Зачем мне эта математика

⬆️ Смогли бы сдать экзамен по математике в 1478 году? Оставляем в посте шпаргалки, с которыми точно сможете. Этим задачам из Тревизской арифметики более 500 лет. Начинается книга весьма высокопарно: «Всё существующее с начала времён обязано своим происхождением числу». Далее автор рассматривает пять основных матопераций, а остальная часть книги устроена как сборник с перечнем правил, которые прилежный ученик должен запомнить и использовать. Двухлетний курс был рассчитан на мальчиков примерно от 11 до 16 лет — сыновей купцов и ремесленников XV века. Они часто учились неполный день, помогая в семейном деле. Окончание курса позволяло работать клерком или учеником купца. ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀📚📚📚 А теперь немного о сложностях, которые могут вызвать у вас эти задачи:

⠀ Конвертация без дробей ⠀ Студенты того времени тратили годы на заучивание таблиц умножения (иногда до 30×30) и методов деления, таких как «метод галеры». Опытные купцы могли выполнять такие вычисления довольно быстро в уме. Помните, что десятичных дробей в ту пору не было? Поэтому конвертация без них — ещё та история. Кроме того, в тексте часто встречаются слова, означающие три номинала монет: дукаты — крупная единица из золота, гроссо — средняя единица из серебра, а пикколо — мелочь, в составе которой медь и немного серебра. На момент написания книги, требовалось выполнять вычисления с учётом соотношения: 1 дукат = 24 гроссо = 768 пикколо. На самом деле монет было гораздо больше, а соотношения между ними — сложнее, чем можно предположить. В Венеции того времени, например, часто также использовались лира и сольдо: 1 лира = 10 дукатов = 20 сольдо. *️⃣Венецианский золотой дукат оставался стабильным веками: в нём содержалось примерно 3,545 грамма чистого золота, что в наши дни соответствует примерно 30-35 тыс. рублей. Кстати, текст содержал задачи для портных, среди которых были и арифметические и геометрические: ▶️Если один ярд алой ткани стоит 5 дукатов, сколько будут стоить 85 ярдов? ▶️Есть 9⅔ ярда ткани шириной 2¾ ярда. Нужно сделать из неё одежду и подкладку шириной 1⅛ ярда. Сколько подкладки потребуется?⠀

⠀ Отличия метрических систем ⠀ Ещё одной любопытной категорией задач являются задачи на бартер. Они требуют отдельных вычислений, так как система мер того времени сильно отличается от нашей: ▶️Есть два купца, которые хотят обменять товары. У одного есть 1 песо бальзама стоимостью 150 дукатов. Он хочет обменять его на три вида товаров: воск по 5 дукатов за центнер, сахар по 6 дукатов за центнер и имбирь по 8 дукатов за центнер. Он хочет получить одинаковое количество каждого из трёх видов товаров. Сколько каждого товара ему нужно? Единица измерения «песо» — это староитальянская мера веса. В самой книге она записывается на венецианском диалекте как pexo, происходит от итальянского peso (вес, гиря, мера) и латинского pensum (взвешенный). Если вы находите созвучие с современными мексиканскими песо или британскими пенсами (pence) и фунтами (pound) стерлингов — это не случайно. В приложении в конце книги уточняется, что 1 центнер = 4 песо = 100 фунтов = 1200 унций, то есть песо — промежуточная единица между фунтом и центнером.⠀

⠀ Никаких калькуляторов ⠀⠀ Представьте, что все эти задачи нужно решить без калькулятора, десятичных дробей и алгебры! Уверены, многие из приведённых выше примеров заставили бы вас попотеть. Последний девятый пример на карточках напоминает уже даже не задачу из программы средней школы, а скорее печально известную «экономическую задачу» из ЕГЭ. В те времена задачи на справедливое распределение прибыли между партнерами по бизнесу пропорционально их вложениям выделяли в отдельную важную категорию.

Предлагаем вам испытать свои силы. Самые смелые, чур никаких «пусть x». Только средневековье, только хардкор! Ответы ждём в комментариях. #история

Продолжение истории о «Тревизской арифметике» 🎬 Книга, изданная анонимно в 1478 году в итальянском городе Тревизо, не имела официального названия, а её автор и по сей день остаётся неизвестным. Анонимность таких книг была нормой для практических руководств. Но есть и другой ракурс: Венеции всегда были присущи стремление к самоустранению и отсутствие тяги к личной славе. Учебник состоит из 123 ненумерованных страниц и вводит «новую математику», продвигая использование индо-арабской системы счисления и письменных алгоритмов вычислений, восходящих к Liber Abaci Фибоначчи, которая и познакомила Европу с индо-арабскими цифрами и новыми методами вычислений. Вот что нам ещё известно об этой книге:

⠀ 🔍 Внутри — уроки и задачи ⠀ В основном они связаны с торговлей, переводом валюты и расчётом инвестиций. Также там есть практические задачи и приложения для различных ремёсел, включая сельское хозяйство, портняжное дело и строительство. Многие задачи решаются с применением так называемого правила трёх (аналогичного нашим пропорциям), а также более частного случая — аллигаций, применимых к сплавам, смесям и растворам. Ещё одна любопытная тема — вычисление даты новолуния. Кстати, некоторые исследователи высказывают предположение, что Джон Непер вдохновлялся именно «Тревизской арифметикой» при создании своих знаменитых палочек, или, как их ещё называют, «костей Непера».

