Леонид Попов. Математика и образование

Интересная наглядная геометрия Хорошая задача для учеников 6-7 классов. Большинство детей будут решать эту задачу методом подбора — и они без особых проблем смогут найти ответ. НО это можно использовать как повод для того, чтобы начать стандартное обсуждение: "А ты нашёл все ответы? А почему других ответов нет?" PS. Полное условие задачи: Прямоугольник разрезали на четыре меньших прямоугольника, площади трёх из них обозначены на рисунке. Найдите площадь оставшегося прямоугольника.

🤖 Как ChatGPT помогает мне в работе преподавателя? С сентября этого учебного года я активно использую ChatGPT для решения рабочих задач: ✅ Быстрое написание решений математических задач ✅ Создание конспектов и учебных материалов ✅ Автоматическая вёрстка в LaTeX 🔹 ChatGPT решает задачи? Да, если речь идёт про школьную математику, он справляется неплохо. Но если задача становится сложнее — олимпиадная математика, доказательства теорем — GPT часто ошибается. Как обойти эту проблему? Я нашёл удобный метод: давать подсказки. Если объяснить идею доказательства, ChatGPT отлично формулирует мысли и оформляет всё в LaTeX так, как мне нужно. 🔹 Как это работает? Мой процесс максимально быстрый: — Наговариваю голосовые сообщения в Telegram — в формате: "Хочу доказать такую-то теорему, начни с этого, потом напиши вот так…" — Telegram автоматически расшифровывает речь в текст — Копирую текст в ChatGPT, где уже сохранён шаблон LaTeX — Получаю готовый код, вставляю его в редактор, компилирую — Редактирую по необходимости 💡 Пример: Сегодня я за 1 час полностью оформил конспект по доказательствам классических неравенств 🔹 Почему это реально меняет работу? Теперь я понимаю, что смогу написать несколько математических книг, собрав в них материалы своих курсов. Потому что большие, осмысленные тексты теперь пишутся быстро. В общем, если вы работаете с математикой, текстами или учёбой — рекомендую научиться так делать! Это реально меняет рабочий процесс. 🚀

Эпиграфы к математическим листикам В некоторых математических лагерях и в некоторых параллелях мне хватало вдохновения, чтобы к каждому листику с задачами находить эпиграф. Тут я не ограничивался умными высказываниями классиков, довольно часто в эпиграф могла попасть какая-нибудь цитата из попкультуры. На скриншотах несколько эпиграфов из моих листиков по геометрии для 11 класса

Геометрия про вписанные углы Красивая задача про два равносторонних треугольника. Что-то подобное обычно можно встретить в листиках по олимпиадной математике, но я люблю подобные задачи давать и на уроках. Тут можно давать подсказки. Например, найдите тут 4 точки, лежащие на одной окружности.

Программирование для математиков. Часть 3 Вот тут можно почитать Часть 1 и Часть 2. 🔹 Как устроен курс? Сейчас «Программирование для математиков» — это уже трёхгодичная программа, включающая три уровня: 1️⃣ Курс для начинающих – базовые основы программирования и алгоритмов. 2️⃣ Курс для продолжающих – более сложные задачи, разбор олимпиадных тем. 3️⃣ Курс для продвинутых – создаётся в этом году, буквально вместе с учениками, на основе их опыта и потребностей. Первый и второй уровни уже несколько лет проходят тестирование, улучшаются и дорабатываются на основе обратной связи. А курс для продвинутых сейчас разрабатывают мои бывшие ученики — студенты Физтеха и ВШЭ. 🔹 Где проходят занятия и кто учится? Сейчас курсом пользуются ученики из разных регионов. 📌 Группы открытого набора В начале года сформировались группы для начинающих, продолжающих и продвинутых. В них занимается около 40 учеников, которые изучают материал онлайн. 📌 Хабаровск В Хабаровске есть отдельная группа из 15–20 школьников, которая учится по нашему курсу в гибридном формате. - Раз в неделю мы читаем лекции, проводим разборы, отвечаем на вопросы. - Раз в неделю местный преподаватель проводит семинар: ученики решают контесты, разбирают задачи и получают помощь на месте. 📌 Пермь, школа №146 Это моя родная школа, и в этом году мы запустили там обучение по нашему курсу. - В начале года мы предложили всем ученикам 7–11 классов присоединиться к группам начинающих или продолжающих. - В сентябре курс стартовали около 100 человек, сейчас активно занимаются 70 учеников. 🔹 Что дальше? Сейчас «Программирование для математиков» изучают 120+ учеников из разных регионов России и мира. Мы продолжаем совершенствовать курс, чтобы он был удобным и доступным для школьников с разным уровнем подготовки😊 PS. Вот ссылки на курсы — для начинающих — для продолжающих

