нужно найти общее число пользователей. Посмотрим ещё раз, сколько их всего. 100 человек лайкнули «Звуки воды», 85 — «Треск камина», 90 человек — «Шум леса». При этом часть пользователей лайкнули больше одного плейлиста: 48 — и за «Звуки воды», и за «Треск камина»; 15 — и за «Треск камина», и за «Шум леса»; 39 — и за «Звуки воды», и за «Шум леса»; 10 — за все три плейлиста. 10 человек — это пересечение трёх множеств сразу. Эта десятка учтена в каждом попарном пересечении множеств. Значит, ровно два плейлиста лайкнули 48-10=38, 15-10=5 и 39-10=29 человек соответственно. Чтобы найти, сколько человек лайкнули ровно один плейлист, нужно вычесть все пересечения. Только «Звуки воды»: 100-29-38-10=23 человека. Только «Треск камина»: 85-38-5-10=32 человека. Только «Шум леса»: 90-29-5-10=46 человек. Чтобы найти общее количество пользователей, нужно сложить все фрагменты. 46+32+23+29+38+5+10=183. Именно столько человек обрели спокойный сон благодаря плейлистам. Приятных сновидений и вам!

Задача про плейлист на сон грядущий 🎶 Три часа ночи. Валя не может уснуть, все овцы уже пересчитаны. Последняя надежда — успокаивающий плейлист. Онлайн-сервис музыки предлагает подборку расслабляющих плейлистов, популярных на этой неделе. • 100 человек лайкнули «Звуки воды»; • 85 человек — «Треск камина»; • 90 человек — «Шум леса». При этом часть пользователей лайкнули больше одного плейлиста: • 48 человек и за «Звуки воды», и за «Треск камина»; • 15 человек и за «Треск камина», и за «Шум леса»; • 39 человек и за «Звуки воды», и за «Шум леса»; • 10 человек за все три плейлиста. Те, кто лайкнул все три, обязательно лайкнули и какие-то два, то есть входят в каждую из перечисленных выше групп. Валя задумалась, а сколько всего пользователей попали в эту статистику? Ждём ваши решения под скрытым текстом, разбор опубликуем в понедельник.

Подборка книг и задачников по основам математики Привет! Несколько раз нас просили посоветовать книжки и задачники, которые помогут дополнительно поупражняться по темам из нашего бесплатного тренажёра по математике. Вот подборка — сохраняйте, чтобы не потерять. 🥰 Числа, дроби, алгебра 🟠3000 конкурсных задач — книга с задачами и примерами разной сложности. Разбиты по темам, можно выбрать нужное. 🟠Электронная версия задачника 19го века, эти задачи предполагалось решать в уме. Достойный челлендж, не сомневайтесь! Множества и логика 🔴Основы дискретной математики — учебник, который покрывает те основы, которые дают в вузе. Теория дана коротко, зато есть много примеров, которые можно прорешивать. 🔴Математическая логика — задачник. Посмотрите упражнения на таблицы истинности и равносильные преобразованиия. 🔴Очень милый задачник с несложными задачами для разогрева! В нём есть и комбинаторные задачи. Комбинаторика 🟢Комбинаторика, Виленкин (а точнее Виленкины) — поистине великая книга. Настоящий научпоп — доступно описаны разные комбинаторные термины и проблемы. Заход идёт через практические задачи. 🟢Классно сделанный пдф-конспект лекций А. Райгородского, есть примеры. Основы комбинаторики — в первых 4 лекциях. Дальше тоже увлекательно, но сложнее. Здесь более формальное изложение. Теория вероятнотей 🔵50 занимательных вероятностных задач. Книжка старенькая, но прикольная. Сначала идут задачи, а потом подробные решения. Бонусы 🔴Статистика и котики. Не задачник, а книга по теории, но зато всё объясняется на примере котиков, ага. 🐱 Отлично сочетается с нашим бесплатным курсом «Основы статистики и A/B-тестирования». 🔴Книга с математическими терминами на английском языке. Небольшая. Пригодится, если хотите читать статьи в оригинале, ну и для англоязычных видео, ссылки на которые мы часто даём. Хорошей вам отработки и приятного чтения!