⠀ ✏️ Типографские особенности ⠀ Несмотря на то что визуально тексты выглядят достаточно просто, их создание в те времена было чрезвычайно сложным процессом. Интересной особенностью является частая замена цифры «1» буквой «i» — вероятно, из-за нехватки литер с цифрами. Хотя тогда читатели были привычны к римским цифрам, в книге используется арабская система счисления. Привычные нам символы арифметических операций (−, ×, ÷, +) отсутствуют в средневековой математике, поскольку они появились позже: знак равенства был введён лишь в 1557 году, а знак умножения — аж в 1631-м. Вместо них используются слова: DE — вычитание, FIA — умножение, IN — деление, ET — сложение. В книге есть понятие дроби, но не в современном виде с десятичной записью. Читая этот учебник, понимаешь, насколько «проще» стала математика за 500 лет.

⠀ 🤯 И самое главное — адресат ⠀ «Тревизская арифметика» была написана на разговорном венецианском диалекте, без латыни, для самостоятельного изучения — и предназначалась не учёным, а купцам, бухгалтерам и торговцам, которым арифметика была нужна прямо сейчас, в повседневной работе: для перевода валют между городами, расчёта прибыли от грузов, разделения долей в торговых предприятиях, учёта долгов и процентов. Эта книга разрушила монополию на математические знания: впервые они принадлежали не привилегированному меньшинству, а всем, кто умел читать на родном языке.

Несмотря на благие намерения автора, учебник, по-видимому, не стал особенно популярным: было выпущено лишь одно издание тиражом 5️⃣0️⃣0️⃣ экземпляров, из которых до наших дней дошли только два. Один из них использовал историк математики Фрэнк Дж. Свец. Он включил его в свою книгу «Капитализм и арифметика: новая математика XV века». Любопытно, что эта копия содержит предполагаемый автограф её первого владельца и, по-видимому, ученика — Марко Белларами. Прикладываем пруф ниже ↓ 200 из 340 страниц книги посвящены подробнейшему разбору каждого из приёмов и комментариям о «новой арифметике» и деловой практике раннего Возрождения. 🔄Богатые исторические детали создают убедительную картину того, как торговый капитализм Венецианской республики раннего Возрождения повлиял на развитие математики — и как математика, в свою очередь, способствовала подъёму капитализма🔄 Если вам интересно порешать задачки из легендарного учебника, ставьте ⚡️ — мы перевели парочку с венецианского специально для вас. #история

Представьте: вы — 15-летний сын итальянского купца... На дворе XV век, эпоха расцвета торговли, а значит, немецкие купцы отправляют своих сыновей в Италию, особенно в Венецию, чтобы те осваивали торговое искусство, в котором итальянцы считаются непревзойдёнными мастерами. И вас ставят перед фактом: чтобы не прогореть в семейном деле, вам нужно освоить… искусство вычислений. 📚 С этого момента примерно на два года вашим главным помощником становится учебник Arte dell’Abbaco, или «Тревизская арифметика» Слово abbaco, фигурирующее в итальянском названии, происходит от латинского abacus — абак, или, проще говоря, счёты. Пользователей абака называли абакистами.

*️⃣Несмотря на популярность абака, в школах того времени осваивали другой тип вычислений — алгоризм. Это привычные нам расчёты с использованием индо-арабских цифр: сложение, вычитание, умножение, деление. Слово «алгоризм» происходит от algorithmi — латинской формы написания имени знаменитого персидского математика IX века Мухаммеда аль-Хорезми, который разработал правила выполнения арифметических действий над десятичными числами. Совокупность этих правил в Европе стали называть «алгоризмом». Впоследствии слово трансформировалось в известный нам сегодня «алгоритм» и значительно расширило своё значение, выйдя далеко за рамки математики.

