Зачем мне эта математика

АПД к предыдущему посту: нас тут были неполадки с промокодом. Сейчас всё починили, извините за неудобства. :) Продлили его действие на завтрашний день, чтобы все желающие точно успели. 😊

Привет! Сегодня последний день, когда вы можете решить задачу и воспользоваться скидкой на курс «Математика для анализа данных». Подробности в посте.

Формула для простых чисел Сегодня у нас два простых вопроса про простые числа. Для начала: сколько всего простых чисел? На этот вопрос ответил Евклид ещё в 3 веке до нашей эры: их бесконечное количество. Это легко доказать, так сделаем это! Предположим обратное — допустим, простых чисел конечное количество. Тогда есть «самое большое простое число», пусть оно равно p. Перемножим все простые числа до p включительно, а затем прибавим к произведению 1. Результат не делится нацело ни на одно из предыдущих простых чисел, и уж тем более ни на одно из составных. Получается, что результат делится только сам на себя и на 1, а значит — это простое число. Этот способ всегда позволяет сконструировать новое простое число, которое больше «самого последнего». Значит, простых чисел бесконечное количество. Доказали.👌 Теперь второй вопрос: как найти простое число, зная только его номер? Есть решето Эратосфена — о нём мы писали ранее. Этот алгоритм позволяет последовательно находить все простые числа. Но есть проблема: с увеличением чисел время на его реализацию растёт с огромной скоростью. Поэтому этот алгоритм неудобно использовать, чтобы найти очень большие простые числа. Удобным вариантом была бы формула, которая по номеру простого числа помогала бы вычислить само число. К сожалению, попытки найти такую формулу не привели к успеху. Лучшее, что получалось, — формулы, которые выдают простые числа часто, но не всегда. Одну из таких формул предложил известный математик Леонард Эйлер. Выглядит она так: n² - n + 41. Числа, рассчитанные по ней, являются простыми для n = 0, 1, …, 40. Но при n = 41 значение обращается в 41² — а это уже составное число. Однако при n = 42 и дальше формула снова работает — часто, но не всегда. Определите, при каком n она ломается в следующий раз? Ответы присылайте под скрытым текстом.

2) Во втором пункте задачи средняя скорость равна 54 км/ч. Найдём v_3: 3 / (1/38 + 1/45 + 1/v_3) = 54; 1/38 + 1/45 + 1/v_3 = 3/54 = 1/18; 1/v_3 = 1/18 - 1/38 - 1/45 = = (95 - 45 - 38) / 1710 = 12 / 1710 = 2 / 285. Отсюда v_3 = 285 / 2 = 142.5 км/ч. Ого! Даже для такой, казалось бы, небольшой средней скорости в 54 км/ч, курьеру придётся ускориться на третьем участке до фантастических 142.5 км/ч. Забавный факт: даже если бы на третьем участке пути курьер двигался со скоростью света (она равна 1079252848.8 км/ч), его средняя скорость была бы меньше 62 км/ч. 🙃 Неудивительно, что в первом пункте ничего не вышло. Для средней скорости есть готовая красивая формула — именно она приведена на иллюстрации. По ней ищут среднее гармоническое n чисел. Его используют не только для средней скорости, другие приложения можно посмотреть, например, в википедии. Хороших вам выходных!

Вчерашняя задача — с подвохом! Разберём её. Когда в задаче нужно найти среднее, часто рассчитывают среднее арифметическое. И обычно это правильный подход. Но не в этот раз: средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Как же её найти? Скорость — это отношение расстояния ко времени. Средняя скорость ищется как отношение всего расстояния ко всему времени, за которое проехали путь. Во вчерашней задаче не даны расстояния, но известно, что они одинаковые, поэтому каждое из них можно считать равным одному и тому же числу, например, 1. Тогда весь путь будет иметь длину 3. А чему равно всё затраченное время? Оно состоит из трёх слагаемых: 1/38, 1/45 и 1/v_3. Тогда средняя скорость равна 3 ÷ (1/38 + 1/45 + 1/v_3). Её значения различны в двух пунктах задачи. 1) В первом пункте средняя скорость равна 66 км/ч. Подставим в формулу и найдём v_3: 3 ÷ (1/38 + 1/45 + 1/v_3) = 66; 1/38 + 1/45 + 1/v_3 = 3/66 = 1/22; 1/v_3 = 1/22 - 1/38 - 1/45 = (855 - 495 - 418) / 18810 < 0 Упс! Если 1/v_3 < 0, то и сама скорость v_3 отрицательна. Как так получилось и что это означает? Дело в том, что не все средние скорости могут быть достигнуты. Курьер ехал довольно медленно на первом и втором участке, поэтому никакая скорость на третьем не даст желаемого результата. Что ж, бывает. 😊