Новость из мира простых чисел Для начала немного контекста, а все ссылки — в конце поста. Математики постоянно ищут новые простые числа (те, которые делятся только на 1 и на себя). Это настолько значимый вопрос, что о наибольшем известном простом числе даже есть статья в Википедии. Первые простые числа можно найти обычным перебором. Потом они попадаются всё реже, а перебрать все на свете числа невозможно. Поэтому математики разрабатывают тесты простоты, улучшают их, чтобы они работали быстрее и оптимальнее. Некоторые «поиски» организуют компании. Другие — волонтёры. Энтузиасты на своих личных компьютерах проверяют числа на простоту. А что — это весело и можно вписать своё имя в историю! 🥳 Событие 🥳 На днях было найдено новое число-рекордсмен! Оно почти в два раза длиннее предыдущего самого большого известного простого. Это число 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹-1, в нём 41 024 320 цифр. Подробности Посмотреть на это число (да, на весь 41 миллион цифр) можно в видео. А ещё в нём немного рассказывается о том, как это число нашли. Спойлер: здесь замешана малая теорема Ферма. А в качестве вычислительных мощностей использовали 24 сервера с gpu — графическими процессорами, находящихся в 15 разных странах, объединённых в своеобразный облачный суперкомпьютер. И да, это тот случай, когда найденное число впечатляет, но сама технология организации поиска, возможно, даже интереснее. 🤓 Ссылки - Видео о новом событии - Статья о наибольшем известном простом числе в Википедии (её уже обновили) - Подборка постов о простых числах (в том числе о малой теореме Ферма) - Сайт, с помощью которого волонтёры ищут простые числа

Разберём пятничную задачу про разрезание пиццы. Начало — в посте, а продолжение — на карточках👆 Оценим сверху количество кусочков. Если разрез проходит через все существующие на каком-то этапе кусочки, то он делит каждый из них на 2 и таким образом удваивает количество кусочков. Так что после первого разреза может быть максимум 2 куска, после второго — не больше 4, после третьего — не больше 8 кусочков. Посмотрим, достижима ли оценка 8. Чтобы получить максимум в 8 кусочков, нужно каждым разрезом проходить по всем кусочкам, существующим на данном шаге. Посмотрим, что дальше?

Кусочки пиццы 🍕 Задача на сегодня — разделить пиццу, но ровно тремя прямыми разрезами. Куски могут быть разного размера. Какое максимальное количество кусков может при этом получиться? Между разрезаниями передвигать кусочки нельзя. Пиццу считаем плоским кругом. 😁 Ваши решения ждём в комментариях под скрытым текстом. Разбор опубликуем в понедельник.

Где на параболе комплексные числа? 📝 Решить квадратное уравнение можно по-разному. Навскидку вспоминаются три способа: дискриминант, теорема Виета и графический. 📏 Графический способ прекрасен своей наглядностью. Где парабола пересекает ось Ox — там и корни уравнения. 🙃 Но если корни уравнения были комплексными, то графический способ как будто даёт сбой. Возьмём уравнение x²+1=0. Его решить легко: x²+1=0, x²=-1, x=±i. А на графике? Параболу-то мы построим, но где её точки пересечения с осью Ox? Как найти эти комплексные корни на графике? ⭐️ А увидеть такие корни на параболе поможет классное видео. Наглядное и понятное — всё, как мы любим. Там целый плейлист о комплексных числах — их истории, свойствах и применении. Смотрите и наслаждайтесь!

