📊Международная олимпиада по математике

Всем привет! Сегодня мы поговорим с вами о задача, которая известна как "лемма о бензоколонках" (или Raney's lemma). Лемму эту опубликовал George Raney в 1960 году в журнале Transactions of the American Mathematical Society. В России это утверждение больше известно благодаря публикации в задачнике журнала "Квант" в 1971 году под номером М82. Автором задачи указан читатель С. Охитин из Оренбурга. Формулировка задачи такая На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин. Ее несложно переформулировать с следующем более математическом виде (упражнение) Даны числа x_1, x_2, ..., x_n с нулевой суммой. Тогда существует циклическая перестановка, для которой все частичные суммы неотрицательны. То есть существует такое k, что x_k⩾0, x_k+x_{k+1}⩾0, x_k+x_{k+1}+x_{k+2}⩾0,... x_k+x_{k+1}+...x_{k-1}⩾0. Одно из наиболее классических и простых доказательств этого утверждение проводится при помощи индукции. Если машина одна, то в ней достаточно бензина на полный круг. Пусть у нас есть n машин, то можно найти 2 соседние, такие, что из первой можно доехать до второй по часовой стрелке. Уберем вторую и отдадим весь ее бензин первой. По предположению индукции, среди оставшихся n-1 существует одна, из которой можно проехать полный круг по часовой стрелке — она же подойдет и для n в исходной конфигурации. Однако совсем недавно благодаря каналу Феди П я узнал прекрасное доказательство (которое он в свою очередь узнал от Таи Коротченко) с выпукло-геометрическими мотивами. Рассмотрим n векторов, полученных из (1,-1,0,0,..,0) циклическими перестановками. Они все лежат в (n-1)-мерной гиперплоскости (сумма координат равна нулю) и являются вершинами симплекса, содержащего начало координат (центр его масс). Луч из начала координат в точку (x_1,...,x_n) пересекает некоторую грань этого симплекса. Сделаем циклическую перестановку так, чтобы эта грань не содержала вершину (-1,0,0,...,0,1). Но все точки (y_1,...,y_n) в этой грани имеют неотрицательные частичные суммы координат, поскольку этим свойством обладают все вершины этой грани, а значит и все выпуклые комбинации.

Brianshon.pdf

Решаем задачи по олимпиадной комбинаторике Чат: https://t.me/+FuCRPdSjWjMyZWU6 https://t.me/olympcomba

104 number theory problems_ from the training of the USA IMO team ( PDFDrive ).pdf

Titu_Andreescu-NT_Concepts_Problems.pdf

apmo2023_sol.pdf