🧪 Как объяснить условную вероятность на примере ПЦР-тестов? 📌 Дисклеймер: Автор поста — математик, а не врач или биолог. В этом посте рассматривается упрощённая математическая модель, которая помогает понять принцип работы ПЦР-тестов, но не является точным медицинским расчетом. 📃Формулировка задачи Допустим, у нас есть сезонное заболевание, которым болеют 1% людей. Это значит, что из 1 000 000 человек реально больны 10 000. Есть ПЦР-тест, который может ошибаться: ✅ Если человек болен, тест определяет болезнь в 99,9% случаев. То есть 0,1% больных получат ложный отрицательный результат. ❌ Если человек здоров, тест ошибается в 0,2% случаев, давая ложноположительный результат. 🤔 Что значит положительный результат теста? Посчитаем: - Настоящие больные (1%): их 10 000 человек, тест выявит 99,9% из них, то есть 9990 человек. - Здоровые (99%): их 990 000 человек, 0,2% из них тоже получат положительный тест. Это 1980 человек. В итоге тест выдаст 9990 + 1980 = 11 970 положительных результатов, но из них только 9990 человек действительно болеют. 📌 Вывод: если тест оказался положительным, вероятность, что человек на самом деле болен, составляет 9990/11970, то есть примерно 83,4%. Таким образом мы получаем, что около 16,6% положительных тестов являются ошибочными. 🔄 Зачем делать второй тест? Посчитаем вероятность получения двух положительных тестов подряд: - Настоящие больные (10 000 человек): вероятность двух положительных тестов — 0,999 · 0,999, то есть примерно 9980 человек получат два положительных результата. - Здоровые (990 000 человек): вероятность двух ложноположительных тестов — 0,002 · 0,002, что даёт примерно 4 человека. 📌 Вывод: если тест оказался дважды положительным, вероятность, что человек на самом деле здоров, составляет 4/9984, то есть примерно 0,04% (практически нулевая вероятность). 🔹 Какая тут связь с уроками математики? Эта задача — отличный способ поговорить с учениками об условной вероятности. Почему важно учитывать предварительные данные? Как меняется вероятность, если у нас появляется новая информация? Через такие примеры можно показать, что вероятность — это не всегда интуитивно понятная вещь. И это хороший повод обсудить, как вероятностные методы применяются в медицине, экономике и даже в повседневных решениях! PS. Безусловно, в реальной жизни всё намного сложнее. Например, вряд ли можно считать результаты двух тестов независимыми событиями.

Простой анализ данных для школьников Некоторые задачи устроены так, что основная информация дана не в тексте, а в таблице. Здесь важно не просто читать условие, но и правильно интерпретировать данные. Перед вами именно такая задача!