Но вернёмся к цифрам. В момент, когда происходила наша история, вычисления на абаке были роднее и привычнее, чем алгоризм. Между адептами двух методов даже шло настоящее соперничество. Хотя абак и был быстрее, особенно поначалу, и давал меньше ошибок при переписывании, алгоризм победил, потому что этот метод позволял легко работать с дробями и сложными делениями. Но самое главное — алгоризм позволял записывать весь ход вычислений и расчётов на бумаге, а значит, оставлял «аудиторский след», что было критически важно для контроля сделок. ▶️Кажется, именно этот факт и поставил окончательную точку в процессе перехода, утвердившегося в XV веке, от счёта руками к счёту через запись. Но это только половина истории. «Тревизская арифметика» — первая европейская печатная книга по математике — сама по себе объект очень интересный и таинственный. И нам, конечно, есть что о ней рассказать... ❤️ — хочу скорее узнать! #история

А у нас получилось вас заинтриговать! Что ж, рассказываем, чем так полезен олоид 🔍 Свойство «равномерного чередующегося контакта» позволяет ему двигаться почти без трения: каждая точка его поверхности по очереди соприкасается с плоскостью, что практически исключает скользящее трение. Именно поэтому при небольшом количестве энергии олоид способен прокатываться на неожиданно большое расстояние. Эти особенности привлекли внимание инженеров. Геометрия олоида оказалась весьма полезной в прикладных задачах, прежде всего там, где требуется мягкое, равномерное и в то же время интенсивное перемешивание жидкостей. В отличие от обычных мешалок, создающих водовороты и задерживающих воздух, олоид формирует ламинарный поток, эффективно устраняет «мёртвые зоны» и не создаёт значительных сдвиговых усилий. 📏 Его асимметричная кинематика постоянно нарушает структуру потока, не позволяя образовываться устойчивым вихрям. Такой тип воздействия на жидкость называют трёхмерным смешиванием 📏 Сегодня олоидные лопасти применяются в промышленных системах перемешивания: в очистке воды, биореакторах, аквариумных системах. Они также служат моделью для изучения гидродинамики, турбулентности и переноса вещества. Приведём несколько известных примеров:

▶️Первым, кто увидел в движении олоида промышленный потенциал, был Пауль Шатц. Его разработки на протяжении многих лет снабжали мировую фармацевтическую индустрию тысячами смесителей Turbula. Форма олоида стала основой для множества патентов — от водяных насосов до мешалок, чей ритм имитирует движение плавников водных организмов и потому не причиняет вреда рыбе. ▶️В наши дни, например, австрийская компания Sonett, специализирующаяся на eco-friendly домашних очистителях, использует олоид в качестве перемешивающего устройства для производства бальзамических моющих добавок. Компания Kuboid создаёт аппараты Rhythmixx для ритмизации питьевой воды. ▶️А лейпцигский стартап OLOID Engineering GmbH вообще, по мнению акселератора стартапов Impact Hub, совершает революцию в промышленном перемешивании, продвигая свои решения для очистных сооружений, пивоварен и даже снеговых пушек. Подробно о разных их решениях можно посмотреть здесь.

И напоследок оставим ссылку на совсем свежее исследование, в котором предлагается конструкция для хирургических роботов, позволяющая перемещаться глубже в анатомию человека и получать доступ к органам, недоступным для современных технологий.

Ключевая идея в том, что используются магнитные поля, позволяющие дистанционно манипулировать объектами и идеально подходящие для медицинских применений, поскольку они безвредно проходят через ткани человека. Обычно магнитное манипулирование ограничено максимум двумя степенями свободы, что сдерживает сложные движения, особенно те, которые включают вращение вокруг главной оси магнитного робота. Для решения этой проблемы авторы предлагают конструкцию робота, вдохновлённую уникальной геометрией развёртываемых роликов, использующих форму олоида. Благодаря его осевой асимметрии и синусоидальному движению облегчается вращение при точном управлении внешним магнитным полем.

Вот так математика продолжает вкрадываться в нашу жизнь. Накидайте ❤️, если тема прикладных фигур была интересна. У нас есть ещё парочка таких в запасе. #как_устроено

Есть геометрические фигуры, которые на первый взгляд можно принять скорее за игрушку. И одна из таких фигур — олоид 🤯 Представьте себе две одинаковые окружности радиуса r, расположенные в перпендикулярных плоскостях так, что центр каждой лежит на окружности другой. Иными словами, каждая из окружностей центрирована на «ребре» другой. Если взять выпуклую оболочку этих двух окружностей, получится поверхность — это и есть олоид. Именно так в 1929 году её описал Пауль Шатц — швейцарский инженер и скульптор, математик и изобретатель, геометр и исследователь. С тех пор олоиды стали настолько популярны, что, кажется, изготавливались уже из всего, чего только возможно: от алебастра до LEGO, а вдохновлялись ими представители самых различных профессий — от дизайнеров городской среды до специалистов по тимбилдингу. Но чем же они так примечательны? С математической точки зрения олоид (или, как его ещё называют, ортобицикл) интересен сразу по многим причинам ⬇️

Во-первых, поверхность олоида образована движением прямых — такие поверхности называются линейчатыми. Более того, олоид является развёртывающейся поверхностью. Это значит, что такую поверхность можно развернуть на плоскости без растяжений и разрывов; иначе говоря, можно сделать из бумаги трафарет, лежащий на плоскости, который затем можно сложить в исходную фигуру в пространстве. К той же категории поверхностей относятся цилиндр или конус, но у олоида при этом нет осевой симметрии и простого уравнения. Зато имеется так называемое ребро возврата — особая кривая, вокруг которой поверхность изгибается. Как следствие, олоид можно описать как огибающую семейства отрезков, соединяющих точки двух окружностей. Примечательно и то, что площадь поверхности олоида с радиусом исходных кругов, равным r, равна 4πr², то есть равна площади поверхности обыкновенной сферы того же радиуса. 🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨

Самое известное свойство олоида — кинематическое: положив его на плоскость, его можно катить ⬇️

При лёгком толчке расположенный на плоскости олоид будет покачиваться взад-вперёд, а при более сильном — довольно легко катиться. Можно сказать, что, несмотря на «кривую» форму, олоид катится по прямой линии — в том смысле, что общее направление его движения прямолинейно. Но это совершенно иной тип движения — своего рода волнообразное «виляние» плавным, ритмичным образом с одновременными боковыми колебаниями. В ходе качения каждая точка олоида рано или поздно касается опорной поверхности, по которой он катится. Для сравнения: у шара или цилиндра есть выделенная зона контакта. У олоида её нет — он «прокатывает» по поверхности всего себя целиком. Как вы помните, мы упомянули, что олоид — развёртывающаяся поверхность, и это также можно наглядно наблюдать: в процессе одного полного цикла качения он развернёт на плоскость всю свою поверхность. 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨

Наглядную демонстрацию особенностей движения олоида можно увидеть в GeoGebra и Wolfram, а также в этом видео. Если же хотите ознакомиться с олоидом более наукоёмко, рекомендуем эту статью. 🤯 — стойте, но вы же не рассказали про реальное применение! #как_устроено

Дружеское напоминание: у вас есть ещё один день, чтобы заполнить анкету на поступление в ШАД 👀 Остались сомнения «потяну ли»? Тогда советуем посмотреть материалы для подготовки. На сайте вы найдёте: ▶️варианты экзаменов прошлых лет ▶️список обязательных тем ▶️ссылки на полезные ресурсы В ШАДе ждут всех, кто давно хотел зайти в анализ данных, разработку или смежные области. Это, пожалуй, один из самых прямых маршрутов к применению математики в реальной жизни. #рекомендуем

МИР ❤️ ТРУД ❤️ МАТЕМАТИКА Собрали вам в подарок первомайский плейлист. Как вам? Написать коллегам из Музыки, чтобы подгрузили лекции? #меммат

Этот способ решать уравнения настолько неудобный, что… … о нём забыли на 69 лет. На самом деле, как и любой гениальной идее, ему нужно было просто настояться. В недавнем посте про оригами мы рассказывали про доказательство Маргериты Белок. Математик обнаружила, что складка, описанная шестой аксиомой Фудзиты, естественным образом реализует необходимую геометрию отражений для решения общих кубических уравнений. Но мы тогда не упомянули, чьей идеей вдохновилась Белок.

⏩️А это был никак не связанный с оригами, но уникальный в своём роде геометрический метод Лиля. Он позволяет визуально находить действительные и (при комплексном расширении) комплексные корни многочленов с действительными коэффициентами. Метод очень красивый, но трудоёмкий. Он требовал точного построения определённых углов отражения, что было сложно в мире без компьютерных программ. На канале у Матлогера есть даже видео, которое так и называется: «Почему мы забыли об этом простом визуальном решении?»

Вероятно, он так и оставался бы незаслуженно забытым, если бы не находка Белок. Хотя практические преимущества вполне очевидны: этот метод не требует ни циркуля, ни транспортира, ни, уж тем более, калькулятора. 🔗 Посмотреть, как работает метод Лиля и построить отражения для своего уравнения можно на этом сайте. #как_устроено

Завершаем апрель красивой геометрической задачей ⬆️ Увидели её в канале «Олимпиадная математика ВсОШ» и сразу забрали в копилку наших задач с окружностями.

🔸Условие: два треугольника имеют общие вписанную и описанную окружности. Также известно, что нижняя точка — это середина дуги между двумя соседними с ней вершинами. 🔸Вопрос: докажите, что четыре жёлтые точки лежат на одной окружности — она отмечена на картинке синим пунктиром.

Кстати, автор этой задачи, Давид Бродский, является основателем летней геометрической школы Дабромат. Очень рекомендуем их всем, кто хочет стать призёром (а может, даже и победителем) Всероссийской олимпиады школьников или других серьёзных математических состязаний. Рассуждения и вопросы по задаче пишите в комментариях. А чтобы проверить себя, переходите по ссылке — тут лежит подробное решение. #задача

Мы в математической редакции очень любим наблюдать за математикой в реальной жизни: природе, истории или даже человеческих отношениях. 💬 А вот наши коллеги умеют не только наблюдать, но и созидать:

Дарима Мылзенова пришла в ML из чистой математики: на мехмате её захватила идея описывать работу мозга через модели. Интерес к этой теме привёл её в ШАД — место, где она научилась превращать формулы в реальные полезные вещи. После ШАДа Дарима успела поработать в медицине, нефтянке, речевых технологиях и финтехе. Задачи были очень разными, но суть одна: всё это и есть ответ на вопрос «зачем мне эта математика» Хотя, почитайте лучше сами — в Журнале 8БИТ вышло целое интервью с Даримой.