Привет! Мы сегодня с места — в задачу. Курьер везёт заказ со склада до клиента. Первую треть пути он едет со скоростью 38 км/ч. Вторую треть — со скоростью 45 км/ч. 1) С какой скоростью курьер должен преодолеть оставшуюся часть пути, чтобы средняя скорость на всём пути оказалась 66 км/ч? 2) С какой скоростью он должен преодолеть оставшуюся часть пути, чтобы средняя скорость на всём пути оказалась 54 км/ч? Ваши ответы и решения ждём в комментариях под скрытым текстом.

Привет! Это пост-напоминалка. Осталось меньше недели: решить задачу и этим сэкономить 10% при оплате курса «Математика для анализа данных» можно до понедельника 20 марта включительно. Подробности здесь. Вопросы про курс можете задать под этим или под исходным постом. 😊

А сегодня, между прочим, праздник! Дата 14 марта на американский манер записывается как 3/14, и если слэш заменить на точку, то получится 3.14 — приблизительное значения числа π. Поэтому сегодня математики и все желающие празднуют День π. В честь этого дня математик и популяризатор Мэтт Паркер каждый год устраивает шоу — вручную вычисляет значение числа π каким-нибудь неординарным способом. Эта константа возникает в самых разных областях математики, так что способов предостаточно. Например, можно найти приближённое значение π с помощью взаимно простых чисел. Расскажем по порядку. Два числа взаимно просты, если у них только один общий делитель — единица. Например, взаимно просты числа: 3 и 17, 7 и 15, 20 и 49. Очевидно, что если оба числа простые, то они взаимно просты. Но бывают и другие ситуации. Оба числа отдельно могут быть составными, а друг с другом — взаимно простыми. Например, таковы числа в паре 20 и 49. Может быть и так, что одно число простое, а другое составное, как в паре 7 и 15. Причём же здесь π? Есть интересный факт. Вероятность того, что два случайно взятых натуральных числа взаимно просты, равна 6/π^2. Этот факт можно доказать, подробнее Мэтт рассказывает в видео — мы считаем, у него это получается прекрасно, так что не будем пересказывать. А потом он ещё проводит реальный эксперимент и вычисляет примерное значение числа π. Не будем спойлерить, хорошо ли у него получилось, но однозначно — весело. 😁 С Днём π вас!

Возьмём когорту курса по математике из 30 человек. Для простоты будем считать, что в году 365 дней и вероятность родиться в каждый из них одинакова. Эти предположения влияют на результат незначительно, а считать так будет проще. Найдём вероятность противоположного исхода, то есть вероятность того, что все студенты родились в разные дни. Возьмём любого студента. Его день рождения может выпасть на один из 365 дней. Берём второго студента. Если он родился в любой из оставшихся 364 дней, то дни рождения не совпадут — вероятность этого равна 364/365. Добавим третьего. Если он родился в любой из оставшихся 363 дней, то все три дня рождения будут в разные дни. Вероятность этого равна (364/365)*(363/365). И так далее: добавляем нового человека — добавляем новый множитель в произведение. Для когорты в 30 человек вероятность того, что дни рождения всех студентов попадут на разные дни, составляет около 29%. Значит, вероятность хотя бы одного совпадения равна 71% — немало! То, что происходит в жизни, подтверждается математикой. Если же в когорте 57 человек, то вероятность того, что дни рождения хотя бы у двоих совпадут, становится больше 99%. Хотя, опять же — всего 57 человек и целых 365 дней. На такие неожиданные результаты влияют два фактора: психологический и математический. Психологический заключается вот в чём. Когда люди думают про совпадение дней рождения, они обычно удивляются совпадению у конкретных людей: «Надо же, Вася и Маша родились в один день!». В задаче же мы рассчитали совпадение не для конкретной пары, а вообще для двух любых человек из группы. Случайность не «думала» именно об этой паре, совпадение дат у Васи и Маши — просто реализация одного из исходов, например, как выпадение именно 3 на игральном кубике. Математический фактор связан с тем, что вероятность — это число от 0 до 1. Когда мы рассчитываем вероятность того, что все дни рождения будут разными, мы перемножаем такие числа. Чем больше таких множителей, тем меньше получается результат. И тогда вероятность совпадения быстро растёт. Получается, в научном смысле эта ситуация не парадокс: логического противоречия здесь нет. Здесь речь о том, что интуиция не соответствует результату математического расчёта. Напоследок предлагаем задачу без парадоксов, но про день рождения. Пусть в группе 31 человек вместе с вами. Какова вероятность того, что найдётся хотя бы один человек, у которого день рождения в тот же день, что и у вас?