Программирование для математиков. Часть 2 Вот тут можно почитать Часть 1 🔹 Почему готовые курсы не подошли? Когда я начинал выстраивать системное программирование для школьников, первая мысль была очевидной: посмотреть, что уже есть. И вариантов оказалоь множество: от школьных уроков информатики до специализированных онлайн-курсов. Я начал с курса по Python для начинающих от Сириус.Курсов. Курс сильный, с интересными и математически ёмкими задачами. Но он слишком быстро наращивает сложность, что делает его сложным для многих учеников. Во многих других курсах всё наоборот: много внимания уделяется синтаксису, но почти нет задач, где нужно размышлять над алгоритмами. Это отлично для тех, кто хочет быстро освоить основы языка, но совершенно не подходит для математиков, которые хотят углубиться в алгоритмическую часть программирования. 🔹 Почему я решил создать свой курс? После анализа существующих вариантов стало понятно: нет ничего, что подходило бы под те требования, которые я для себя сформулировал. Либо сложность слишком велика, либо задачи далеки от математики. Поэтому я решил собрать свою методическую команду и создать курс с нуля. В основу мы положили содержание, схожее с тем, что есть в других курсах, но с важными изменениями: 1️⃣ Каждую тему мы разбили на простые и последовательные шаги. 2️⃣ Усложнение материала стало плавным и предсказуемым, чтобы ученики не теряли интерес. 3️⃣ Основное внимание уделили задачам, связанным с математикой. В частности, у нас в курсе есть задачи с математических олимпиад, которые предлагается решить с помощью написания кода. 🔹 Итог: как курс развивался? Мы начали с тестирования курса на нескольких классах. После каждого цикла тщательно анализировали результаты: что получилось, где дети теряли интерес, что нужно улучшить. Сейчас курс значительно изменился: он стал удобным, понятным и адаптированным для начинающих. С него можно смело начинать путь в программировании с 6-7 класса (а некоторые ученики способны его освоить даже в 5 классе). PS. Первую часть курса можно найти на платформе Stepik.

🔢 Сумма нечётных чисел — простая формула, которую легко запомнить! Как быстро найти сумму первых N нечётных чисел? 🤔 Оказывается, есть простая формула: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2N - 1) = N² Например: ✔️ 1 + 3 = 4 = 2² ✔️ 1 + 3 + 5 = 9 = 3² ✔️ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² Но почему так? В школе эту формулу часто доказывают алгебраически, но её можно увидеть. Достаточно приглядеться к картинке — и всё становится очевидным! 👀

Числовой ребус Я очень люблю давать своим ученикам в младших классах подобные задачи. Аргументов тут несколько: 1) Младшеклассникам нравится решать задачи с визуализированным условием 2) Подобная задача тренирует ребёнка перебирать случаи в поисках ответа 3) Когда ответ уже найден, очень полезно бывает обсудить с учеником, почему других ответов нет (почему перебор полный)?

Программирование для математиков в отдельно взятой школе 🔹 Почему вообще встал этот вопрос? Когда я работал с математическими классами в школе №444, у нас было выстроено системное математическое образование: кружки, занятия, олимпиады, стабильные результаты на городских, региональных и всероссийских соревнованиях. Но помимо математики многие школьники хотели развиваться и в других направлениях. В первую очередь — в программировании. 🔹 А как же уроки информатики в школе? Школьная информатика охватывает много разных тем: работа с текстами, таблицами, создание презентаций, основы компьютерных сетей. Программированию уделяется ограниченное время, и чаще оно подаётся как базовый навык, а не как инструмент для глубокого изучения алгоритмов. Как и в математике: даже если у ученика сильный учитель алгебры и геометрии, этого недостаточно, чтобы без дополнительной подготовки стать призёром олимпиады. Мне хотелось дать ученикам больше возможностей для развития в программировании, опираясь на их математический опыт. 🔹 Какую задачу я перед собой поставил? Мне хотелось, чтобы каждый ученик математического класса — даже если он не олимпиадник — мог уверенно писать простые программы, понимать базовые алгоритмы и использовать код как инструмент для решения задач. Если у всех есть базовый уровень, то дальше появляется пространство для роста: 1️⃣ Ученики могут видеть связи между программированием и математикой (например, реализовывать алгоритмы из теории чисел). 2️⃣ Кто-то увлекается программированием глубже и выходит на уровень олимпиад и соревнований. 3️⃣ Программирование становится доступным массово, а сильные ребята вырастают из этой среды естественным образом. Цель была не в том, чтобы любой ценой готовить победителей, а в том, чтобы создать среду, где программирование — это естественный навык, дополняющий математическое образование. А уже из этой среды появятся те, кто сможет проявить себя в олимпиадах и более сложных задачах. 🔹 Что из этого получилось? Этот вопрос стал отправной точкой для создания курса «Программирование для математиков» — курса, который не просто учит кодить, а помогает школьникам использовать программирование как инструмент для изучения математики и подготовки к олимпиадам. В следующих постах расскажу, какие принципы легли в основу курса, как мы выстраивали программу, и чем этот подход отличается от других курсов по программированию. PS. Первую часть курса можно посмотреть на платформе Stepik.