Сейчас в ШАД продолжается набор на двухгодичную программу и совместные магистратуры. Там учат Data Science, ML-разработке, инфраструктуре больших данных, анализу данных в прикладных науках и ИИ для естественно-научных исследований. ▶️ ПОСТУПИТЬ В ШАД ◀️ Если вам хочется, чтобы математика перестала быть теорией, подавайте заявку до 3 мая. Подробности в канале «Все в ШАД». #рекомендуем

Такая загадочная... ⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸ТОЧКА ФЕЙНМАНА🔸 Так называют последовательность из шести девяток, начинающуюся с 762-го знака после запятой в десятичной записи числа 𝜋. Она названа в честь американского физика Ричарда Фейнмана, который в шутку заявил, что хотел бы запомнить цифры числа 𝜋 до этой позиции, чтобы заканчивать рассказ словами: «девять, девять, девять, девять, девять, девять и так далее», как бы предполагая, что значение 𝜋 рационально. Особенность этой последовательности из шести девяток в том, что она появляется настолько рано. Для случайно выбранной последовательности цифр вероятность встретить шесть девяток подряд где-то среди первых 762 цифр равна приблизительно 0,08%.

⠀ ⠀Случайно ли это❓ ⠀ Это может быть математическим совпадением, но бывают ситуации, когда существует полноценное объяснение. Следующая последовательность из шести одинаковых цифр подряд появляется лишь гораздо позже, хотя всё равно «слишком рано» с точки зрения вероятности — на позиции 193 034. Примечательно, что это снова серия девяток. На позиции 222 299 можно найти шесть восьмёрок. Ноль повторяется шесть раз на позиции 1 699 927. Последовательность «12345678» встречается уже на позиции 186 557 266. Последовательность цифр «141592», которая находится сразу после запятой, повторяется на позиции 821 582. Последовательность «123456789» можно встретить только на позиции 523 551 502.

▶️Точкой Фейнмана также называют первое появление последовательности из четырёх или пяти одинаковых цифр. Например, для цифры 7 — это позиция 1589 в числе 𝜋, где семёрка впервые повторяется четыре раза подряд. ▶️Точка Фейнмана для основания натуральных логарифмов числа e встречается на значительно более удалённой позиции (384 340), при этом последовательность включает сразу восемь идущих подряд девяток. ▶️Первая нулевая цифра в 𝜋 появляется только на 32-й позиции, то есть гораздо позже, чем можно было бы ожидать. Эти свойства числа 𝜋 облегчили задачу так называемым «поэтам 𝜋», которые придумывают мнемонические тексты для запоминания цифр: в таких текстах каждое слово содержит столько букв, сколько соответствует соответствующей цифре. Ноль, разумеется, по определению обрывал бы такую последовательность. Один из стихов звучит так: 🔄May I have a large container of coffee? Cream and sugar?🔄 Любители чисел также ищут в 𝜋 так называемые «самоссылочные позиции», в которых последовательность цифр совпадает с номером позиции. А теперь наше любимое 👀 В 𝜋 любят искать телефонные номера или другие личные числа. Теоретически там можно найти любую последовательность — включая, если закодировать числами, любой текст: и этот пост, и Библию на всех языках, и музыкальное произведение, переведённое в цифровой формат.

Но найти такие последовательности кажется маловероятным. И вот почему... ⠀ Библия, содержащая примерно 10⁷ символов в числовом коде, вряд ли встречается среди первых «нескольких» цифр 𝜋. Чтобы её обнаружить, нужно было бы иметь около 10^(10⁷) цифр, тогда как на практике вычислено лишь немного больше 10¹⁰ знаков. По теоретическим причинам вычислить 𝜋 до такого количества знаков практически невозможно. Человеческая ДНК содержит примерно 3,6 миллиарда «цифр» информации, а Вселенная — около 10⁷⁹ элементарных частиц. Даже если превратить всю Вселенную в суперкомпьютер, она смогла бы хранить лишь около 10⁷⁶ десятичных знаков — что намного меньше, чем упомянутые 10^(10⁷) цифр, необходимые для поиска Библии. Тем не менее возможно, что отдельные позиции по эту сторону этого предела всё же можно вычислить.

Пробовали отыскать свою дату рождения в числе 𝜋, признавайтесь? 🗿 — искал, но нашёл только адрес 👀 — а натальная карта там тоже есть? #как_устроено

Кто не стряхнул градусник, математики?

Сразу начнём с ответа: ⏩️ 10 лампочек ⏪️ Решение вчерашней задачи основано на простой, но важной мысли: каждая лампочка переключается столько раз, сколько у её номера делителей.