Парадокс дней рождения Давайте посмотрим на группу людей из примерно 30 человек. Такие часто встречаются в жизни: школьный класс, университетская группа, большая компания друзей, круг коллег на работе, посетители занятий «Здоровая спина» и т.п. Нас интересуют дни рождения, а точнее — вероятность того, что они совпадут хотя бы у двоих человек из группы. Интуитивно кажется, что эта вероятность невелика: в году целых 365 дней, а в группе всего 30 человек. Но в жизни наверняка у каждого есть компания, в которой — надо же! — у двоих человек день рождения в один день. Вероятность совпадения должна быть мала, но между тем, она часто реализовывается. Это и называют парадоксом дней рождения. На самом деле такое совпадение дней рождения совсем не случайность. Давайте всё посчитаем по шагам!

Привет, друзья! Поздравляю вас с приходом долгожданной весны! Пусть за окном ещё лежит снег и дует пронизывающий ветер - совсем скоро природа проснётся от зимней спячки и порадует нас ярким солнышком, зелёной листвой и чистым асфальтом! 🌞 А пока происходят эти метаморфозы жизни, я предлагаю вам скрасить пока ещё холодные вечера решением задачек из нашего очередного математического квиза: https://forms.yandex.ru/u/6403c2c8e010db47361477b8/ Всё как всегда: решаем задачи, обсуждаем их в нашем чатике и, конечно же, приходим на разбор 16-го марта в 19.00.😊 А ещё напоминаю, что чудесный способ скоротать деньки до прихода первого тепла можно еще и за курсом «Математика для DA/DS», где вы сможете подтянуть знания по линейной алгебре, математическому анализу, статистике и теории вероятностей! А бонусом будет модуль с симуляцией собеседования с математическими задачами Все подробности о курсе можно узнать у меня или у наших дорогих кураторов: @lyubava10, @vlbot01

Привет любителям порешать задачи! Подъехал первый весенний квиз 🌱 В нём, как обычно, 10 задачек олимпиадного типа. Среди них — задачи про прыгающих коней, инопланетных рыцарей и игру-стрелялку. Присылайте в чат квиза решения и ответы, а 16 марта приходите на онлайн-разбор и обсуждение. Подробности в пересланном сообщении.

Курс подойдёт даже тем, у кого нет технического образования. Если это ваша ситуация, не беспокойтесь, вы всё поймёте: мы объясняем подробно, с примерами, графиками и интерактивами. А если техническое образование у вас есть, всё равно приходите — узнаете много нового. :) Что с обратной связью? Наедине с математикой мы вас не оставим! 😊 - Преподаватели ответят на вопросы в чате в любой день недели. - Кураторы поддержат морально и помогут организовать учебный процесс. Сколько стоит? Курс стоит 30 000 рублей. Поддержка доступна 6 месяцев, материалы остаются у вас навсегда. А теперь — обещанный сюрприз! Мы подготовили для вас промокод со скидкой 10% на оплату курса. Это не простой промокод, а математический! Чтобы получить скидку, нужно: 1. Решить задачу ниже и получить ответ в виде числа. 2. Это число нужно записать вместо X в коде PrakticheskiX. Например, если получится 99, то код будет Prakticheski99. Это не сам промокод, а только пример, как его записать. 😉 3. Ввести промокод на странице оплаты курса до 20 марта этого года. А вот и сама задача для промокода. В ночь на 8 марта цветочный магазин был пуст. Утром приехала фура с тюльпанами и розами. Всего привезли 1440 цветов, из них 25% красных. Среди тюльпанов красных — 10%, а среди роз — 30%. На сколько штук всех тюльпанов было меньше, чем всех роз? Важно! На этот раз ответ к задаче не нужно писать в комментариях. :) Можете задать там вопросы по курсу, если что-то осталось непонятным, или оставить отзыв, если вы его уже прошли.

Привет! На связи команда математики. Вы наверняка слышали о курсе «Математика для анализа данных», сегодня расскажем о нём подробнее. В конце следующего поста — сюрприз! Что внутри курса? Вы разберетё математические инструменты, которые помогут развиваться в анализе данных и Data Science, и научитесь их применять. «Математика для анализа данных» поможет: - закрыть пробелы в статистике и других разделах математики; - разобраться, что «под капотом» у знакомых инструментов, и освоить новые; - подготовиться к собеседованию; - укрепить навыки и претендовать на вакансии, где ценят хорошее знание математики; - решать математические задачи на Python. Какие методы вы сможете применять после курса: - A/B-тесты, статистические тесты, доверительный интервал, p-value; - линейную регрессию и сингулярное разложение; - градиентный спуск и другие алгоритмы обучения нейросетей; - косинусное расстояние между текстами.