Какое число самое прикольное? На мой взгляд, это 142 857! Всем своим ученикам я рано или поздно задаю вопрос: «Какое число самое прикольное?» Ответы бывают разными: ✔️ 100 500 или 146 — потому что в своё время были мемы с этими числами. ✔️ π, e или i — потому что это «какие-то математические числа» (в средней школе дети ещё не знают их свойств). ✔️ 73 — потому что Шелдон Купер из «Теории Большого Взрыва» считал его самым крутым числом. 73 — самый интересный детский ответ, поэтому напишу про него подробнее: 🔹 Это 21-е простое число, а его отражение 37 — 12-е простое число. 🔹 Числа 12 и 21 тоже зеркальны друг другу. Но… самое прикольное, на мой взгляд, число — это 142 857. 🔹 Что в нём удивительного? Просто умножьте его на 2, 3, 4, 5 или 6: 🔹 142 857 × 2 = 285 714 🔹 142 857 × 3 = 428 571 🔹 142 857 × 4 = 571 428 🔹 142 857 × 5 = 714 285 🔹 142 857 × 6 = 857 142 Посмотрите на результаты — цифры остаются теми же, но циклически сдвигаются! Этот факт обычно сильно удивляет, а его обсуждение позволяет поговорить с учениками о многих интересных темах из теории чисел. 🔹 Как это объяснить? 142857 — это период десятичной дроби 1/7. Разделите 1 на 7, и вы получите: 0,142857 142857 142857… А если умножить 1/7 на 100, то получится: 100/7 = 14,285714 285714 285714… Если вычесть 14, то будет: 2/7 = 0,285714 285714 285714… Это показывает, откуда взялся сдвиг при умножении на 2. Остальные сдвиги доказываются при умножении 1/7 на 10, 1000, 10 000 и 100 000. 🔹 А есть ли ещё такие числа? Короткий ответ — да, но с особенностями. Чтобы разобраться в этом глубже, нужно хорошо владеть сравнениями по модулю и быть готовым к разговору про первообразные корни. С некоторыми учениками мы обсуждаем эту тему, но уже в рамках математического кружка в старших классах. Надеюсь, что теперь и вы верите, что 142 857 — самое прикольное число! 😊

Наглядная геометрия для младшеклассников Когда я составлял вступительные работы в пятые математические классы школы 444, я всегда старался добавлять туда задачу такого типа. Увы, но далеко не все дети умеют подобное решать