Например, лампочка под номером 6 переключается при проходах 1-го, 2-го, 3-го и 6-го человека, то есть всего 4 раза. Так как это число чётное, в итоге (после выхода 100-го человека) лампочка будет выключена. А лампочка под номером 9 — при 1-м, 3-м и 9-м, то есть 3 раза. Число нечётное, значит, в итоге лампочка останется включённой.

Тем самым ключевое наблюдение: если у числа чётное число делителей, лампочка выключится, а если нечётное — останется включённой.

Обычно делители числа разбиваются на пары: если d — делитель числа n, то n/d — тоже делитель. Например, вот 3 пары для всех 6 делителей числа 12: (1, 12), (2, 6), (3, 4). Понятно, что если все делители разбились на пары, значит, их число чётное.

Но когда же у числа нечётное число делителей❓ Есть только одно исключение из общего правила — это полные квадраты.

Рассмотрим, например, число 36. Его пары делителей — это (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6). Но, как мы видим, последняя пара на самом деле состоит из одного и того же числа. Всё дело в том, что если число n — полный квадрат, то для делителя d = √n значение n/d также равно √n. Таким образом, он не образует пару с другим числом, а остаётся «одиночкой». Так и получается, что у полных квадратов, и только у них, нечётное количество делителей.

Следовательно, включёнными останутся именно те лампочки, номера которых являются полными квадратами, а это 10 лампочек с номерами 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. *️⃣Отдельное спасибо говорим нашему подписчику @kevlarius. Он предложил решение с помощью программирования. Получилось очень наглядно: звездочка — горящая лампочка, точка — выключенная, на исходном шаге — все звездочки, а на финальном — только 10 штук.

class Lamp:
    def __init__(self, state=False):
        self.state = state

    def switch_state(self):
        self.state = not self.state


if __name__ == '__main__':
    lamps = [Lamp() for _ in range(100)]
    step = 1
    for p in range(100):
        index = (step - 1)
        while index < len(lamps):
            lamps[index].switch_state()
            index = index + step
        step += 1
        lamps_str = "".join(("*" if lamp.state else ".") for lamp in lamps)
        print(f"{p + 1:3}:   {lamps_str}")

#задача

Как обозначалась идея до изобретения лампочки 🤯 Можем лишь предположить, что до XX века у людей не было особой потребности в таком символизме. Зато у нас есть — ведь сегодня к нам пришла отличная идея: почему бы не решить задачу про лампочки?

🔸Условие: в комнате 100 лампочек, пронумерованных от 1 до 100, все выключены. Заходят 100 человек. Первый включает все лампочки. Второй переключает каждую вторую (2, 4, 6...). Третий переключает каждую третью (3, 6, 9...), и так далее. 🔸Вопрос: сколько лампочек останется включёнными после того, как выйдет сотый человек?

Голосуйте за правильный ответ в опросе ниже и пишите в комментариях свои рассуждения. #задача

Математики всех стран, объединяйтесь! Открыт новый набор в ШАД ⚡️ В этом году легендарная школа запускает сразу несколько направлений:

🔸Разработка машинного обучения 🔸Data Science 🔸Инфраструктура больших данных 🔸Анализ данных и ИИ в прикладных науках 🔸ИИ в естественно-научных исследованиях

Поступить на каждое из этих направлений можно через подходящий трек:

▶️

классический — для студентов старших курсов, выпускников технических вузов и СПО

▶️

альтернативный — для разработчиков и аналитиков с высшим образованием и опытом работы от 3 лет, а также выпускников аспирантуры

▶️

ИИ в естественно-научных исследованиях — для студентов последних курсов, магистрантов, аспирантов и исследователей

Поступление непростое, но оно точно того стоит! Набор открыт до до 3 мая включительно. ⠀⠀⏩️ ПОДАТЬ ЗАЯВКУ ⏪️ Все подробности и новости ищите на сайте и в канале «Все в ШАД». #рекомендуем

Сегодня большой день не только для российской космонавтики. Математикам всего мира тоже есть что отмечать… День рождения Андрея Николаевича Колмогорова 🔥 Поздравляем с обоими праздниками и дарим подарок — небольшую историю про учёного, изменившего наше представление о теории вероятностей. В начале XX века она выглядела странной областью: её уже вовсю использовали в физике и статистике, но концептуально она оставалась шаткой. Что такое вероятность: аналог частоты или классификатор степени уверенности? Дискуссии разделили математиков на два лагеря: ярых сторонников понятия и его активных противников. Ответ, который сегодня кажется очевидным, появился в 1933 году, когда Колмогоров опубликовал книгу «Основные понятия теории вероятностей». В ней он полностью отвязал вероятность от интуиции и построил её как раздел теории меры. На протяжении 20 лет Колмогоров почти каждые два года совершал крупные открытия. Одно из них даже связано с именем Альберта Эйнштейна. В 1905 году Эйнштейн написал четыре работы, заложившие основы всей физики XX века. Среди них была работа про броуновское движение — случайный процесс. Андрей Николаевич одним из первых дал ясное описание того, что такое «случайный процесс». Суть идеи проста и глубока. Есть пространство элементарных исходов Ω, есть так называемая σ-алгебра событий, и есть мера P, обладающая тремя свойствами, с которых началась современная теория вероятностей: 🔸неотрицательность 🔸нормировка: P(Ω) = 1 🔸σ-аддитивность Но сегодня мы поговорим о чуть менее известной стороне Колмогорова — его интересе к гуманитарным наукам. Открывайте цитаты: ⠀

