المپیاد ریاضی

#جبر #نامساوی‌ها نامساوی‌ها، یکی از مباحث مهم در المپیاد ریاضی، به ویژه در مرحله دوم و بالاتر می‌باشد. سرفصل‌های کلی نامساوی‌ها، در المپیاد ریاضی، در سطوح مختلف، به شرح زیر می‌باشد: 1- نامساوی‌های مقدماتی (Elementary Inequalities) 2- نامساوی‌های میانگین‌ها یا واسطه‌ها (Inequalities Between Means) 3- نامساوی‌های کوشی - شوارتز، یانگ و هولدر (Cauchy-Schwarz, Young's and Holder's Inequalities) 4- نامساوی مورهد و مجرایز کردن (Muirhead's Inequality and Majoraziation) 5- نامساوی مینکوفسکی (Minkowski's Inequality) 6- نامساوی‌های بازآرایی و چبیشف (Rearrangement and Chebyshev's Inequalities) 7- نامساوی شور (Schur's Inequality) 8- نامساوی جنسن یا ینسن (Jensen's Inequality) 9- نامساوی کاراماتا (Karamata's Majorization Inequality) 10- روش همگن‌سازی (Homogenization Method) 11- روش نرمال‌سازی یا بهنجارسازی (Normalization Method) 12- روش تغییر متغیرها یا جای‌گذاری (Substitution Method) 13- جای‌گذاری راوی (Ravi Subtitution) یا تبدیل راوی (Ravi Transformation) 14- نامساوی‌های هندسی (Geometric Inequalities) 15- روش مجموع مربع‌ها (Sum of Squares, SOS Method) 16- روش برهان خلف (Proof by Contradiction Method) 17- کاربردهای حسابان یا حساب دیفرانسیل و انتگرال در نامساوی‌ها (Applications of Calculus) 18- نامساوی برنولی (Bernoulli's Inequality) 19- روش احتمالاتی در نامساوی‌ها (The Probabilistic Method) 20- کاربردهای جبر برداری در نامساوی‌ها (Applications of Vector Algebra) 21- روش خط مماس (Tangent Line Method) و ایده‌های مبتنی بر آن 22- تقارن در نامساوی‌ها (Symmetric Inequalities) 23- روش مخلوط کردن متغیرها (Strong Mixing Variables, SMV Method) 24- روش ABC یا Abstract Concreteness Method (pqr Method یا uvw Method)

#جبر #نظریه_اعداد #چندجمله‌ای‌ها چندجمله‌ای‌ها، یکی از مباحث مهم در آزمون‌های المپیاد ریاضی (به ویژه مرحله دوم و بالاتر) است. سرفصل‌های کلی چندجمله‌ای‌ها، در المپیاد ریاضی، در سطوح مختلف، به شرح زیر می‌باشد: 1- تعاریف و ویژگی‌های عمومی چندجمله‌ای‌ها (Definitions and General Properties of Polynomials) 2- صفرها یا ریشه‌های چندجمله‌ای‌ها (Zeroes or Roots of Polynomials) 3- ریشه‌های مشترک چندجمله‌ای‌ها (Common Roots of the Polynomials) 4- چندجمله‌ای‌های با ضرایب صحیح و گویا و چندجمله‌ای‌های تکین (Polynomials with Integer and Rational Coefficients and Monic Polynomials) 5- بخش‌پذیری و تحویل ناپذیری چندجمله‌ای‌ها (Division and Irreducibility of Polynomials) 6- قضیه‌های چندجمله‌ای‌ها (The Polynomial Theorems) 7- روابط ویتا (Vieta's Relations) 8- کاربردهای حسابان در چندجمله‌ای‌ها (Applications of Calculus) 9- کاربردهای اعداد مختلط در چندجمله‌ای‌ها (Applications of Complex Numbers) 10- تقارن در چندجمله‌ای‌ها (Symmetric Polynomials) 11- درون‌یابی چندجمله‌ای‌ها (Interpolating Polynomials) 12- معادلات تابعی و نابرابری‌های تابعی در چندجمله‌ای‌ها (Functional Equations and Functional Inequalities in Polynomials) 13- چندجمله‌ای‌های چندمتغیره (Multivariable Polynomials)

#جبر #نظریه_اعداد #معادلات_تابعی معادلات تابعی (Functional Equations)، یکی از مباحث مهم در آزمون‌های المپیاد ریاضی (به ویژه مرحله دوم و بالاتر) است. روش‌ها، تکنیک‌ها و سرفصل‌های کلی معادلات تابعی، در المپیاد ریاضی، در سطوح مختلف، به شرح زیر می‌باشد: 1- بعضی از معادلات تابعی مهم، نظیر معادلات تابعی کوشی، معادله تابعی جنسن (Jensen’s Functional Equation) و ... : معادلات کوشی (Cauchy’s Equations) و تعمیم آنها (Generalized Cauchy Equations) معادلات کوشی ضربی، جمعی یا جمع‌پذیر، نمایی و لگاریتمی (Multiplicative, Additive, Exponential and Logarithmic Cauchy Equations) 2- روش جای‌گذاری (Substitution Strategy) 3- روش تغییر متغیر (Variable Transformation) 4- تکنیک جداسازی متغیرها (Separation or Isolation of Variables) 5- معادلات تابعی برای چندجمله‌ای‌ها (Functional Equations for Polynomials) 6- روش ضرایب نامعین (Method of Undetermined Coefficients) 7- استفاده از نقاط ثابت (Fixed Points) 8- استفاده از روابط بازگشتی و روش تکرار (Iterations and Recurrence Relations) 9- روش ساخت توابع (Construction of Functions یا Constructive Method) 10- متقارن سازی و تعریف متغیرهای اضافی (Symmetrization and Additional Variables) 11- معادلات تابعی هندسی (Geometric Functional Equations) 12- استفاده از استقراء ریاضی (Mathematical Induction) 13- تکنیک‌های مبتنی بر استفاده از خواص توابع (The Properties of Functions) - دامنه، هم‌دامنه و برد توابع (The Domain, Codomain and Range of Functions) - توابع زوج و فرد (Even and Odd Functions) و بخش‌های زوج و فرد توابع (The Odd and Even Parts of Functions) - توابع یک به یک (Injective Functions) - توابع پوشا (Surjective Functions) - توابع دوسویه یا دوسویی (Bijective Functions) - توابع یکنوا (Monotonic Functions)، توابع صعودی و نزولی (Increasing and Decreasing Functions) توابع اکیداً یکنوا (Strictly Monotonic Functions)، توابع اکیداً صعودی و اکیداً نزولی (Strictly Increasing and Strictly Decreasing Functions) - توابع متناوب یا پریودیک (Periodic Functions) - توابع خودوارون (Self-Inverse, Self-Invertible or Involutory Functions) - توابع پیوسته (Continuous Functions) - توابع کران‌دار (Bounded Functions) 14- کاربردهای اعداد مختلط در معادلات تابعی (Applications of Complex Numbers) 15- روش تقریب با توابع خطی (Approximating with Linear Functions) 16- استفاده از مباحث مختلف نظریه اعداد در معادلات تابعی 17- کاربردهای مبنا در معادلات تابعی (Applications of Bases) 18- استفاده از اصل خوش‌ترتیبی (Well-Ordering Principle) 19- روش المان اکسترمال (Extremal Element Method) 20- نامعادلات تابعی (Functional Inequalities)