«Математика решает» от Т-Банк Образования: инструкция по применению Если вы задумываетесь, стоит ли вашему ребенку пройти курс «Математика решает», или уже начали заниматься, этот пост для вас. Рассказываю, как устроен курс, что потребуется от ребенка и как извлечь из него максимум пользы. 🔹 Как устроен курс? Курс рассчитан на два года и состоит из четырех полугодий по 16 недель каждое. Каждую неделю открывается новая тема, которая включает: 1️⃣ Короткие видеолекции с теорией и примерами. 2️⃣ 10 задач с автоматической проверкой — они помогают отработать тему. 3️⃣ 4 задачи для самостоятельного решения, которые нужно сдать в течение двух недель. Для них через неделю появляются видеоразборы. Важно: у курса жесткая система дедлайнов. Если тема открылась, ее нужно пройти в течение двух недель. Паузы и ускоренный режим не предусмотрены, поэтому важно заранее оценить, есть ли у ребенка час-полтора времени в неделю, чтобы заниматься. 🔹 С чего начать? 1️⃣ Если ребенок впервые сталкивается с олимпиадной математикой, рекомендую начинать с первого полугодия. Однако важно, чтобы он уже уверенно знал базовые темы школьной математики: умножение, деление, задачи на движение и т.д. Если с этим есть трудности, лучше их сначала устранить. 2️⃣ Если ваш ребенок уже знаком с какими-то темами курса, можно начать с более позднего полугодия. Например, пропустить первое и начать со второго или третьего. Посмотрите список тем на сайте курса и решите, какой старт будет оптимальным. 🔹 Когда лучше начинать? Для максимальной пользы начните курс в начале учебного года: - Август–сентябрь для первого полугодия - Январь–февраль для второго Так ребенок завершит полугодие в логичный момент — перед каникулами. 🔹 Как усилить эффект от курса? Хотя курс автоматический, ребенок получает только один вид обратной связи — правильный или неправильный ответ. Чтобы повысить понимание, рекомендую обсуждать задачи вместе с родителями. Что делать? - Раз в неделю садитесь с ребенком и обсуждайте одну из решенных задач. - Задавайте простые вопросы: «Как ты получил этот ответ? Почему он правильный? Почему других вариантов быть не может?» - Пусть ребенок объясняет вам свое решение. Даже если вы не сильны в математике, такой диалог поможет ему лучше усвоить материал. 🔹 Что дает прохождение курса? Если ребенок системно пройдет все темы до конца 6 класса, он будет готов к углубленному изучению олимпиадной математики в 7 классе. Он освоит логику, комбинаторику, делимость чисел и другие ключевые темы, которые станут отличным фундаментом для дальнейшего обучения. Курс «Математика решает» — это возможность не только развить математическое мышление, но и подготовиться к серьезным успехам в олимпиадах. Главное — выделить время, настроиться на системность и, по возможности, обсуждать задачи вместе с ребенком. Ссылка на курс: https://education.tbank.ru/school/basic/math/ PS. Вот тут я писал про то, как мы создавали курс: — Часть 1 — Часть 2 — Часть 3

Как кинуть жребий на троих с помощью одной монетки? В последние годы теория вероятностей всё больше входит в школьную программу. Сегодня не будем обсуждать, насколько это полезно или не полезно. Сегодня мне хотелось бы показать пример, который я часто использую на уроках, чтобы заинтересовать школьников этой частью математики. Итак, задача: Есть три человека, которые хотят выбрать одного из них случайным образом. У них есть только одна монетка. Как кинуть жребий так, чтобы всё было честно и равновероятно? Решение: Подбросим монетку дважды. У нас есть четыре возможных исхода: - Орел-Орел - Решка-Решка - Орел-Решка - Решка-Орел Всего вариантов — четыре. А нам нужно три. Что делать? Мы просто договариваемся: - Орел-Орел — выигрывает человек A - Решка-Орел — выигрывает человек B - Орел-Решка — выигрывает человек C - А если выпадает Решка-Решка, то мы повторяем эксперимент заново. Рано или поздно не выпадет две Решки подряд. А что если "не повезёт" много раз? Школьники сразу задают этот вопрос. Объясняем: вероятность того, что выпадет Решка-Решка — 1/4. Чтобы неудача повторилась дважды подряд, вероятность уже 1/4 * 1/4 = 1/16, а трижды — 1/64. Последовательность из множества "неудач" — это крайне редкий случай. Обычно уже за 2–3 попытки удается определить победителя. Итог: это простой и абсолютно честный способ кинуть жребий на троих. Он легко объясняет школьникам, как работает вероятность, и сразу показывает, что теория вероятностей — это не только формулы, но и практичные задачи из жизни😊