⠀ ▶️Увлечение историей России ⠀ Уже в 17-18 лет наш герой провёл исследование земельных отношений в Новгородской земле. Результаты долгое время не публиковали — по словам одного из критиков, «в исторической науке каждый вывод должен быть обоснован несколькими доказательствами». Тогда Колмогоров решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства. Так история навсегда потеряла гениального исследователя, а математика приобрела его. Кстати, рукопись его исследования издали в 1994 году.

⠀

▶️

Анализ русской поэзии

⠀ Можно ли описать поэзию количественно, формализовать ритм, структуру, вариативность? В своё время Марков подступился с подобными вопросами к «Евгению Онегину». Его последователем можно смело назвать Колмогорова. В 1960 году он начал читать на мехмате МГУ спецсеминар и выступать с лекциями на эту тему в Доме литераторов и Политехническом музее. Параллельно публиковались несколько больших статей, которые задумывались как части

книги

по

стиховедческому анализу

. Но Колмогоров так и не успел её выпустить.

Кстати, именно Колмогоров дал формальное описание падежа, которое вошло в стандарты лингвистики. Приводить его, в силу сложности, не решимся…

⠀

▶️

Школа и учебники

⠀ Если бы Колмогоров сделал только аксиоматику вероятности, его имя уже было бы в истории. Но он сделал гораздо больше — он создал школу. Причём в двух смыслах. Во-первых, научную, из которой вышли десятки выдающихся математиков. Его семинар стал средой, где формировался стиль мышления: строгость, ясность, уважение к структуре. Во-вторых, буквальную. Он открыл сеть физмат-интернатов при МГУ и других ведущих университетах СССР. Сегодня эти школы называются СУНЦ. Колмогоров также участвовал в реформе школьного математического образования. Он был одним из авторов учебников и программ, которые пытались приблизить школьную математику к современной. Это была попытка научить школьников не только считать, но и понимать предмет.

Таким был Колмогоров со своим стремлением к предельной строгости и, казалось бы, неожиданным интересом к творческим наукам. Отметить день рождения Колмогорова и День космонавтики заодно — 🏆 #история

Физика, экономика, компьютерная графика и ML уходят корнями в линейную алгебру — фундаментальный раздел математики, без которого обрабатывать многомерные данные было бы невозможно. Освоить линейную природу математических объектов теперь можно самостоятельно. Яндекс Лицей запустил бесплатный курс! ⏩️Линейная алгебра: шаг за шагом⏪️ Курс разбит на четыре левела: от линейных уравнений и векторов до матричных преобразований. Это база для ML, компьютерной графики и рекомендаций.

▶️Курс самостоятельный, но вопросы можно задавать методистам через LMS. ▶️Начать можно в любой момент. Дедлайнов нет, но есть опция отслеживания прогресса. ▶️Левелы открываются по очереди. В конце вы получаете сертификат.

Регистрируйтесь по ссылке и делитесь опытом в комментах, если уже проходили курсы от наших коллег из Лицея. Как вам? #рекомендуем

О дивный шестиугольный мир 🤯 Пользуясь случаем, расскажем, где ещё природа приходит к шестиугольной форме. Возможно, вы когда-то видели вулканические образования в форме пучка гексагональных вертикальных колонн. Например, знаменитая Мостовая гигантов в Ирландии или ущелье Гарни в Армении. Их форма связана с ячейками Бенара: когда жидкость нагревают снизу, горячее вещество поднимается в центре каждой ячейки, холодное опускается по краям, и возникают шестиугольные конвективные колонны. 🔄Как и в случае с хаотичным движением воды, оба эти явления — примеры математического феномена: спонтанного образования паттернов при изотропном воздействии🔄 Когда система возмущается равномерно, без выделенного направления, и вынуждена «выбрать» форму разбивки на ячейки, шестиугольник оказывается универсальным ответом как наиболее симметричное и энергетически выгодное решение.

Это изучается в теории нелинейной динамики и формирования паттернов. Той же математикой описываются: пятна на шкуре леопарда, дюны, трещины в высохшей грязи, соты пчёл. Хотя физические механизмы в этих примерах разные. Интересный нюанс: сам Бенар в 1900 году наблюдал шестиугольники, но позже выяснилось, что в его опытах работала не плавучесть, а градиент поверхностного натяжения (конвекция Марангони) — то есть поверхностная энергия, о которой шла речь в тексте про мёд. Так что связь на самом деле теснее, чем кажется на первый взгляд.