Поступающим в Школу анализа данных Вы наверняка слышали про ШАД — это интенсивная двухгодичная программа с передовыми знаниями по ML, системам хранения/ обработки больших данных и анализу данных. Один из треков поступления называется «альтернативным» — он подходит для специалистов с опытом в анализе данных и аспирантов. Что проверяют на вступительном экзамене По информации с сайта школы, при поступлении проверяют: - знания в рамках общей программы: базовые разделы высшей алгебры, математического анализа, комбинаторики, теории вероятностей, - умение программировать. Один из способов подготовиться Подтянуть математику можно на нашем курсе «Математика для анализа данных». Например, наши выпускники могут решить большинство заданий из экзамена прошлых лет. Кроме того, на курсе вы сможете освоить Python и разобраться, как решать задачи аналитика данных с помощью этого языка программирования. Когда начать подготовку Экзамены в ШАД начинаются весной. Обучение на курсе «Математика для анализа данных» занимает около 6 месяцев. Если начать сейчас, вы обстоятельно и спокойно успеете подготовиться к поступлению в 2025 году. Ближайшие когорты стартуют 10 и 17 октября. Приходите, ждём вас! ➡️ «Математика для анализа данных»

➗Математика и еда 🥘 Что может быть лучше, чем еда? Мы думаем — только сочетание математики и еды! Ловите подборку постов для математического аппетита. 😋 Задачи ✅Про пончик ✅Про эклеры ✅Про хинкали ✅Про деньрожденческий торт ✅Про кофе и молоко ✅Про утренний выбора напитка ✅Про орешки ✅Про кокосовое молоко Видосы ✅Блинчики и Билл Гейтс ✅Делим торт на троих ✅Теорема о бутерброде ✅Теорема о косточке Посты ✅Заказываем пиццу ✅Изучаем функции на шашлыках ✅Топологически сравниваем блины с колбасой

Решим пятничную задачу про велосипеды. 🚲 И сразу же отметим классную альтернативную формулировку, предложенную в комментариях! Логичный максимум взвешиваний Велосипед, массой 1 кг можно ставить в пару с любым велосипедом кроме самого тяжёлого — и автомобиль не сломается. Значит, за за 9 взвешиваний (в паре с каждым со 2-го по 10-й) точно получится доказать то, что нужно. Ну это-то понятно. А можно ли как-то побыстрее? Можно и нужно! Поставим на автомобиль сразу четыре велосипеда: массой 1, 2, 3 и 5 кг, а потом сразу три – 1, 4 и 6 кг. Обе суммы по 11, так что в обоих случаях машина не сломается. Заметим, что повторялся только один велосипед — его масса как раз 1 кг. Казалось бы, на этом всё. Но нет! Для исчерпывающего решения нужно также доказать, что провернуть такое другим способом не получится. Пусть в первый раз был использован набор с весами a, b, с, d и во второй — a, e, f. Эти переменные должны удовлетворять системе неравенств: a+b+c+d⩽11, a+e+f⩽11. Сложим неравенства – получим третье, которое тоже будет верным: 2a+b+c+d+e+f⩽22. Здесь шесть натуральных чисел, одно из них задвоено. Минимальная сумма шести разных натуральных чисел выглядит так: 1+2+3+4+5+6=21. И это без задвоения! Чтобы не превысить 22, задвоить можно только 1. Ну теперь всё, да? Мы показали, как определить нужный велосипед за 2 взвешивания и доказали, что других вариантов нет. Но по-хорошему ещё нужно доказать очевидный, но важный факт — что нельзя управиться за меньшее количество взвешиваний, то есть за одно. 😁 • Если мы ставим только один (любой) велосипед, то машина точно не ломается, то есть никакой велик идентифицировать не удастся. • Пусть мы ставим два велосипеда и машина не ломается. Если среди них есть велик в 1 кг — мы не сможем узнать, какой именно, не прибегая к дополнительным взвешиваниям. Если же его там нет — то нам снова нужны доп. взвешивания, чтобы его отыскать. Это был душный момент решения, но в математике иногда приходится доказывать очевидные вещи. И вот теперь — доказано окончательно. И, надеемся, продано! 🚴‍♂️