Выкладываем решение вчерашней задачи про простые числа. Итак, мы случайно выбираем числа a ∈ [1; 500] и b ∈ [500; 1000]. Переформулировка теоремы гласит, что вероятность случайно выбрать простое число на промежутке от 1 до n равна 1 ÷ ln(n). Поэтому вероятность того, что число a окажется простым, равна 1 ÷ ln500 ≈ 0.16. Для числа b эту формулу применить не удастся, так как в теореме речь о промежутке от 1, а у нас промежуток от 500. Пойдём другим путём — через количество! Используем первую формулу: в первой тысяче найдётся 1000 ÷ ln1000 ≈ 144.76 простых чисел. При этом среди первых пятисот их будет 500 ÷ ln500 ≈ 80.46. Значит, в промежутке от 501 до 1000 будет 144.76 - 80.46 ≈ 64.3 простых чисел. Число 500 не простое, так что для промежутка [500; 1000] верна та же оценка. Посчитаем через отношение вероятность того, что число b из этого промежутка простое: 64.3 ÷ 501 ≈ 0.13. Значит, вероятность того, что число на промежутке [1; 500] окажется простым, равна 0.16, а на промежутке [500; 1000] — 0.13. На первом — больше. Если нужно не вычислять вероятности, а только сравнить их, то можно рассуждать так. Числа a ∈ [1; 500] и b ∈ [500; 1000] принадлежат промежуткам почти одинаковой длины: a выбираем из 500 чисел, b — из 501 числа. Во втором промежутке числа больше по модулю, то есть он расположен правее. Вероятность случайно выбрать простое число от 1 до n равна 1 ÷ ln(n). Значит, с увеличением n она уменьшается. Почему так происходит? Если бы общее количество чисел отрезка и количество простых чисел отрезка росли равномерно, то вероятность встретить простое число оставалась бы примерно на одном уровне. Но она уменьшается — значит, и плотность простых чисел уменьшается по мере продвижения вправо. Вывод: если брать достаточно большие отрезки равной (или почти равной) длины, то на правом отрезке простых чисел окажется меньше. И, как следствие, вероятность встретить простое число там тоже будет меньше.

• На отрезке от 1 до 1000 по формуле ожидаем 1000÷ln1000≈144.8 простых числа, а в действительности их 168, они выписаны на картинке выше. Посчитаем ошибку: (168-144.8)÷1000=0.0212 или 2.12%. Потом будет только лучше! Теорему можно переформулировать, чтобы оценить вероятность того, что число — простое. Если на отрезке от 1 до n случайно выбрать натуральное число, то вероятность того, что оно окажется простым, примерно равна 1÷ln(n). И чем больше n, тем точнее эта формула. Напоследок вопрос вам. Для кого вероятность оказаться простым выше: для числа a ∈ [1; 500] или для числа b ∈ [500; 1000]? Под скрытый текст прячьте ответ и обе эти вероятности, округлённые до сотых.

С какой вероятностью число — простое? Давненько у нас не было понедельничной рубрики о простых числах! Исправляемся. Сегодня принесли вам Теорему о распределении простых чисел. Оказывается, если взять конкретный отрезок, то можно примерно оценить, сколько простых чисел на нём содержится. Конкретно теорема звучит так: на отрезке от 1 до n содержится около n÷ln(n) простых чисел. При этом чем больше n, тем точнее эта формула описывает их количество. Формальное доказательство теоремы непростое. Но это не мешает нам проверить, как она работает! Посмотрим на нескольких отрезках: • На отрезке от 1 до 10 формула обещает 10÷ln10≈4.3 простых числа. В действительности их 4 штуки: 2, 3, 5, 7. Доля ошибки равна (4.3-4)÷10=0.03, или 3%. Неплохо! Обратите внимание: здесь прогнозируемое количество простых чисел больше реального. • На отрезке от 1 до 100 формула обещает 100÷ln100≈21.7 простых числа. По факту же их 25. Доля ошибки равна (25-21.7)÷100=0.033, или 3.3%. Стало хуже, но это временно: дальше процент ошибки будет понижаться. На этом отрезке прогноз уже ниже реального количества — видим, что оценка может отклоняться в любую сторону.