И напоследок — самый удивительный факт в этой же связке: ❗️Сатурн обладает одной из самых геометрически выразительных особенностей в Солнечной системе — гигантским шестиугольником, окружающим его северный полюс Мы не знали, что это такое... до тех пор пока исследователям не удалось воспроизвести эту структуру в лаборатории. В цитате оставим подробности:

Полосатый вид Сатурна обусловлен струйными течениями (джетами), которые движутся с востока на запад в его атмосфере на разных широтах. Огромный поток в форме шестиугольника заметили лишь в 1988 году. Каждая его сторона сопоставима с диаметром Земли. Сначала учёные предположили, что форма связана с гигантским вихрем, похожим на шторм, расположенным вдоль одной из сторон шестиугольника (подобно тому, как большой камень меняет русло реки). Однако в 2006 году вихрь исчез, а шестиугольник остался. Тогда физики воспроизвели этот шестиугольник в лаборатории. Они поместили цилиндр объёмом 30 литров с водой на медленно вращающийся стол. Вода имитировала атмосферу Сатурна, вращающуюся вместе с планетой. Внутри резервуара они установили небольшое кольцо, вращающееся быстрее самого цилиндра. Это создавало миниатюрное «струйное течение», которое учёные отслеживали с помощью зелёного красителя. Чем быстрее вращалось кольцо, тем менее круговым становился зелёный поток. По его краям возникали небольшие вихри, которые постепенно усиливались и увеличивались, заставляя жидкость внутри кольца принимать форму многоугольника. Изменяя скорость вращения, исследователи могли получать различные фигуры: овалы, треугольники, квадраты. *️⃣Подобные многоугольные структуры наблюдались и в центре мощных ураганов на Земле, хотя они быстро исчезают.

Кстати, это ещё один пост, написанный с подачи подписчика. Запрос, правда, был на уравнение стекания мёда с ложки, но вместо занимательной псевдонауки мы замахнулись на вещи помасштабнее. Предлагайте свои темы и задавайте интересующие вас вопросы в комментариях. Разберёмся и вам расскажем ❤️ #как_устроено

Рубрика «разоблачение мифов», или минутка псевдонаучных фактов 👀 Да, это мы про вчерашнее видео! Герои проводят эксперимент чтобы убедиться, что мёд образует узор пчелиных сот в воде якобы из-за памяти. Мол, так можно проверить мёд — действительно ли он от пчёл и натуральный. На самом деле мёд, конечно же, ничего не помнит. Он просто вязкий — густой и липкий. Когда у вас есть тяжёлая вязкая жидкость, такая как мёд, под более лёгкой, как вода, и вы двигаете их туда-сюда, на границе между ними возникают крошечные гребни и впадины — там, где жидкости скользят друг относительно друга. ▶️Но почему появляются именно шестиугольники? Если толкать воду в одном направлении, получатся полосы — как волны на пляже. Если в двух направлениях — получатся квадраты. Но если двигать жидкость хаотично во все стороны, то узор с наибольшей симметрией и наименьшей энергией — это шестиугольник.

Мёд вязкий — он течёт медленно. Поэтому слой мёда, соприкасающийся с тарелкой, движется с той же скоростью, что и сама тарелка. Но слой чуть выше движется немного медленнее, а самый верхний слой реагирует на движение ещё медленнее.

Кроме того, у мёда заметное поверхностное натяжение — он «любит» прилипать к самому себе и собираться в капли. Поэтому, когда масса мёда начинает двигаться в каком-то направлении, а потом останавливается, происходит своего рода «столкновение потоков», и образуются небольшие бугорки. Чем выше поверхностное натяжение, тем более выражены эти «пики».

▶️А как же круги? Ведь у них минимальная энергия! Круги нельзя уложить вплотную без зазоров. А шестиугольники — это, по сути, максимально близкая к кругам форма, которая среди всех фигур, которыми можно без зазоров замостить плоскость, даёт наименьший периметр при заданной площади — то есть минимальную длину границ между ячейками, а значит, и минимальную поверхностную энергию всей системы. Когда две жидкости соприкасаются, их молекулы на границе находятся в менее выгодном энергетическом состоянии, чем молекулы внутри. Система стремится минимизировать площадь этой границы.

Такое замощение пространства регулярно встречается в природе в силу своих оптимизационных преимуществ. По этой же причине пчёлы строят соты шестиугольными — это оптимальная форма с точки зрения расхода воска. Из этого совпадения и возник миф. Никакой «памяти формы» на самом деле нет. Но есть более интересная идея: одни и те же математические структуры возникают в совершенно разных системах, потому что они оптимальны. Рассказать об этом подробнее? 🍓 — да, жду продолжения 🙊 — не согласен с постом! Мёд если есть... то его сразу нет! #как_устроено