💪Качаем гео💪

первая задача, просто сок Турист прибыл на остров, где живут 100 волшебников, каждый из которых может быть рыцарем или лжецом. Он знает, что на момент его приезда один из ста волшебников – рыцарь (но не знает, кто именно), а остальные - лжецы. Турист может выбрать любых двух волшебников A и B и попросить A заколдовать B заклинанием Вжух!, которое меняет сущность (превращает рыцаря в лжеца, а лжеца в рыцаря). Волшебники выполняют просьбы туриста, но если в тот момент волшебник A – рыцарь, то сущность B действительно меняется, а если A – лжец, то не меняется. Турист хочет после нескольких последовательных просьб одновременно знать сущность хотя бы k волшебников. При каком наибольшем k он сможет добиться своей цели?

Канал потихоньку пеезжает в БГ

Всем привет! Как все знают, сегодня прошел 1 день регионального этапа всероссийской олимпиады школьников, вот интересные задачки по геоме оттуда: 9.5 Дан четырехугольник ABCD. KL, LM, MN, NK - внешние биссектрисы углов A, B, C, D соответственно. P-точка пересечения диагоналей KLMN. Докажите, что если

Забавная задачка по ТЧ Сообщил @Tim_ignatiev

#не_баян_а_классика Дан треугольник ABC. На стороне AC выбраны точки M и N так, что 2AM = AB, 2CN = BC. Точки на AC идут в порядке: A, M, N, C. Докажите, что периметр треугольника BMN не меньше половины периметра треугольника ABC.

Настоящая СОВЕТСКАЯ задача по просьбе Ю.Э. Нагуманова

Пусть ABC — остроугольный треугольник. Точки H_A, H_B, H_C основания высот к BC, AC и AB соответственно. Описанные окружности треугольников AH_BH_C, BH_AH_C, CH_AH_B — ω_A, ω_B, ω_C с центрами O_A, O_B, O_C соответственно. Пусть прямая O_AB пересекает ω_B в точке P_AB, отличной от B. Аналогично определяются точки P_AC, P_BA, P_BC, P_CA, P_CB. Определим окружности ω_AB и ω_AC как окружности, проходящие через тройки точек (O_A, P_AB, H_C) и (O_A, P_AC, H_B) соответственно. Аналогично определяются окружности ω_BA, ω_BC, ω_CA, ω_CB. Докажите, что среди шести окружностей вида ω_xy существует шесть пар касающихся окружностей.

ABCD — выпуклый четырёхугольник, в котором AB = AD. Пусть T — точка на диагонали AC, такая что ∠ABT+∠ADT=∠BCD. Докажите, что AT+AC ≥ AB+AD.

На плоскости даны точки A и B и прямая l. На прямой l произвольным образом выбирается точка X. Докажите, что A-шалтай треугольника AXB движется по окружности, проходящей через A

В треугольник ABC с инцентром I вписана коника Г. Точки P и Q на Г выбраны так, что IP, IQ касаются Г. Докажите, что P и Q изогонально сопряжены относительно треугольника ABC

Пусть H — прямоугольная гипербола с центром в точке O. Докажите, что треугольник OJ1J2 автополярен относительно гиперболы H, где J1, J2 - круговые точки

Дан треугольник ABC с инцентром I. Его вписанная окружность касается сторон в точках D, E, F как на рисунке. O1, O2 - центры окружностей, вписанных в четырехугольники BEID и CFID соответственно. Докажите, что O1O2, BC и EF пересекаются в 1 точке

Дан описанный четырехугольник ABCD с вписанной окружностью Г. Диагональ AC пересекла Г в точках E и F. Докажите, что касательные к Г в точках E и F пересекаются на BD Посты съела школа, извините пожалуйста 😔

Дан треугольник ABC. D, E, F - точки пересечения касательных к (ABC) в A, B, C с противоположными сторонами. Оказалось, что прямая DEF перпендикулярна BC. Докажите, что E лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 провели высоту 𝐴𝐻 и медиану 𝐴𝑀. На прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 отметили точки 𝑋 и 𝑌, такие, что 𝐴𝑋 = 𝑋𝐶 и 𝐴𝑌 = 𝑌𝐵. Докажите, что середина отрезка 𝑋𝑌 равноудалена от точек 𝑀 и 𝐻.

Внутри треугольника ABC выбрана окружность Г. Касательные к Г в А пересекают BC в точках A1, A2. Аналогично определены точки B1, B2, C1, C2. Докажите, что A1A2B1B2C1C2 вписан в конику

Треугольники T и T0 подобны и одинаково ориентированы, причём ортоцентр треугольника T совпадает с центром описанной окружности треугольника T0. Каждая вершина треугольника T отражается симметрично относительно соответственной стороны треугольника T0. Докажите, что построенные таким образом точки или совпадают (все три), или образуют треугольник Т', подобный исходному, причём Т и Т' имеют общий ортоцентр

Заочный тур Шарыги