В математике много логических связей, но некоторые из них неочевидны. Например, связь тригонометрических функций с единичной окружностью. Обсудим подробнее. Построим единичную окружность с центром в начале координат O. Поставим на окружности произвольную точку K и проведём радиус OK. Пойдём от положительного направления оси Ox против часовой стрелки до этого радиуса — получим угол α. Этот угол принимает значения от 0° до 360° (потом можно ввести и другие значения, но сегодня сосредоточимся на этих). Оказывается, cosα равен координате x точки K, а sinα — координате y этой точки. Почему? Понять это поможет иллюстрация, а лучше — интерактив! Пощупайте эту взаимосвязь в интерактиве из модуля по линейной алгебре курса «Математика для анализа данных». В на последнем слайде можно подвигать точку К и посмотреть, как меняются синус и косинус полученного угла. Хороших вам выходных!

Как видите, первые четыре постулата интуитивно понятны, а пятый сильно от них отличается. С древних времён математики пытались доказать, что пятый постулат вытекает из других четырёх, но безуспешно. Тогда в 17 веке учёные зашли с другой стороны — от противного. Они предположили, что постулат неверен, и хотели рассуждениями прийти к противоречию. Такой заход тоже не привёл к результату. В 19 веке к этой идее подошли по-новому. Математики стали изучать другие геометрии — такие, в которых пятый постулат не выполняется. Геометрия Лобачевского работает не на плоскости, а на поверхностях с отрицательной кривизной (грубо говоря, вогнутых), например, на гиперболоиде, как на картинке. Здесь через точку, не лежащую на прямой, всегда можно провести как минимум 2 прямые, которые её не пересекают. На нашем рисунке их даже три. Никакая из цветных прямых не встретится с чёрной: поверхность расширяется, и прямые как бы разбегаются. Получается, в геометрии Лобачевского не выполняется пятый постулат — в части про единственность параллельной прямой. И смотрите, какая интересная штука получается со свойством транзитивности: жёлтая и красная прямые параллельны чёрной, но между собой — пересекаются! В геометрии Евклида можно сделать вывод: если две прямые параллельны данной, то они параллельны между собой. А в геометрии Лобачевского такие рассуждения неверны. Возможно, именно так и родился миф: кто-то попытался применить свойство транзитивности в геометрии Лобачевского и сделал вывод, что «параллельные прямые пересекаются». Есть и третья геометрия — геометрия Римана, она же эллиптическая геометрия. Работает на поверхностях с положительной кривизной (грубо говоря, выпуклых): например, на сфере. Наша планета — поверхность, приближённая к сферической, так что вообще-то мы существуем именно в геометрии Римана! Здесь важно, что хотя шар — трёхмерная фигура, но сфера (поверхность шара) — это двумерный объект, ведь для ориентации на ней достаточно двух координат. Мы, например, используем широту и долготу. В геометрии Римана прямыми считают «наибольшие» окружности, которые лежат в плоскостях, проходящих через центр сферы. Сложная формулировка, на картинке показать проще. На ней у нас изображены две такие «прямые». Ирония в том, что на сфере любые две «прямые» пересекаются. Значит, в геометрии Римана параллельных прямых нет вообще! Получается, не выполняется первая часть пятого постулата: через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной ей. Как видите, миф о том, что параллельные прямые пересекаются, в корне неверный: они никогда не пересекаются! Особенности параллельных прямых в разных геометриях — в другом: в геометрии Лобачевского через точку, не лежащую на прямой, можно провести не менее двух прямых, параллельных данной, а в геометрии Римана параллельных прямых вообще нет.

Разрушаем мифы о параллельных прямых Вы наверняка слышали фразу «в геометрии Лобачевского параллельные линии пересекаются». Но это неверно! Это как с морской свинкой, которая и не морская, и не свинка. 😅 Параллельные линии не могут пересекаться ни в какой геометрии просто по определению, ведь тогда они не были бы параллельными. О чём же тогда речь в мифе? Разберёмся, что на самом деле происходит с линиями в 2D-геометриях. Самая простая и известная геометрия — евклидова. Это геометрия на плоскости, как раз её изучают в школе. В основе геометрии Евклида лежат постулаты, они описывают очевидные связи, на которых строится вся наука. Всего постулатов пять: 1. Между любыми двумя точками можно провести прямую. 2. Любая прямая бесконечна. 3. Из любого центра можно описать круг любого радиуса. 4. Все прямые углы равны. 5. Через точку, не лежащую на прямой, всегда можно провести параллельную ей прямую, причём только одну.